各态历经性-随机过程

💡解答

要分析 X={Xt,t∈T}X = \{X_t, t \in T\}X={Xt​,t∈T} 和 Y={Yt,t∈T}Y = \{Y_t, t \in T\}Y={Yt​,t∈T}的联合平稳性及相关性，需从联合宽平稳过程的定义（均值函数为常数、自相关函数仅与时间差有关、互相关函数仅与时间差有关）入手。

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一、分析均值函数

• 对$X_t=\cos (\omega t+\Phi )$，由于 $\Phi$ 服从 $[0,2\pi )$上的均匀分布，即$f_{\Phi }(\varphi )=\frac{1}{2\pi },\varphi \in [0,2\pi )$，则：
  $${\mu }_X(t)=E[X_t]={\int }_0^{2\pi }\cos (\omega t+\varphi )\cdot \frac{1}{2\pi }d\varphi$$
  令$u=\omega t+\varphi$，则 $du=d\varphi$，积分区间变为 $[\omega t,\omega t+2\pi )$，积分结果为：
  $${\mu }_X(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\omega t}^{\omega t+2\pi }\cos udu=\frac{1}{2\pi }{\left[\sin u\right]}_{\omega t}^{\omega t+2\pi }=0$$

• 对 $Y_t=\sin (\omega t+\Phi )$，同理：
  $${\mu }_Y(t)=E[Y_t]={\int }_0^{2\pi }\sin (\omega t+\varphi )\cdot \frac{1}{2\pi }d\varphi$$
  令 $u=\omega t+\varphi$，积分结果为：
  $${\mu }_Y(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\omega t}^{\omega t+2\pi }\sin udu=\frac{1}{2\pi }{\left[-\cos u\right]}_{\omega t}^{\omega t+2\pi }=0$$

因此，${\mu }_X(t)=0$，${\mu }_Y(t)=0$，均为与 $t$ 无关的常数。

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二、分析自相关函数

（1）$X$的自相关函数$R_X(t,t+\tau )$

$$\begin{array}{rl}{R}_X(t,t+\tau )& =E[X_t{X}_{t+\tau }]\\ & =E\left[\cos (\omega t+\Phi )\cos (\omega (t+\tau )+\Phi )\right]\end{array}$$
利用三角恒等式 $\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)+\cos (A+B)]$，令 $A=\omega t+\Phi$，$B=\omega (t+\tau )+\Phi$，则 $A-B=-\omega \tau$，$A+B=2\omega t+\omega \tau +2\Phi$，代入得：
$$\begin{array}{rl}{R}_X(t,t+\tau )& =E\left[\frac{1}{2}\cos (-\omega \tau )+\frac{1}{2}\cos (2\omega t+\omega \tau +2\Phi )\right]\\ & =\frac{1}{2}\cos (\omega \tau )+\frac{1}{2}E\left[\cos (2\omega t+\omega \tau +2\Phi )\right]\end{array}$$
对第二项，由于 ( \Phi ) 均匀分布，( 2\Phi ) 也服从 ( [0, 4\pi) ) 上的均匀分布，积分
$${\int }_0^{2\pi }\cos (2\omega t+\omega \tau +2\varphi )\cdot \frac{1}{2\pi }d\varphi =0$$
因此：
$$R_X(t,t+\tau )=\frac{1}{2}\cos (\omega \tau )$$
可见，$R_X$仅与时间差 $\tau$有关。

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（2）$Y$的自相关函数 $R_Y(t,t+\tau )$

类似地，利用三角恒等式$\sin A\sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]$，计算 $E[Y_t{Y}_{t+\tau }]$：
$$\begin{array}{rl}{R}_Y(t,t+\tau )& =E\left[\sin (\omega t+\Phi )\sin (\omega (t+\tau )+\Phi )\right]\\ & =E\left[\frac{1}{2}\cos (-\omega \tau )-\frac{1}{2}\cos (2\omega t+\omega \tau +2\Phi )\right]\\ & =\frac{1}{2}\cos (\omega \tau )\end{array}$$
（第二项积分结果为 $0$，推导同$X$ 的自相关）
因此，$R_Y$仅与时间差 $\tau$有关**。

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三、分析互相关函数 ( R_{XY}(t, t + \tau) )

$$\begin{array}{rl}{R}_{XY}(t,t+\tau )& =E[X_t{Y}_{t+\tau }]\\ & =E\left[\cos (\omega t+\Phi )\sin (\omega (t+\tau )+\Phi )\right]\end{array}$$
利用三角恒等式 $\cos A\sin B=\frac{1}{2}[\sin (A+B)+\sin (B-A)]$，令 $A=\omega t+\Phi$，$B=\omega (t+\tau )+\Phi$，则
$A+B=2\omega t+\omega \tau +2\Phi$，$B-A=\omega \tau$，代入得：
$$\begin{array}{rl}{R}_{XY}(t,t+\tau )& =E\left[\frac{1}{2}\sin (\omega \tau )+\frac{1}{2}\sin (2\omega t+\omega \tau +2\Phi )\right]\\ & =\frac{1}{2}\sin (\omega \tau )+\frac{1}{2}E\left[\sin (2\omega t+\omega \tau +2\Phi )\right]\end{array}$$
对第二项，同理积分结果为 ( 0 )，因此：
$$R_{XY}(t,t+\tau )=\frac{1}{2}\sin (\omega \tau )$$
可见，$R_{XY}$仅与时间差 $\tau$有关。

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四、结论

• 联合平稳性：由于 ( X ) 和 ( Y ) 的均值函数为常数，且自相关函数、互相关函数均仅与时间差 $\tau$有关，因此 $X$ 和$Y$ 联合宽平稳。
• 相关性：互相关函数$R_{XY}(\tau )=\frac{1}{2}\sin (\omega \tau )$不恒为 $0$，因此$X$ 和 $Y$ 相关。

（注：若进一步分析“不相关”需看互协方差
$C_{XY}(\tau )=R_{XY}(\tau )-{\mu }_X{\mu }_Y$，
由于 ${\mu }_X={\mu }_Y=0$，故 $(C_{XY}(\tau )=R_{XY}(\tau )$，不恒为 ( 0 )，因此相关。）

解答：各态历经性分析

各态历经性需验证时间平均是否以概率 1 等于统计平均（包括均值和自相关函数）。

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步骤1：判断是否为宽平稳过程

首先验证 {X(t)}\{X(t)\}{X(t)} 是宽平稳过程：

• 均值函数：
  $${\mu }_X(t)=E[X(t)]=E[X]=1\cdot \frac{1}{3}+2\cdot \frac{1}{3}+3\cdot \frac{1}{3}=2$$
  （与 $t$ 无关）

• 自相关函数：
  $$R_X(t_1,t_2)=E[X(t_1)X(t_2)]=E[X^2]=1^2\cdot \frac{1}{3}+2^2\cdot \frac{1}{3}+3^2\cdot \frac{1}{3}=\frac{14}{3}$$
  （仅与时间差 $\tau =t_2-t_1$ 有关，实际上与 $\tau$ 无关）

因此，{X(t)}\{X(t)\}{X(t)} 是宽平稳过程。

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步骤2：计算时间平均

对于随机过程 $X(t)=X$（不随 $t$ 变化），其时间平均（均值和自相关）为：

• 时间均值：
  $$⟨X(t)⟩=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}X(t)dt=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^{T}Xdt=X$$

• 时间自相关：
  $$⟨X(t)X(t+\tau )⟩=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T{X}^{2}dt=X^2$$

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步骤3：验证各态历经性

各态历经性要求“时间平均以概率 1 等于统计平均”：

1. 均值的各态历经性：
   统计均值为 ${\mu }_X=2$，但时间均值 $⟨X(t)⟩=X$（$X$ 可取 1、2、3）。
   显然 $X$ 不恒等于 2（例如 $P(X=1)=\frac{1}{3}$），因此 $⟨X(t)⟩\ne {\mu }_X$（以正概率不相等）。

2. 自相关的各态历经性：
   统计自相关为 $R_X(\tau )=\frac{14}{3}$，但时间自相关 $⟨X(t)X(t+\tau )⟩=X^2$（$X^2$ 可取 1、4、9）。
   $X^2$ 不恒等于 $\frac{14}{3}$，因此自相关也不满足各态历经性。

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结论

随机过程 {X(t),−∞<t<+∞}\{X(t), -\infty < t < +\infty\}{X(t),−∞<t<+∞}
不具有均值的各态历经性，也不具有自相关函数的各态历经性。