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线性规划在数学建模中的应用

news 2025/8/23 6:37:11

线性规划在数学建模中的应用

1. 基本思想

线性规划（Linear Programming, LP） 是数学规划的一种，用于在 约束条件 下，寻找 线性目标函数 的最优解。
数学建模中常用于 资源优化配置、产量安排、运输调度、投资组合 等问题。

2. 一般模型形式

一个典型的线性规划模型可以表示为：

目标函数：
$Z=c1x1+c2x2+⋯+cnxn\min \; Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n$
或
$Z=c1x1+c2x2+⋯+cnxn\max \; Z = c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_nx_n$
约束条件：
$bm\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n \; (\leq,=,\geq) \; b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n \; (\leq,=,\geq) \; b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n \; (\leq,=,\geq) \; b_m \end{cases}$
非负约束：
$xj≥0,j=1,2,…,nx_j \geq 0, \quad j=1,2,\ldots,n$

3. 应用场景

(1) 资源分配问题

问题背景：有限的资源如何分配到多个项目，使收益最大或成本最小。
建模思路：
- 决策变量：各项目的资源分配量 $x_i$
- 目标函数：最大化收益 $max⁡Z=∑pixi\max Z = \sum p_i x_i$
- 约束条件：资源不超过总量 $∑aixi≤R\sum a_i x_i \leq R$

(2) 生产计划问题

问题背景：工厂有多种产品，每种产品消耗不同的资源，如何安排产量使利润最大化。
建模思路：
- 决策变量：每种产品的产量 $x_i$
- 目标函数：最大化利润 $max⁡Z=∑cixi\max Z = \sum c_i x_i$
- 约束条件：原料、劳动力、机器时间等限制

(3) 运输问题

问题背景：多个供货地向多个需求地运输货物，如何确定运输量以最小化运输成本。
建模思路：
- 决策变量：从供给地 $i$ 运到需求地 $j$ 的数量 $x_{ij}$
- 目标函数： $min⁡Z=∑i=1m∑j=1ncijxij\min Z = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n c_{ij}x_{ij}$
- 约束条件：供给约束 $∑jxij≤Si\sum_j x_{ij} \leq S_i$ ，需求约束 $∑ixij≥Dj\sum_i x_{ij} \geq D_j$

(4) 投资组合问题

问题背景：资金分配到不同的投资项目中，如何在风险约束下获得最大收益。
建模思路：
- 决策变量：投资于项目 $i$ 的金额 $x_i$
- 目标函数： $max⁡Z=∑rixi\max Z = \sum r_i x_i$
- 约束条件：资金总额、风险控制、投资比例限制等

4. 解法工具

单纯形法（Simplex Method）
对偶理论（Duality）
灵敏度分析（Sensitivity Analysis）
软件工具：MATLAB（linprog）、Lingo、Excel Solver、Python（PuLP、scipy.optimize）

5. MATLAB 示例：生产计划问题

问题背景

某工厂生产两种产品 A 和 B：

每件产品 A 的利润为 40 元，每件产品 B 的利润为 30 元。
产品 A 每件需要 2 小时人工和 1 单位原料。
产品 B 每件需要 1 小时人工和 1 单位原料。
工厂一周可提供的人工时间为 100 小时，原料为 80 单位。

问题：如何安排生产计划，使工厂的利润最大？

数学模型

决策变量：
$x_1$ = 产品 A 的产量
$x_2$ = 产品 B 的产量
目标函数：
$max Z = 40x_1 + 30x_2$
约束条件：
$2x1+x2≤1002x_1 + x_2 \leq 100 \quad$ （人工限制）
$x1+x2≤80x_1 + x_2 \leq 80 \quad$ （原料限制）
$x1,x2≥0x_1, x_2 \geq 0$ （非负约束）

MATLAB 代码

%% MATLAB 线性规划标准型要求
% linprog 的标准形式：
%       min f^T * x
% 如果是最大化问题 max c^T * x，
% 则需要转换为最小化：min (-c)^T * x
% ------------------------------------------------------------------
% 约束条件要求：
%   A * x <= b
%   Aeq * x = beq
%   lb <= x <= ub
% ------------------------------------------------------------------
% MATLAB 调用格式：
%   [x, fval] = linprog(f, A, b, Aeq, beq, lb, ub, options)
% 输入参数：
%   f    : 列向量，目标函数系数
%   A, b : 不等式约束 A*x <= b
%   Aeq, beq : 等式约束 Aeq*x = beq
%   lb, ub : 变量下界和上界
%   options : 优化选项（可选，optimoptions）
% ------------------------------------------------------------------
% 示例问题：
%   max Z = 3*x1 + 2*x2
%   s.t.
%       2*x1 + x2 <= 100
%       x1 + x2   <= 80
%       x1, x2 >= 0
% 转换为标准型：
%   f = [-3; -2];   % 取负号实现最大化
%   A = [2 1; 1 1];
%   b = [100; 80];
%   lb = [0; 0];
% ------------------------------------------------------------------
% 代码实现：
f = [-3; -2];   % 目标函数（最大化取负）
A = [2 1;       % 不等式约束矩阵1 1];
b = [100;80];
lb = [0; 0];    % 下界，非负约束% 调用 linprog 求解
[x, fval] = linprog(f, A, b, [], [], lb, []);
% 输出结果
disp('最优解:');
disp(x);
disp('最大目标值:');
disp(-fval);    % 注意取负号