【高等数学】第七章 微分方程——第八节 常系数非齐次线性微分方程

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• 二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是
  $$y^{\prime \prime }+p{y}^{\prime }+qy=f(x)$$其中 $p,q$ 是常数
• 根据非齐次线性微分方程解的结构，二阶常系数非齐次线性微分方程的通解等于对应的二阶常系数齐次线性微分方程，加上二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。二阶常系数齐次线性微分方程的通解已经在上一节解决，本节关注求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解$y^{\ast }$。
• 本节介绍两种常见形式求$y^{\ast }$的方法。这种方法的特点是不用积分就可求出$y^{\ast }$来，称为待定系数法

1. $f(x)={\mathrm{e}}^{\lambda x}{P}_m(x)$型

• 考虑到指数函数与多项式的乘积的导数还是指数函数与多项式的乘积，可以假定$y^{\ast }=R(x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$
• 求出$y^{{\ast }^{\prime }},y^{{\ast }^{\prime \prime }}$
  $y^{\ast }=R(x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$
  $y^{{\ast }^{\prime }}={\mathrm{e}}^{\lambda x}\left[\lambda R(x)+R^{\prime }(x)\right]$
  $y^{{\ast }^{\prime \prime }}={\mathrm{e}}^{\lambda x}\left[{\lambda }^{2}R(x)+2\lambda R^{\prime }(x)+R^{\prime \prime }(x)\right]$
• 代入二阶常系数非齐次线性微分方程得
  $R^{\prime \prime }(x)+(2\lambda +p)R^{\prime }(x)+({\lambda }^2+p\lambda +q)R(x)=P_m(x)$
  • 当${\lambda }^2+p\lambda +q\ne 0$时，即$\lambda$不是特征方程的根，要使两边相等，$R(x)=R_m(x)$
  • 当${\lambda }^2+p\lambda +q=0$且$2\lambda +p\ne 0$时，即$\lambda$是特征方程的单根，$R(x)=x{R}_m(x)$
  • 当${\lambda }^2+p\lambda +q=0$且$2\lambda +p=0$时，即$\lambda$是特征方程的重根，$R(x)=x^2{R}_m(x)$
• 综上，特解$y^{\ast }=x^k{R}_m(x){\mathrm{e}}^{\lambda x}$，其中$k$按$\lambda$不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2
• 上述结论可推广到$n$阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意$k$是特征根的重数（不是特征方程的根，则$k$取0）

2. $f(x)={\mathrm{e}}^{\lambda x}\left[P_l(x)\cos \omega x+Q_n(x)\sin \omega x\right]$型

• 应用欧拉公式，将$f(x)$化成复指数函数形式
  $$\begin{array}{rl}f(x)& ={\mathrm{e}}^{\lambda x}\left[P_l\cos \omega x+Q_n\sin \omega x\right]\\ & ={\mathrm{e}}^{\lambda x}\left[P_l\frac{{\mathrm{e}}^{\omega x\mathrm{i}}+{\mathrm{e}}^{-\omega x\mathrm{i}}}{2}+Q_n\frac{{\mathrm{e}}^{\omega x\mathrm{i}}-{\mathrm{e}}^{-\omega x\mathrm{i}}}{2\mathrm{i}}\right]\\ & =\left(\frac{P_l}{2}+\frac{Q_n}{2\mathrm{i}}\right){\mathrm{e}}^{(\lambda +\omega \mathrm{i})x}+\left(\frac{P_l}{2}-\frac{Q_n}{2\mathrm{i}}\right){\mathrm{e}}^{(\lambda -\omega \mathrm{i})x}\\ & =P(x){\mathrm{e}}^{(\lambda +\omega \mathrm{i})x}+\bar{P}(x){\mathrm{e}}^{(\lambda -\omega \mathrm{i})x},\end{array}$$
• 根据上一种形式的结论
  取m=max⁡{l,n}m=\max\{l,n\}m=max{l,n}
  对于$f_1(x)=P(x){\mathrm{e}}^{(\lambda +\omega \mathrm{i})x}$
  有特解$y_1^{\ast }=x^k{R}_m(x){\mathrm{e}}^{(\lambda +\omega \mathrm{i})x}$，其中 $k$ 按 $\lambda +\omega \mathrm{i}$ 不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取 $0$ 或 $1$
  对于$f_2(x)=\bar{P}(x){\mathrm{e}}^{(\lambda -\omega \mathrm{i})x}$，$f_1(x)={\bar{f}}_2(x)$，有特解$y_2^{\ast }=\overline{y_1^{\ast }}=x^k{\bar{R}}_m(x){\mathrm{e}}^{(\lambda -\omega \mathrm{i})x}$，根据共轭与导数可交换，可以验证满足非齐次微分方程
  根据线性微分方程的叠加原理，对于$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$
  有特解
  $$\begin{array}{rl}{y}^{\ast }& =x^k{R}_m(x){\mathrm{e}}^{(\lambda +\omega \mathrm{i})x}+x^k{\bar{R}}_m(x){\mathrm{e}}^{(\lambda -\omega \mathrm{i})x}\\ & =x^k{\mathrm{e}}^{\lambda x}\left[R_m(\cos \omega x+\mathrm{i}\sin \omega x)+{\bar{R}}_m(\cos \omega x-\mathrm{i}\sin \omega x)\right]\\ & =x^k{\mathrm{e}}^{\lambda x}\left[R_m^{(1)}(x)\cos \omega x+R_m^{(2)}(x)\sin \omega x\right]\end{array}$$
• 综上，特解可设为
  $$y^{\ast }=x^k{\mathrm{e}}^{\lambda x}\left[R_m^{(1)}(x)\cos \omega x+R_m^{(2)}(x)\sin \omega x\right]$$其中 $R_m^{(1)}(x)$、$R_m^{(2)}(x)$ 是 $m$ 次多项式，m=max⁡{l,n}m = \max\{l, n\}m=max{l,n}，而 $k$ 按 $\lambda +\omega \mathrm{i}$（或 $\lambda -\omega \mathrm{i}$）不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取 $0$ 或 $1$
• 上述结论可推广到 $n$ 阶常系数非齐次线性微分方程，但要注意 $k$ 是特征方程中含根 $\lambda +\omega \mathrm{i}$（或 $\lambda -\omega \mathrm{i}$）的重复次数.

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