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2014药柜设计问题

news 来源：原创 2025/6/1 18:24:24

1 题目描述

D题储药柜的设计
储药柜的结构类似于书橱，通常由若干个横向隔板和竖向隔板将储药柜分割成若干个储药槽(如图1所示)。为保证药品分拣的准确率，防止发药错误，一个储药槽内只能摆放同一种药品。药品在储药槽中的排列方式如图2所示。药品从后端放入，从前端取出。一个实际储药柜中药品的摆放情况如图3所示。
为保证药品在储药槽内顺利出入，要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间应留2mm的间隙，同时还要求药盒在储药槽内推送过程中不会出现并排重叠、侧翻或水平旋转。在忽略横向和竖向隔板厚度的情况下，建立数学模型，给出下面几个问题的解决方案。

1. 药房内的盒装药品种类繁多，药盒尺寸规格差异较大，附件1中给出了一些药盒的规格。请利用附件1的数据，给出竖向隔板间距类型最少的储药柜设计方案，包括类型的数量和每种类型所对应的药盒规格。

2. 药盒与两侧竖向隔板之间的间隙超出2mm的部分可视为宽度冗余。增加竖向隔板的间距类型数量可以有效地减少宽度冗余，但会增加储药柜的加工成本，同时降低了储药槽的适应能力。设计时希望总宽度冗余尽可能小，同时也希望间距的类型数量尽可能少。仍利用附件1的数据，给出合理的竖向隔板间距类型的数量以及每种类型对应的药品编号。

3. 考虑补药的便利性，储药柜的宽度不超过2.5m、高度不超过2m，传送装置占用的高度为0.5m，即储药柜的最大允许有效高度为1.5m。药盒与两层横向隔板之间的间隙超出2mm的部分可视为高度冗余，平面冗余＝高度冗余×宽度冗余。在问题2计算结果的基础上，确定储药柜横向隔板间距的类型数量，使得储药柜的总平面冗余量尽可能地小，且横向隔板间距的类型数量也尽可能地少。

4. 附件2给出了每一种药品编号对应的最大日需求量。在储药槽的长度为1.5m、每天仅集中补药一次的情况下，请计算每一种药品需要的储药槽个数。为保证药房储药满足需求，根据问题3中单个储药柜的规格，计算最少需要多少个储药柜。

图1 储药柜立体示意图

图2 储药柜的侧剖面及药品摆放示意图

图3 储药槽药品摆放情况

2 问题的分析

这个题目我们只需要解决掉第一题就好了

问题的分析
审题
为保证药品在储药槽内顺利出入，要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间应留2mm的间隙，同时还要求药盒在储药槽内推送过程中不会出现并排重叠、侧翻或水平旋转。

首先我们来分析一下这个重叠，侧翻和水平旋转

重叠是什么意思呢？
首先我们先设置这个药盒和药柜的长宽高
已知药盒长宽高分别是a , b , c毫米,设计储药槽长宽高分别是x , y , z毫米

这两个示意图分别代表的是不同状态下的药盒
1 重叠所需要的条件：
重叠我只画出来了一个样例还有一个数值重叠的，那么我们就要弄出两个情况
一个是宽的，一个是高的
z < 2a y < 2b

2 侧翻所需要的条件
侧翻我们有两个情况一个是基于宽的侧翻，一个是基于高的侧翻，那么我们就有两个条件就是

考虑情况1：不能完全能侧翻
z < (b^2 + c^2)^0.5 + M( 1 - u ) y < (b^2 + c^2)^0.5 + M( 1 - v ) u + v >= 1, u,v属于{0，1} M = (b^2 + c^2)^0.5

考虑情况2：极限角的情况
并且侧翻时侧面解刨图来看，长方形的一个点会和储药槽底部接触，模拟物体旋转过程发现当长方形的对角线和底部垂直时候，整个物体触顶高度达到最高值。也就是说如果储药槽设计高度低于物体的对角线长度物体将无法侧翻

这里的极限角就是为45度，所以我们就用45度来些就好了
z < (b^2 + c^2)^0.5 + M( 1 - u ) y < 2^0.5 / 2 * (b + c) + M( 1 - v ) u + v >= 1, u,v属于{0，1} M = max((b^2 + c^2)^0.5 , 2^0.5 / 2 * (b + c))

3.水平旋转

实际上和侧翻的情况一类似，只是宽和高变成了长和宽
设物体水平旋转了α度就称为水平旋转了

y < b*cosα + acos(Π/2 - α)，我们根据上述的内容可以的出这个结论

还有一个就是2mm间隙的问题了就是宽和高度
要求药盒与两侧竖向隔板之间、与上下两层横向隔板之间应留2mm的间隙
那么我们就有了这个条件
z = c+2 y = b+2

3 第一问分析(利用上述条件)

1. 药房内的盒装药品种类繁多，药盒尺寸规格差异较大，附件1中给出了一些药盒的规格。请利用附件1的数据，给出竖向隔板间距类型最少的储药柜设计方案，包括类型的数量和每种类型所对应的药盒规格
我们根据上述的条件，来进行求解这个问题，首先我们要用到这个侧翻，重叠还有水平旋转的问题
那么我们就有了这个

1 重叠，水平旋转和侧翻条件的使用

{ 2.0 * weight[i],sqrt(weight[i] * weight[i] + height[i] * height[i]), sqrt(weight[i] * weight[i] + length[i] * length[i]) }

我们就有了这么个集合来求取最小的哪一个，因为我们分析上述的条件了
分别为重叠，侧翻和水平旋转，我们选取其中的最小值就可以接触这个东西啦

2 2mm柜子的妙用
我们在求解这个问题的时候，要面临的是我们一共有多少种柜子，因为我们要把这个些药柜进行放置，这样才可以把这些药盒存储到合适的药柜，这就要用到上述的一个条件了2mm，我们把所有宽度的药柜+2mm，然后我们就可以像类似于筛子一样把这个"过滤"，就可以得到不同的宽度，同时这也是我们药柜的宽度

那么我们要怎么把这个药柜进行筛选呢？
我们可以用到这个C++的set，因为这个东西插入进去可以自动的把这个多余的柜子给过滤掉

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<fstream>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <string>
using namespace std;
const int N = 10000;
const int MAX_ROWS = 10000;  // 最大行数
int weight[1990];
int height[1990];
int length[1990];
ofstream outFile;void solve() {outFile.open("E:data.xlsx");if (!outFile.is_open()) {std::cerr << "无法打开文件" << std::endl;return;}set<double>y;double a[N], b[N];for (int i = 1;i <= 1919;i++) {a[i] = 2 + weight[i];y.insert(a[i]);b[i] = min({2.0 * weight[i],sqrt(weight[i] * weight[i] + height[i] * height[i]), sqrt(weight[i] * weight[i] + length[i] * length[i])});b[i] = (int)b[i];}for (int i = 1;i <= 1919;i++) {outFile << a[i] << '\t';}outFile << '\n';for (int i = 1;i <= 1919;i++) {outFile << b[i] << '\t';}outFile << '\n';cout << (int)y.size();for (auto x : y) {outFile << x << '\t';}
}// 从 CSV 读取数据
int readCSV(const string& filename) {ifstream file(filename);if (!file.is_open()) {cerr << "错误：无法打开文件 " << "yao.csv" << endl;return 0;}string line;int row = 1;getline(file, line);while (getline(file, line) && row < MAX_ROWS) {stringstream ss(line);string value;getline(ss, value, ',');// 读取 weight (第2列)getline(ss, value, ',');length[row] = stoi(value);// 读取 height (第3列)getline(ss, value, ',');height[row] = stoi(value);// 读取 length (第4列)getline(ss, value, ',');weight[row] = stoi(value);row++;}file.close();return row;  // 返回读取的行数
}int main() {readCSV("yao.csv");solve();return 0;
}

这里有三个函数，1 读取CSV文档 2 main函数 3 编写范围和知晓柜子一共有多少种
这个CSV可以用作一个模板以后用

这样我们就顺利利用了上述的条件，接下来就是求解

4 问题1的求解(LINGO求解)

我们根据上述的条件构建一个模型

问题所需的答案
给出竖向隔板间距类型最少的储药柜设计方案，包括类型的数量和每种类型所对应的药盒规格。

判决式
就是求取fi最小的和，也就是药柜选取最小的和是多少

约束条件
fi为这个药柜选择还是不选择 gij表示第i个药盒能否在第j个药柜里面进行装入
约束条件1：我们选取的这个药柜要在这个ai和bi的范围之内（ai表示的是这个药柜最小的取值，bi表示最大的取值）如果这个时候，这个药柜是可以在该药柜下，也可以不在该药柜下，它是自由的，就是让这个LINGO自己去判断这个自由下，还是约束下，这个药柜所存的是最小的，也就是扩大范围和不扩大范围（总的来说就是，我可以选择当下所约束的药柜，但是我们为了去求取最小的值，也可以不选这个药柜，去找之前选取过的药柜使得这个最后的药柜的类型是最小的）
约束条件2：这个表示每一个药盒都要至少有一个药柜进行装入

约束条件3：表示这个这个fi和gij为0-1变量

LINGO求解

sets:aa/1..1919/:a,b;bb/1..47/:f,y;cc(aa,bb):g;
endsetsdata:a = @OLE("E:\数学建模\题目\储药柜的设计\data.xlsx",A1:BUU1);b = @OLE("E:\数学建模\题目\储药柜的设计\data.xlsx",A2:BUU2);y = @OLE("E:\数学建模\题目\储药柜的设计\data.xlsx",A3:AU3);
enddatamin=@sum(bb(j):f(j));
@for(cc(i,j):@bin(g(i,j)));
@for(bb(i):@bin(f(i)));
@for(aa(i):@for(bb(j):a(i)*g(i,j)< y(j)*f(j)));
@for(aa(i):@for(bb(j):y(j)*f(j) < b(i) + 50*(1 - g(i,j))));
@for(aa(i):@sum(bb(j):g(i,j)) > 1);

最后求解的答案

  Global optimal solution found.Objective value:                              4.000000Objective bound:                              4.000000Infeasibilities:                              0.000000Extended solver steps:                               0Total solver iterations:                            27

5 问题1的求解(C++求解)

首先我们要进行C++求解，就要知道这个怎么进行求解
问题所需的答案
给出竖向隔板间距类型最少的储药柜设计方案，包括类型的数量和每种类型所对应的药盒规格
药柜的设计方案，数量和每一种类型所要放的药盒规格

这个问题我们可以用贪心算法进行求解，由局部最优到全局最优

首先我们要对原本的数据进行调整，就是进行排序
为什么要进行排序处理呢？我们知道贪心的思想是局部最优到全局最优，那么我们就从小往大排序，首先是最小的进行从小到大排序，然后如果一样的话，那么就是对最大值从小往大排序，编号是用来输出最后的药盒是在哪一个药柜的

首先就是不断地扫描，当由这个最大的装不下这个药柜了那么就要进行更换了，要知道越往后的药柜，它的最大范围的那个范围值是很大的，所以我们只需要利用每一次不满足了这个最小值<这个我们一开始选择的最大值，那么就要进行换个最大值了，选择别的大药柜进行装，如果到了后面开关还是false，直接就是选择58就好了

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<fstream>
#include <iostream>
#include <fstream>
#include <sstream>
#include <string>
#include <vector>
//三元组
#include <tuple>
using namespace std;
const int N = 10000;
const int MAX_ROWS = 10000;  // 最大行数
int weight[1990];
int height[1990];
int length[1990];set<double>y;        //一共有几个类型的药柜
double a[N], b[N];   //最小宽度和最大宽度set<double>test;int st[50][N];       //表示这个药盒子是否有柜子装着
int f[50];           //表示这个药柜数量
double yaogui[50];       //set类型转化位数组(便于操作)
int maxres;vector<tuple<double, double,double>> v;
int minsum = 1e8;void solve() {//一定要定义大小，要不然会报段错误v.resize(1919);for (int i = 1;i <= 1919;i++) {a[i] = 2 + weight[i];y.insert(a[i]);b[i] = min({ 2.0 * weight[i],sqrt(weight[i] * weight[i] + height[i] * height[i]), sqrt(weight[i] * weight[i] + length[i] * length[i]) });b[i] = (int)b[i];get<0>(v[i - 1]) = a[i];get<1>(v[i - 1]) = b[i];get<2>(v[i - 1]) = i;}int count = 1;for (auto i = y.begin(); i != y.end(); ++i) {yaogui[count++] = *i;}cout << y.size() << endl;
}// 从 CSV 读取数据
int readCSV(const string& filename) {ifstream file(filename);if (!file.is_open()) {cerr << "错误：无法打开文件 " << "yao.csv" << endl;return 0;}string line;int row = 1;getline(file, line);while (getline(file, line) && row < MAX_ROWS) {stringstream ss(line);string value;getline(ss, value, ',');// 读取 weight (第2列)getline(ss, value, ',');length[row] = stoi(value);// 读取 height (第3列)getline(ss, value, ',');height[row] = stoi(value);// 读取 length (第4列)getline(ss, value, ',');weight[row] = stoi(value);row++;}file.close();return row;  // 返回读取的行数
}void solve_1() {std::sort(v.begin(), v.end(), [&](const std::tuple<int, int, int>& x, const std::tuple<int, int, int>& y) {if (std::get<0>(x) == std::get<0>(y)) { // 如果第一个元素相同return std::get<1>(x) < std::get<1>(y); // 按第二个元素排序}return std::get<0>(x) < std::get<0>(y); // 按第一个元素排序});int cnt = 1;int start = 0;  int end = 0;vector<pair<int, int>> ans;vector<int> yao;while (cnt <= 1919) {auto& t = v[start];double x = get<1>(t);cnt++;bool flage = false;for (int i = start; i < v.size(); i++) {auto& t1 = v[i];double x1 = std::get<0>(t1);if (x1 > x) {end = i;flage = true;break;}double x4 = get<2>(t1);yao.push_back(x4);}if (flage == true) {auto& t2 = v[start];double x2 = std::get<1>(t2);cout << x2 << " " << "下面为该药柜的存储的药的编号：" << endl;ans.push_back(make_pair(x2, x));for (int i = 0; i < yao.size(); i++) {cout << yao[i] << " ";}yao.clear();cout << endl;cout << endl;}else if (flage == false) {auto& t3 = v[v.size()-1];double x3 = std::get<1>(t3);cout << x3 << " " << "下面为该药柜的存储的药的编号：" << endl;ans.push_back(make_pair(x3, x));for (int i = 0; i < yao.size(); i++) {cout << yao[i] << " ";}yao.clear();cout << endl;cout << endl;break;}start = end + 1;}cout << ans.size() << endl;
}int main() {readCSV("yao.csv");solve();solve_1();return 0;
}

这里只是在之前的基础上加了一个函数solve1

void solve_1() {std::sort(v.begin(), v.end(), [&](const std::tuple<int, int, int>& x, const std::tuple<int, int, int>& y) {if (std::get<0>(x) == std::get<0>(y)) { // 如果第一个元素相同return std::get<1>(x) < std::get<1>(y); // 按第二个元素排序}return std::get<0>(x) < std::get<0>(y); // 按第一个元素排序});int cnt = 1;int start = 0;  int end = 0;vector<pair<int, int>> ans;vector<int> yao;while (cnt <= 1919) {auto& t = v[start];double x = get<1>(t);cnt++;bool flage = false;for (int i = start; i < v.size(); i++) {auto& t1 = v[i];double x1 = std::get<0>(t1);if (x1 > x) {end = i;flage = true;break;}double x4 = get<2>(t1);yao.push_back(x4);}if (flage == true) {auto& t2 = v[start];double x2 = std::get<1>(t2);cout << x2 << " " << "下面为该药柜的存储的药的编号：" << endl;ans.push_back(make_pair(x2, x));for (int i = 0; i < yao.size(); i++) {cout << yao[i] << " ";}yao.clear();cout << endl;cout << endl;}else if (flage == false) {auto& t3 = v[v.size()-1];double x3 = std::get<1>(t3);cout << x3 << " " << "下面为该药柜的存储的药的编号：" << endl;ans.push_back(make_pair(x3, x));for (int i = 0; i < yao.size(); i++) {cout << yao[i] << " ";}yao.clear();cout << endl;cout << endl;break;}start = end + 1;}cout << ans.size() << endl;
}

首先我们有一个falge是用来进行这个十分要选择58这个药柜的
为了要输出药品，我们可以用一个vector装，然后药盒的编号我们可以用一个vector
每当输出一个药柜的药盒编号的时候，都要进行清空这个vector，这样才可以装下一个药柜的

47
20 下面为该药柜的存储的药的编号：
774 1471 1352 1908 1482 669 1083 1785 909 405 332 668 471 254 1032 253 255 1465 107 975 612 1336 476 1133 61 1082 1071 1070 1051 603 274 1297 527 881 923 1179 348 1367 1486 1097 84 197 122 87 1490 1535 398 456 1751 1079 4 252 1594 1565 1370 505 520 1080 1081 1300 303 723 1591 875 1177 99 872 372 1092 702 1519 699 1827 1815 120 834 687 1423 686 318 1807 828 1547 128 1100 962 1200 1464 151 1540 412 1792 620 609 1791 1466 1307 184 1321 1335 572 1455 571 570 1449 1635 775 557 1917 1887 1153 1169 934 928 1016 1022 80 1612 539 731 1030 1604 1603 855 853 1627 851 298 927 230 18 1553 1188 1618 309 310 117 312 922 835 833 317 34 821 1171 806 1797 1441 472 1212 333 334 335 1680 1132 62 1023 784 1296 67 780 697 953 241 1470 112 1172 354 1173 857 725 111 1369 360 91 396 1439 1176 97 718 392 1258 1592 1298 1185 891 434 954 890 1652 1204 269 1069 1710 576 525 1195 521 871 1272 1278 515 717 866 685 1072 862 1018 1698 1364 384 1894 1629 123 1918 1004 950 1566 518 840 424 308 25 1424 801 1537 794 1536 1135 773 1152 743 1111 734 1754 724 361 93 1256 406 185 596 1322 1459 1333 196 684 199 1279 700 1343 1353 1076 696 1291 619 1012 921 1053 168 1292 461 1085 177 1293 1209 1290 512 936 371 1402 880 971 879 1302 1717 278 141 1480 641 902 870 990 899 1049 287 1830 145 911 513 1065 260 262 263 264 1868 265 272 130 279 280 133 299 302 313 319 1538 368 140 1511 1476 1460 453 454 1433 1432 1416 240 1412 485 1409 490 1702 1380 546 555 577 1318 48 50 601 606 169 1277 57 1227 673 1781 1198 679 680 1187 1175 1771 70 733 1170 1168 758 769 1142 779 792 797 798 826 832 1087 362 1750 198 848 869 1644 877 1643 1060 1052 998 209 1891 1631 1628 1620 233 236 1737 1610 116 160036 下面为该药柜的存储的药的编号：
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