改进算法超详细：双变异樽海鞘群算法：从最优性能设计到分析

2.5 樽海鞘算法 (SSA)

基于Mirjalili等人近年来对樽海鞘的发现，提出了SSA。基本SSA的运动过程简化为以下重要步骤：

步骤1：初始化一些重要参数，包括种群大小 ($N$)、问题维度 ($D$)、问题上界 ($ub$)、问题下界 ($lb$) 和最大评估次数 ($MaxFEs$)。

步骤2：根据以下公式获得第一代樽海鞘群，然后我们得到 $N$ 个樽海鞘个体。每个人包含一个 $D$ 维变量，每个变量是对应上界 $ub$ 和下界 $lb$ 之间的随机值。

$$X=\text{initialization}(N,D,ub,lb)\text{\hspace{1em}(1)}$$

步骤3：将樽海鞘个体单独带入函数中进行评估。同时，记录每个个体的适应度值，并在其中获得 $FoodPosition$，它是樽海鞘的食物来源和当前最优解。

$$XFitnes{s}_i=\text{function}(X_i)\text{\hspace{1em}(2)}$$

$$[FoodFitness,\text{minIndex}]=\text{min}(XFitness)\text{\hspace{1em}(3)}$$

$$FoodPosition=X_{\text{minIndex}}\text{\hspace{1em}(4)}$$

步骤4：进入主循环，SSA开始寻找最优操作。循环的结束条件是达到 $MaxFEs$。SSA将樽海鞘群分为领导者和跟随者。公式(6)是领导者更新位置的核心机制。其中，$c_2$ 是服从均匀分布的随机数。简单来说，每个领导者以食物来源（当前最优解）为起点，根据每个变量的上界和下界选择相应的随机值，并根据食物来源探索空间。但上述方法不利于解的收敛，因此SSA有其关键参数 $c_1$。从公式(5)可以看出，该变量随着评估次数的增加而连续减少。因此，根据评估次数的时间轴，每个领导者逐渐从大尺度搜索过渡到小尺度探索，即使超出变量范围。值得一提的是，这一过程使算法难以在后期陷入局部最优。公式(7)是种群跟随者的更新公式。像樽海鞘链一样，在现实中，每个跟随者将跟随前一个个体（取平均值）。

$$c_1=2e^{-(4\times FEs/MaxFEs)}\text{\hspace{1em}(5)}$$

$$X_j=FoodPosition\pm c_1\times ((u{b}_j-l{b}_j)\times c_2+l{b}_j)\text{\hspace{1em}(6)}$$

$$X_i=(X_j+X_{j-1})/2\text{\hspace{1em}(7)}$$

步骤5：在领导者和种群中的所有跟随者都更新后，SSA重新评估整个种群的位置，选择最佳位置作为新的食物来源，并开始下一轮循环。当然，在评估之前，所有解必须在边界内处理，因为步骤4中的大规模搜索很容易超出范围。

基本SSA的伪代码可以通过整合上述步骤获得，如算法1所示。图1是基本SSA的流程图。

图1. 基本SSA的流程图

3 提出的方法

从上一节对基本SSA的描述中可以看出，SSA只有两个简单的核心公式，在一定程度上具有一定的优化能力。因此，SSA有很好的应用，如引言中所述。然而，基本SSA的优化能力仍有改进的空间，特别是在问题变得更加复杂时。在此基础上，我们提出了一种新的和改进的SSA，即DMSSA。它使用两种突变策略，一种是CMS，另一种是ADMS。

3.1 基本SSA的不足

从步骤4中可以发现，无论它们是领导者还是追随者，它们对种群信息的使用都不足以与其他MAS相比。具体来说，领导者以当前最优解为起点，通过自动生成的随机值进行探索。尽管追随者使用了前一个个体的信息，实验结果似乎影响不大。另一方面，重要参数$c_1$与整个算法的收敛性有关。因为这个参数在算法优化的后期呈指数级下降，无论每个解是否愿意，它们都被迫参与到探索任务中，这很容易陷入某些问题的局部优化困境。

3.2 CMS

受益于杜鹃独特繁殖方法的启发，Gandomi等人[3]提出了CS。因为杜鹃本身既不筑巢也不孵化它的蛋，而是把它的蛋放在鸟的巢里。当杜鹃蛋与巢中的蛋相似时，候选解具有良好的适应度；它们可以存活而不被遗弃。当宿主鸟发现蛋的差异时，它可能会丢弃异卵蛋或直接放弃整个巢以在新的地方建立新巢；也就是说，候选解的适应度不足以存活到下一代。因此，它参与了后续的突变过程。

CMS大致分为三个基本操作：判断、洗牌和突变。

判断：具体来说，宿主鸟判断巢中是否有异卵蛋的过程被抽象为以下公式：

$$K=\text{rand}(\text{size(nest)})>Pa\text{\hspace{1em}(8)}$$

假设巢是搜索代理，Pa是0和1之间的一个概率值，宿主鸟判断巢中蛋的标准。通过将随机数与标准Pa进行比较，我们得到一个0和1的数字矩阵。从这个矩阵中，我们可以知道每个搜索代理需要参与突变的变量（它们被标记为异卵蛋）以及哪些变量被保留（它们成功存活）。

洗牌：洗牌操作如下：

$$\text{stepsize}=\text{rand}\ast \text{nest\_diff}\text{\hspace{1em}(9)}$$

其中rand是一个在0和1之间的随机值，服从均匀分布，nest_diff用于提取不同候选解之间的差异。具体操作可以是将种群中个体的顺序打乱两次（即洗牌操作），然后相减得到nest_diff。这些差异包括解空间中各种探索的方向和大小。

突变：突变操作是接管前两个操作并实现最终位置更新。公式如下所示。

$$\text{new\_nest}=\text{nest}+\text{stepsize}\ast K\text{\hspace{1em}(10)}$$

很容易知道，当K的值为0时，候选解中的变量不受影响。相反，变量通过添加不同候选解之间的差异来获得新的解决方案，希望在下一代筛选中存活。这些解决方案充分考虑了不同解决方案之间的信息，并尝试探索解空间。这对于增加种群的多样性和摆脱局部最优是有益的。

3.3 ADMS

ADMS使用三个基本操作：选择、突变和适应。

选择和突变：在本节中，我们采用另一种突变策略，“DE/current-to-best”。基本DE/current-to-best可以采用以下形式：

$$X_{i,t+1}=X_{i,t}+F\left(X_{\text{best},t}-X_{i,t}+X_{r1,t}-X_{r2,t}\right)\text{\hspace{1em}(11)}$$

从上述公式可以看出，第t代的第i个个体通过突变操作生成第(t + 1)代的个体。更重要的是，变异的来源来自全局最优解、当前解和两个其他非重复解的线性组合。虽然添加两个非重复解将增强解空间的探索，但以牺牲收敛速度为代价。因此，上述公式修改如下：

$$X_{i,t+1}=X_{i,t}+F\left(X_{\text{best},t}-X_{r1,t-1}+X_{r1,t}-X_{r2,t}\right)\text{\hspace{1em}(12)}$$

与前一个公式的不同之处在于，变异的来源被更改为第t代解和第(t - 1)代解的线性组合。具体来说，$X_{i,t}$是突变的起点，它需要突变的方向和大小。而$X_{\text{best},t}-X_{r1,t-1}$提供了全局最优解的参考，这是探索和优化中最重要的值。其次，$X_{r1,t}-X_{r2,t-1}$提供了两代之间差异的信息。因为前一代种群通过适者生存生成下一代种群，两代之间的差异为种群对最优解的探索提供了方向和大小。

适应性：值得一提的是，随着迭代次数的增加，F应该继续减小，因为$X_{i,t}$对变异来源的参考程度在减小，但它不会减小到零。同时，交叉率CR也应该有一个类似的过程。因此，候选解从大规模探索逐渐过渡到小规模探索。受JADE [77]的启发，变异因子F和交叉率CR被自适应地给出，具体形式如下：

$$CR\sim N\left({\mu }_{CR},{\sigma }_{CR}\right)\text{\hspace{1em}(13)}$$

$$F\sim C\left(\gamma ,{\mu }_F\right)\text{\hspace{1em}(14)}$$

$${\mu }_{CR}=(1-c)\cdot {\mu }_{CR}+c\cdot {\text{mean}}_A\left(S_{CR}\right)\text{\hspace{1em}(15)}$$

$${\mu }_F=(1-c)\cdot {\mu }_F+c\cdot {\text{mean}}_L\left(S_F\right)\text{\hspace{1em}(16)}$$

$${\text{mean}}_L\left(S_F\right)=\frac{{\sum }_{F\in S_F}{F}^2}{{\sum }_{F\in S_F}F}\text{\hspace{1em}(17)}$$

其中交叉率CR服从正态分布，${\sigma }_{CR}$固定为0.1。变异因子F服从柯西分布，$\gamma$也设置为0.1。${\mu }_{CR}$和${\mu }_F$的初始值都设置为0.5。此外，将CR调整到[0, 1]的范围，并将F调整到(0, 1]的范围。与正态分布相比，柯西分布趋于更加渐进，使解决方案无论在哪个时期都保持足够的活力来探索全局最优解。顺便说一下，上述超参数的设置都来自JADE [77]的文献。

在$S_{CR}$和$S_F$中分别存储了每次成功的交叉率CR和变异因子F。此外，本研究中给出的存储阈值设置为追随者的数量。如果超过阈值，多余的数量将被随机删除。计算外部存储$S_{CR}$的算术平均值，并计算外部存储$S_F$的Lehmer平均值，如公式(17)所示。在每次迭代结束时，${\mu }_{CR}$和${\mu }_F$根据预期的想法进行减少。

3.4 提出的DMSSA

我们提出了一种基于CMS和ADMS的新SSA变体。与原始SSA相比，我们保留了原始SSA的结构，并继续采用领导者和追随者的两部分结构。同时，DMSSA引入了两种独特的突变策略。一种是CMS。该策略充分考虑了水平维度信息（问题维度），并采用大于Pa的变量的突变策略。同时，不同个体之间的差异被纵向提取，并且这些差异被应用于同意变化的个体变量。与原始SSA领导者没有使用种群信息生成的随机值相比，这种方法保持了随机性，并且不会使随机过程过于剧烈。另一种突变策略是使用自适应DE。与原始DE相比，DMSSA参考各种个体信息。最优解个体保证了搜索最佳方向的一般方向，并且通过不同代个体的差异来纠正一般方向。同时，受JADE的启发，交叉率CR和突变因子F采用不同的自适应方法。此外，交叉率CR与杜鹃蛋中的Pa相关。最后，新算法采用了原始SSA中未使用的适者生存方法。只有后代个体超过父代个体时，后代个体才能存活。这是两种策略的前提。

算法2展示了DMSSA的伪代码。图2展示了DMSSA的思想和想法，完整代码

%__________________________________________________________________________________%
% Double Mutational Salp Swarm Algorithm(DMSSA) source codes demo version 1.0      %
%            By "Chao Lin" Dated: 24-06-2022                                       %
%__________________________________________________________________________________%
function [FoodPosition,Convergence_curve]=DMSSA(N,MaxFEs,lb,ub,dim,fobj)
tic
lb=ones(1,dim).*lb;
ub=ones(1,dim).*ub;Convergence_curve = [];
FEs=0;
SalpPositions=initialization(N,dim,ub,lb);
SalpFitness=ones(N,1)*inf;
FoodPosition=zeros(1,dim);
FoodFitness=inf;%calculate the fitness of initial salps
for i=1:size(SalpPositions,1)SalpFitness(i)=fobj(SalpPositions(i,:));FEs=FEs+1;
end[FoodFitness,min_salp_fitness] = min(SalpFitness);
FoodPosition = SalpPositions(min_salp_fitness(1),:);t=2; % start from the second iteration since the first iteration was dedicated to calculating the fitness of salpsCRm=0.5;SCR=[];
Fm=0.5;SF=[];
%Main loop
while FEs<MaxFEs+2SalpPre=SalpPositions;SalpFitPre=SalpFitness;CR=CRm+0.1*randn();CR=min(1,max(0,CR));pa=CR;new_nest=empty_nests(SalpPositions,lb,ub,pa) ;SalpPositions(1:N/2,:)=new_nest(1:N/2,:);A=randperm(N);A(A<=N/2)=[];r1=A(1);r2=A(2);F = Fm + 0.1 * tan(pi * (rand() - 0.5));F = min(1, F);while F<=0F = Fm + 0.1 * tan(pi * (rand() - 0.5));F = min(1, F);endfor i=N/2+1:Nfor j=1:dimif rand()<CRSalpPositions(i,j)=SalpPositions(i,j)+(FoodPosition(j)-SalpPre(r1,j))*F+(SalpPositions(r1,j)-SalpPre(r2,j))*F;elseSalpPositions(i,j)=(SalpPositions(i,j)+SalpPositions(i-1,j))/2;endendendfor i=1:size(SalpPositions,1)SalpPositions(i,:)=max(SalpPositions(i,:),lb);SalpPositions(i,:)=min(SalpPositions(i,:),ub); SalpFitness(i)=fobj(SalpPositions(i,:));FEs=FEs+1;if SalpFitness(i)<FoodFitnessFoodPosition=SalpPositions(i,:);FoodFitness=SalpFitness(i);endif SalpFitness(i)>SalpFitPre(i)SalpPositions(i,:)=SalpPre(i,:);SalpFitness(i)=SalpFitPre(i);elseif i>N/2SCR=[SCR;CR];SF=[SF;F];endendendif size(SCR,1)>N/2rndpos=randperm(size(SCR,1));rndpos=rndpos(1:N/2);SCR=SCR(rndpos,:);endif size(SF,1)>N/2rndpos=randperm(size(SF,1));rndpos=rndpos(1:N/2);SF=SF(rndpos,:);endc=1/10;CRm=(1-c)*CRm+c*mean(SCR);Fm = (1 - c) * Fm + c * sum(SF .^ 2) / sum(SF);Convergence_curve(t-1)=FoodFitness;t = t + 1;
end
toc
endfunction new_nest=empty_nests(nest,Lb,Ub,pa)
% A fraction of worse nests are discovered with a probability pa
n=size(nest,1);
% Discovered or not -- a status vector
K=rand(size(nest))>pa;% In the real world, if a cuckoo's egg is very similar to a host's eggs, then 
% this cuckoo's egg is less likely to be discovered, thus the fitness should 
% be related to the difference in solutions.  Therefore, it is a good idea 
% to do a random walk in a biased way with some random step sizes.  
%%% New solution by biased/selective random walks
stepsize=rand*(nest(randperm(n),:)-nest(randperm(n),:));
new_nest=nest+stepsize.*K;
for j=1:size(new_nest,1)s=new_nest(j,:);new_nest(j,:)=simplebounds(s,Lb,Ub);  
end
end
function s=simplebounds(s,Lb,Ub)% Apply the lower boundns_tmp=s;I=ns_tmp<Lb;ns_tmp(I)=Lb(I);% Apply the upper bounds J=ns_tmp>Ub;ns_tmp(J)=Ub(J);% Update this new move s=ns_tmp;
end