定积分的几何应用（二）：旋转体体积与曲线弧长计算详解

从平面到空间，从面积到体积，用微积分探索几何世界的奥秘

在上一篇文章中，我们详细讨论了定积分在平面图形面积计算中的应用。本文将深入探讨定积分在几何学中另外两个重要应用：旋转体体积的计算和曲线弧长的求解。这些内容不仅在数学理论中具有重要意义，在工程、物理和计算机图形学等领域也有广泛应用。

一、旋转体的体积计算

旋转体是指一个平面图形绕该平面内的一条直线（旋转轴）旋转一周而形成的立体图形。计算旋转体体积的主要方法有圆盘法（Disk Method）和壳层法（Shell Method）。

1. 圆盘法（Disk Method）

数学定义

圆盘法适用于平面图形绕坐标轴旋转的情形。设函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上连续且非负，则由曲线$y=f(x)$、直线$x=a$、$x=b$及$x$轴所围成的平面图形绕$x$轴旋转一周所得的旋转体体积为：

$$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$$

同理，如果曲线由$x=g(y)$表示，且绕$y$轴旋转，则体积公式为：

$$V=\pi {\int }_c^d[g(y){]}^{2}dy$$

手动求解

示例1：求由曲线$y=\sqrt{x}$在区间$[0,4]$上绕$x$轴旋转所形成的旋转体体积。

解：

1. 确定被积函数：$f(x)=\sqrt{x}$，区间$[0,4]$
2. 应用圆盘法公式：$V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{x}{)}^{2}dx=\pi {\int }_0^{4}xdx$
3. 计算定积分：${\int }_0^{4}xdx={\left[\frac{x^2}{2}\right]}_0^4=\frac{16}{2}=8$
4. 求得体积：$V=\pi \times 8=8\pi$

示例2：计算椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$绕$x$轴旋转所形成的旋转体（旋转椭球体）体积。

解：

1. 将椭圆方程改写为$y=\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}$，$x\in [-a,a]$
2. 由于对称性，只需计算$[0,a]$区间再乘以2：$V=2\pi {\int }_0^a{\left(\frac{b}{a}\sqrt{a^2-x^2}\right)}^{2}dx=2\pi \frac{b^2}{a^2}{\int }_0^a(a^2-x^2)dx$
3. 计算积分：${\int }_0^a(a^2-x^2)dx={\left[a^{2}x-\frac{x^3}{3}\right]}_0^a=a^3-\frac{a^3}{3}=\frac{2}{3}{a}^3$
4. 求得体积：$V=2\pi \frac{b^2}{a^2}\times \frac{2}{3}{a}^3=\frac{4}{3}\pi a{b}^2$

Python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integrate# 圆盘法计算旋转体体积
def disk_method(f, a, b, axis='x'):"""使用圆盘法计算旋转体体积f: 函数a, b: 积分区间axis: 旋转轴，'x'或'y'"""if axis == 'x':# 绕x轴旋转，对x积分volume, error = integrate.quad(lambda x: np.pi * (f(x))**2, a, b)else:# 绕y轴旋转，需要反函数关系# 这里假设f是x关于y的函数volume, error = integrate.quad(lambda y: np.pi * (f(y))**2, a, b)return volume, error# 示例1：y = sqrt(x) 在 [0,4] 上绕x轴旋转
def f1(x):return np.sqrt(x)volume1, error1 = disk_method(f1, 0, 4, 'x')
print(f"旋转体体积1: {volume1:.6f} (理论值: {8*np.pi:.6f})")# 示例2：椭圆绕x轴旋转
a, b = 2, 1  # 椭圆长半轴和短半轴
def ellipse_y(x):return (b/a) * np.sqrt(a**2 - x**2)volume2, error2 = disk_method(ellipse_y, -a, a, 'x')
theoretical_volume = (4/3) * np.pi * a * b**2
print(f"旋转椭球体体积: {volume2:.6f} (理论值: {theoretical_volume:.6f})")# 可视化
fig = plt.figure(figsize=(12, 5))# 第一个子图：y = sqrt(x)
ax1 = fig.add_subplot(121, projection='3d')
x1 = np.linspace(0, 4, 100)
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
X1, Theta = np.meshgrid(x1, theta)
Y1 = f1(X1) * np.cos(Theta)
Z1 = f1(X1) * np.sin(Theta)
ax1.plot_surface(X1, Y1, Z1, alpha=0.7, cmap='viridis')
ax1.set_title(r'$y = \sqrt{x}$ 绕x轴旋转')# 第二个子图：椭圆旋转
ax2 = fig.add_subplot(122, projection='3d')
x2 = np.linspace(-a, a, 100)
X2, Theta2 = np.meshgrid(x2, theta)
Y2 = ellipse_y(X2) * np.cos(Theta2)
Z2 = ellipse_y(X2) * np.sin(Theta2)
ax2.plot_surface(X2, Y2, Z2, alpha=0.7, cmap='plasma')
ax2.set_title('椭圆绕x轴旋转')plt.tight_layout()
plt.show()

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2. 壳层法（Shell Method）

数学定义

当旋转轴与积分变量垂直时，壳层法通常更为简便。设函数$y=f(x)$在区间$[a,b]$上连续且非负，则该曲线绕$y$轴旋转所形成的旋转体体积为：

$$V=2\pi {\int }_a^{b}xf(x)dx$$

同理，如果曲线由$x=g(y)$表示，且绕$x$轴旋转，则体积公式为：

$$V=2\pi {\int }_c^{d}yg(y)dy$$

手动求解

示例：求曲线$y=x^2$在区间$[0,2]$上绕$y$轴旋转所形成的旋转体体积。

解：

1. 确定被积函数：$f(x)=x^2$，区间$[0,2]$
2. 应用壳层法公式：$V=2\pi {\int }_0^{2}x\cdot x^{2}dx=2\pi {\int }_0^2{x}^{3}dx$
3. 计算定积分：${\int }_0^2{x}^{3}dx={\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^2=\frac{16}{4}=4$
4. 求得体积：$V=2\pi \times 4=8\pi$

验证（圆盘法）： 将函数改写为$x=\sqrt{y}$，$y\in [0,4]$，则： $V=\pi {\int }_0^4(\sqrt{y}{)}^{2}dy=\pi {\int }_0^{4}ydy=\pi {\left[\frac{y^2}{2}\right]}_0^4=\pi \times 8=8\pi$ 两种方法结果一致。

Python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integrate# 壳层法计算旋转体体积
def shell_method(f, a, b, axis='y'):"""使用壳层法计算旋转体体积f: 函数a, b: 积分区间axis: 旋转轴，'y'表示绕y轴旋转，'x'表示绕x轴旋转"""if axis == 'y':# 绕y轴旋转，对x积分volume, error = integrate.quad(lambda x: 2 * np.pi * x * f(x), a, b)else:# 绕x轴旋转，对y积分# 这里假设f是x关于y的函数volume, error = integrate.quad(lambda y: 2 * np.pi * y * f(y), a, b)return volume, error# 示例：y = x^2 在 [0,2] 上绕y轴旋转
def f2(x):return x**2volume_shell, error_shell = shell_method(f2, 0, 2, 'y')# 使用圆盘法验证
def inverse_f2(y):return np.sqrt(y)  # x = sqrt(y)volume_disk, error_disk = integrate.quad(lambda y: np.pi * (inverse_f2(y))**2, 0, 4)print(f"壳层法计算的体积: {volume_shell:.6f}")
print(f"圆盘法计算的体积: {volume_disk:.6f}")
print(f"理论值: {8*np.pi:.6f}")# 可视化壳层法原理
x = np.linspace(0.1, 2, 20)  # 避免x=0
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 50)fig = plt.figure(figsize=(10, 5))
ax = fig.add_subplot(111, projection='3d')# 绘制几个代表性的圆柱壳
for i, xi in enumerate(x[::4]):  # 每隔4个取一个点theta_i = np.linspace(0, 2*np.pi, 30)y_i = f2(xi) * np.ones_like(theta_i)x_i = xi * np.cos(theta_i)z_i = xi * np.sin(theta_i)ax.plot(x_i, y_i, z_i, 'b-', alpha=0.7)ax.set_xlabel('X')
ax.set_ylabel('Y')
ax.set_zlabel('Z')
ax.set_title('壳层法原理示意图')plt.show()

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二、平面曲线的弧长计算

计算平面曲线的弧长是定积分的另一重要几何应用。根据曲线方程的不同形式，弧长计算公式也有所不同。

1. 直角坐标方程下的弧长计算

数学定义

设曲线$C$由方程$y=f(x)$给出，且$f(x)$在$[a,b]$上具有一阶连续导数，则曲线$C$从$x=a$到$x=b$的弧长为：

$$L={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

这一公式的推导基于微分三角形思想：弧长微元$ds=\sqrt{(dx{)}^2+(dy{)}^2}=\sqrt{1+{\left(\frac{dy}{dx}\right)}^2}dx$。

手动求解

示例：求曲线$y=\frac{2}{3}{x}^{3/2}$在区间$[0,3]$上的弧长。

解：

1. 求导数：$f^{\prime }(x)=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}{x}^{1/2}=\sqrt{x}$
2. 构造被积函数：$\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}=\sqrt{1+x}$
3. 计算弧长：$L={\int }_0^3\sqrt{1+x}dx$
4. 计算积分：令$u=1+x$，则$du=dx$，当$x=0$时$u=1$，$x=3$时$u=4$ $L={\int }_1^4\sqrt{u}du={\left[\frac{2}{3}{u}^{3/2}\right]}_1^4=\frac{2}{3}(8-1)=\frac{14}{3}$

Python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integrate# 直角坐标下弧长计算
def arc_length_cartesian(f, f_prime, a, b):"""计算直角坐标系下曲线的弧长f: 函数f_prime: 函数的导数a, b: 积分区间"""def integrand(x):return np.sqrt(1 + f_prime(x)**2)length, error = integrate.quad(integrand, a, b)return length, error# 示例：y = (2/3)x^(3/2) 在 [0,3] 上的弧长
def f3(x):return (2/3) * x**(3/2)def f3_prime(x):return np.sqrt(x)length1, error1 = arc_length_cartesian(f3, f3_prime, 0, 3)
print(f"曲线弧长: {length1:.6f} (理论值: {14/3:.6f})")# 可视化曲线
x = np.linspace(0, 3, 100)
y = f3(x)plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, 'b-', linewidth=2, label='$y = \\frac{2}{3}x^{3/2}$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('曲线弧长计算示例')
plt.grid(True)
plt.legend()# 标注弧长
plt.text(1.5, 2, f'弧长 L = {length1:.4f}', fontsize=12, bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.3", facecolor="white", alpha=0.7))plt.show()

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2. 参数方程下的弧长计算

数学定义

若曲线由参数方程$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\end{array}$（$t\in [\alpha ,\beta ]$）给出，且$x(t)$和$y(t)$在$[\alpha ,\beta ]$上具有连续导数，则弧长公式为：

$$L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2+{\left(\frac{dy}{dt}\right)}^2}dt$$

手动求解

示例：计算摆线$\{\begin{array}{l}x=a(\theta -\sin \theta )\\ y=a(1-\cos \theta )\end{array}$的一拱（$0\le \theta \le 2\pi$）的长度。

解：

1. 求导数：$\frac{dx}{d\theta }=a(1-\cos \theta )$，$\frac{dy}{d\theta }=a\sin \theta$
2. 构造被积函数： $\sqrt{{\left(\frac{dx}{d\theta }\right)}^2+{\left(\frac{dy}{d\theta }\right)}^2}=\sqrt{a^2(1-\cos \theta {)}^2+a^2{\sin }^2\theta }$ $=a\sqrt{1-2\cos \theta +{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=a\sqrt{2-2\cos \theta }$ $=a\sqrt{4{\sin }^2(\theta /2)}=2a|\sin (\theta /2)|$
3. 在$[0,2\pi ]$上，$\sin (\theta /2)\ge 0$，故可去掉绝对值
4. 计算弧长：$L={\int }_0^{2\pi }2a\sin (\theta /2)d\theta =4a{\left[-\cos (\theta /2)\right]}_0^{2\pi }=4a(1-(-1))=8a$

Python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integrate# 参数方程下弧长计算
def arc_length_parametric(x, y, x_prime, y_prime, alpha, beta):"""计算参数方程下曲线的弧长x, y: 参数函数x_prime, y_prime: 参数的导数alpha, beta: 参数区间"""def integrand(t):return np.sqrt(x_prime(t)**2 + y_prime(t)**2)length, error = integrate.quad(integrand, alpha, beta)return length, error# 示例：摆线一拱的长度
a = 1  # 摆线参数def x_cycloid(theta):return a * (theta - np.sin(theta))def y_cycloid(theta):return a * (1 - np.cos(theta))def x_prime_cycloid(theta):return a * (1 - np.cos(theta))def y_prime_cycloid(theta):return a * np.sin(theta)length_cycloid, error_cycloid = arc_length_parametric(x_cycloid, y_cycloid, x_prime_cycloid, y_prime_cycloid, 0, 2*np.pi)print(f"摆线一拱的长度: {length_cycloid:.6f} (理论值: {8*a:.6f})")# 可视化摆线
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
x_vals = x_cycloid(theta)
y_vals = y_cycloid(theta)plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x_vals, y_vals, 'r-', linewidth=2, label='摆线')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('摆线一拱')
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.legend()# 标注弧长
plt.text(3, 1.5, f'弧长 L = {length_cycloid:.4f}', fontsize=12, bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.3", facecolor="white", alpha=0.7))plt.show()

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3. 极坐标方程下的弧长计算

数学定义

若曲线由极坐标方程$r=r(\theta )$（$\theta \in [\alpha ,\beta ]$）给出，且$r(\theta )$在$[\alpha ,\beta ]$上具有连续导数，则弧长公式为：

$$L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2}d\theta$$

手动求解

示例：求心形线$r=a(1+\cos \theta )$（$a>0$，$0\le \theta \le 2\pi$）的长度。

解：

1. 求导数：$\frac{dr}{d\theta }=-a\sin \theta$
2. 构造被积函数： $\sqrt{r^2+{\left(\frac{dr}{d\theta }\right)}^2}=\sqrt{a^2(1+\cos \theta {)}^2+a^2{\sin }^2\theta }$ $=a\sqrt{1+2\cos \theta +{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=a\sqrt{2+2\cos \theta }$ $=a\sqrt{4{\cos }^2(\theta /2)}=2a|\cos (\theta /2)|$
3. 由于心形线对称，计算$[0,\pi ]$区间再乘以2： $L=2{\int }_0^{\pi }2a\cos (\theta /2)d\theta =4a{\int }_0^{\pi }\cos (\theta /2)d\theta$
4. 计算积分：令$u=\theta /2$，则$du=d\theta /2$，$\theta =0$时$u=0$，$\theta =\pi$时$u=\pi /2$ $L=4a{\int }_0^{\pi /2}\cos u\cdot 2du=8a[\sin u{]}_0^{\pi /2}=8a(1-0)=8a$

Python代码

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy import integrate# 极坐标下弧长计算
def arc_length_polar(r, r_prime, alpha, beta):"""计算极坐标系下曲线的弧长r: 极径函数r_prime: 极径的导数alpha, beta: 角度区间"""def integrand(theta):return np.sqrt(r(theta)**2 + r_prime(theta)**2)length, error = integrate.quad(integrand, alpha, beta)return length, error# 示例：心形线的长度
a = 1  # 心形线参数def r_cardioid(theta):return a * (1 + np.cos(theta))def r_prime_cardioid(theta):return -a * np.sin(theta)length_cardioid, error_cardioid = arc_length_polar(r_cardioid, r_prime_cardioid, 0, 2*np.pi)print(f"心形线的长度: {length_cardioid:.6f} (理论值: {8*a:.6f})")# 可视化心形线
theta = np.linspace(0, 2*np.pi, 100)
r_vals = r_cardioid(theta)# 极坐标转直角坐标
x_vals = r_vals * np.cos(theta)
y_vals = r_vals * np.sin(theta)plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.plot(x_vals, y_vals, 'm-', linewidth=2, label='心形线')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('心形线')
plt.grid(True)
plt.axis('equal')
plt.legend()# 标注弧长
plt.text(0, 0.5, f'弧长 L = {length_cardioid:.4f}', fontsize=12, bbox=dict(boxstyle="round,pad=0.3", facecolor="white", alpha=0.7),ha='center')plt.show()

Python代码执行结果

三、方法选择与应用技巧

在实际应用中，正确选择计算方法至关重要。以下是旋转体体积和曲线弧长计算的方法选择指南：

旋转体体积计算方法选择

情况	推荐方法	理由
绕x轴旋转，y=f(x)已知	圆盘法	直接对x积分，公式简单
绕y轴旋转，x=g(y)已知	圆盘法	直接对y积分，公式简单
绕y轴旋转，y=f(x)已知	壳层法	避免求反函数，计算更简便
绕x轴旋转，x=g(y)已知	壳层法	避免求反函数，计算更简便
旋转轴不是坐标轴	平移坐标轴	转化为绕坐标轴旋转的问题

曲线弧长计算方法选择

曲线表示形式	弧长公式	适用条件
直角坐标y=f(x)	$L={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$	f’(x)连续
参数方程x=x(t),y=y(t)	$L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{[x^{\prime }(t){]}^2+[y^{\prime }(t){]}^2}dt$	x’(t),y’(t)连续
极坐标r=r(θ)	$L={\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{r^2(\theta )+[r^{\prime }(\theta ){]}^2}d\theta$	r(θ)连续可导

总结

本文详细探讨了定积分在旋转体体积和曲线弧长计算中的应用。通过圆盘法和壳层法，我们可以计算各种旋转体的体积；而根据曲线表示形式的不同，选择适当的弧长公式可以准确求出曲线长度。

这些应用体现了微积分**“化整为零，以直代曲”**的核心思想，通过无限细分和近似替代，将复杂的几何问题转化为可计算的定积分问题。掌握这些方法不仅有助于解决数学问题，也为工程、物理等领域的实际应用提供了重要工具。

在下一篇文章中，我们将继续探讨定积分在物理学中的应用，包括功、质心和转动惯量等问题的计算。

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往期精彩回顾：

• 用Python来学微积分35-变上限定积分
• 用Python来学微积分36-牛顿 - 莱布尼茨公式的深度解析
• 定积分的几何应用（一）：平面图形面积计算详解

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参考资料：

1. 扈志明《微积分》教材

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