LeetCode 3202.找出有效子序列的最大长度 II：取模性质(动态规划)

【LetMeFly】3202.找出有效子序列的最大长度 II：取模性质(动态规划)

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/find-the-maximum-length-of-valid-subsequence-ii/

给你一个整数数组 nums 和一个 正 整数 k 。

nums 的一个 子序列 sub 的长度为 x ，如果其满足以下条件，则称其为 有效子序列 ：

• (sub[0] + sub[1]) % k == (sub[1] + sub[2]) % k == ... == (sub[x - 2] + sub[x - 1]) % k

返回 nums 的 最长 有效子序列 的长度。

 

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,4,5], k = 2

输出：5

解释：

最长有效子序列是 [1, 2, 3, 4, 5] 。

示例 2：

输入：nums = [1,4,2,3,1,4], k = 3

输出：4

解释：

最长有效子序列是 [1, 4, 1, 4] 。

 

提示：

• 2 <= nums.length <= 103
• 1 <= nums[i] <= 107
• 1 <= k <= 103

解题方法：动态规划(DP)

一个序列$[a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,\dots ]$满足$(a_1+b_1)\%k==(b_1+a_2)\%k==(a_2+b2)\%k==\dots$的话，则有：

$a_1,a_2,\dots$对$k$同余，$b_1,b_2,\dots$对$k$同余。

所谓同余，就是模$k$后的结果相等。

使用一个动态规划数组$dp[i][j]$代表$a_{\ast }$模$k$等于$i$而$b_{\ast }$模$k$等于$j$的$[a_1,b_1,a_2,b_2\dots ]$序列的最大长度，则可以：

遍历$nums$数组，若当前元素（对$k$取模后）为$x$，则任何$yxyx$序列的长度都可以在$xyxy$序列的基础上再加一个$x$从而变成$yxyx$序列。

$dp[y][x]=dp[x][y]+1$

注意，$dp[a][b]$代表的$abab$序列，结尾一定是$b$，但开头不一定是$a$（可以是$abab$也可以是$babab$）。

• 时间复杂度$O($k^2+nk$)$
• 空间复杂度$O(k^2)$

AC代码

C++

/** @Author: LetMeFly* @Date: 2025-07-18 22:33:22* @LastEditors: LetMeFly.xyz* @LastEditTime: 2025-07-20 19:32:05*/
#if defined(_WIN32) || defined(__APPLE__)
#include "_[1,2]toVector.h"
#endifclass Solution {
public:int maximumLength(vector<int>& nums, int k) {vector<vector<int>> dp(k, vector<int>(k));int ans = 0;for (int x : nums) {x %= k;for (int y = 0; y < k; y++) {dp[y][x] = dp[x][y] + 1;ans = max(ans, dp[y][x]);}}return ans;}
};

Python

'''
Author: LetMeFly
Date: 2025-07-18 22:33:22
LastEditors: LetMeFly.xyz
LastEditTime: 2025-07-20 22:23:43
'''
from typing import Listclass Solution:def maximumLength(self, nums: List[int], k: int) -> int:dp = [[0] * k for _ in range(k)]for x in nums:x %= kfor y in range(k):dp[y][x] = dp[x][y] + 1return max(map(max, dp))

Go

/** @Author: LetMeFly* @Date: 2025-07-18 22:33:22* @LastEditors: LetMeFly.xyz* @LastEditTime: 2025-07-20 22:28:07*/
package mainfunc maximumLength(nums []int, k int) (ans int) {dp := make([][]int, k)for i := range dp {dp[i] = make([]int, k)}for _, x := range nums {x %= kfor y := range dp {dp[y][x] = dp[x][y] + 1ans = max(ans, dp[y][x])}}return
}

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