Codeforces Round 1049 (Div. 2) D题题解记录

大致题意：给定$n$个区间$(l_i,r_i)$。每次选取两个尚未被标记的区间$(l_1,r_1)$与$(l_2,r_2)$，使得他们均被标记，同时可以任选$x\in [l_1,r_1]，y\in [l_2,r_2]$，然后产生一个新的被标记的区间$(min(x,y),max(x,y))$。问总的被标记的区间的长度最大可以为多少。一个被标记的区间$(l_i,r_i)$的长度为$r_i-l_i$。如果最后剩下一个未被标记的区间，则对其单独标记，并且不产生新区间。
解：
首先如果$n$是偶数，那么所有区间都会被标记，此时我们就看如何选取会使得新产生的区间长度总和尽可能长。贪心的选择，对于两个区间，新产生的区间的端点一定是原来两个区间的端点，即一个区间的左端点和另一个区间的右端点，这样尽可能的长。进而考虑：除去基本的区间长度，为了使得新产生区间尽可能长，每个区间要么贡献$-l_i$，要么贡献$r_i$，并且最后总共一定是$\frac{n}{2}$个$r_i$以及$\frac{n}{2}$个$l_i$。由此自然想到：取最大的$r_i$以及最小的$l_i$。但是，如果当前$r_i$和$l_i$是同一个区间就不行了。换个思路：我们假设所有的区间一开始都选择贡献$r_i$，然后我们要选择一半的区间，其贡献由$r_i$变为$-l_i$，其对总贡献增加了$-(l_i+r_i)$。此值一定为负数，那么考虑其怎么才能最小，即：对$l_i+r_i$排序，选最小的即可。

	int n;cin >> n;vector<pii > a(n + 1);vector<pii > b(n + 1);int ans = 0;for (int i = 1; i <= n; i++) {cin >> a[i].first >> a[i].second, b[i].first = a[i].first + a[i].second;ans += a[i].second - a[i].first;ans += a[i].second;b[i].second = i;}sort(b.begin() + 1, b.end());if (n % 2 == 0) {for (int i = 1; i <= n / 2; i++)ans -= b[i].first;cout << ans << endl;}

接着考虑如果$n$是奇数。前面大致思想都一样，就是最后一定会剩下一个区间是独立的。我们直接考虑枚举最后剩下的区间是哪个，然后取最值即可。

	else {vector<int> pre(n + 1);for (int i = 1; i <= n; i++)pre[i] = pre[i - 1] + b[i].first;int ori = ans;ans = ori - a[b[1].second].second - (pre[1 + n / 2] - pre[1]);for (int i = 2; i <= n; i++) {int re = min(i - 1, n / 2);int ne = n / 2 - re;if (ne <= 0) {ans = max(ans, ori - a[b[i].second].second - pre[re]);} else {int ed = i + 1 + ne - 1;ans = max(ans, ori - a[b[i].second].second - pre[re] - (pre[ed] - pre[i]));}}cout << ans << endl;}