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Rust 练习册 ：Nth Prime与素数算法

news 2025/11/8 7:19:46

素数是数学中的基本概念，在密码学、计算机科学和数论中都有重要应用。在 Exercism 的 “nth-prime” 练习中，我们需要实现一个函数来找到第n个素数。这不仅能帮助我们掌握素数判断和生成算法，还能深入学习Rust中的迭代器、数学计算和性能优化技巧。

什么是素数？

素数是大于1的自然数，除了1和它本身之外没有其他正因数。例如：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29等都是素数。

在我们的练习中，需要实现一个函数来找到第n个素数（从0开始计数）。例如：

  • 第0个素数是2
  • 第1个素数是3
  • 第5个素数是13

素数在以下领域有重要应用：

  1. 密码学：RSA加密算法依赖于大素数
  2. 哈希表：使用素数作为哈希表大小可以减少冲突
  3. 随机数生成：某些随机数生成器使用素数
  4. 数论研究：素数是数论研究的核心对象

让我们先看看练习提供的实现：

pub fn nth(n: u32) -> u32 {(2..).filter(|i| is_prime(*i)).nth(n as usize).unwrap_or(0)
}fn is_prime(n: u32) -> bool {!(2..n).any(|i| n % i == 0)
}

这是一个简洁但效率不高的实现。它使用迭代器从2开始生成所有数字，过滤出素数，然后取第n个。

设计分析

1. 核心要求

  1. 素数判断：判断一个数是否为素数
  2. 素数生成：生成素数序列
  3. 索引查找：找到第n个素数
  4. 性能考虑：优化算法以提高效率

2. 技术要点

  1. 迭代器使用：充分利用Rust的迭代器功能
  2. 数学优化：优化素数判断算法
  3. 边界处理：正确处理边界情况
  4. 类型选择：选择合适的数据类型

完整实现

1. 基础实现

pub fn nth(n: u32) -> u32 {(2..).filter(|i| is_prime(*i)).nth(n as usize).unwrap_or(0)
}fn is_prime(n: u32) -> bool {!(2..n).any(|i| n % i == 0)
}

2. 优化的素数判断

pub fn nth(n: u32) -> u32 {(2..).filter(|i| is_prime(*i)).nth(n as usize).unwrap_or(0)
}fn is_prime(n: u32) -> bool {if n < 2 {return false;}if n == 2 {return true;}if n % 2 == 0 {return false;}let limit = (n as f64).sqrt() as u32;!(3..=limit).step_by(2).any(|i| n % i == 0)
}

3. 埃拉托斯特尼筛法实现

pub fn nth(n: u32) -> u32 {if n == 0 {return 2;}// 估算第n个素数的上界（使用素数定理的近似）let limit = if n < 6 {12} else {(n as f64 * (n as f64).ln() + n as f64 * (n as f64).ln().ln()) as usize};let primes = sieve_of_eratosthenes(limit);primes[n as usize]
}fn sieve_of_eratosthenes(limit: usize) -> Vec<u32> {if limit < 2 {return vec![];}let mut is_prime = vec![true; limit + 1];is_prime[0] = false;if limit >= 1 {is_prime[1] = false;}let sqrt_limit = (limit as f64).sqrt() as usize;for i in 2..=sqrt_limit {if is_prime[i] {let mut j = i * i;while j <= limit {is_prime[j] = false;j += i;}}}(2..=limit).filter(|&i| is_prime[i]).map(|i| i as u32).collect()
}

测试用例分析

通过查看测试用例，我们可以更好地理解需求：

#[test]
fn test_first_prime() {assert_eq!(np::nth(0), 2);
}

第0个素数是2。

#[test]
fn test_second_prime() {assert_eq!(np::nth(1), 3);
}

第1个素数是3。

#[test]
fn test_sixth_prime() {assert_eq!(np::nth(5), 13);
}

第5个素数是13。

#[test]
fn test_big_prime() {assert_eq!(np::nth(10_000), 104_743);
}

第10,000个素数是104,743。

性能优化版本

考虑性能的优化实现：

pub fn nth(n: u32) -> u32 {match n {0 => 2,1 => 3,_ => {let mut count = 2; // 已经计算了2和3let mut candidate = 5; // 从5开始检查loop {if is_prime_optimized(candidate) {if count == n {return candidate;}count += 1;}candidate += 2; // 只检查奇数}}}
}fn is_prime_optimized(n: u32) -> bool {if n < 2 {return false;}if n == 2 || n == 3 {return true;}if n % 2 == 0 || n % 3 == 0 {return false;}// 所有素数都可以表示为6k±1的形式（除了2和3）let limit = (n as f64).sqrt() as u32;let mut i = 5;while i <= limit {if n % i == 0 || n % (i + 2) == 0 {return false;}i += 6;}true
}// 使用缓存的版本
pub struct PrimeGenerator {primes: Vec<u32>,current: u32,
}impl PrimeGenerator {pub fn new() -> Self {PrimeGenerator {primes: vec![2, 3],current: 5,}}pub fn nth(&mut self, n: u32) -> u32 {while self.primes.len() <= n as usize {if self.is_prime(self.current) {self.primes.push(self.current);}self.current += 2; // 只检查奇数}self.primes[n as usize]}fn is_prime(&self, n: u32) -> bool {let limit = (n as f64).sqrt() as u32;for &prime in &self.primes {if prime > limit {break;}if n % prime == 0 {return false;}}true}
}// 全局缓存版本
use std::sync::Mutex;
use std::collections::HashMap;
use once_cell::sync::Lazy;static PRIME_CACHE: Lazy<Mutex<HashMap<u32, u32>>> = Lazy::new(|| Mutex::new(HashMap::new()));pub fn nth_cached(n: u32) -> u32 {{let cache = PRIME_CACHE.lock().unwrap();if let Some(&prime) = cache.get(&n) {return prime;}}let prime = nth(n);let mut cache = PRIME_CACHE.lock().unwrap();cache.insert(n, prime);prime
}

错误处理和边界情况

考虑更多边界情况的实现：

#[derive(Debug, PartialEq)]
pub enum PrimeError {InvalidIndex,Overflow,
}pub fn nth_safe(n: u32) -> Result<u32, PrimeError> {if n > 100_000 {return Err(PrimeError::InvalidIndex); // 防止过长计算}match n {0 => Ok(2),1 => Ok(3),_ => {let mut count = 2;let mut candidate = 5;loop {if is_prime_optimized(candidate) {if count == n {return Ok(candidate);}count += 1;}candidate += 2;// 防止溢出if candidate < 5 {return Err(PrimeError::Overflow);}}}}
}fn is_prime_optimized(n: u32) -> bool {if n < 2 {return false;}if n == 2 || n == 3 {return true;}if n % 2 == 0 || n % 3 == 0 {return false;}let limit = (n as f64).sqrt() as u32;let mut i = 5;while i <= limit {if n % i == 0 || n % (i + 2) == 0 {return false;}i += 6;}true
}pub fn nth(n: u32) -> u32 {nth_safe(n).unwrap_or(0)
}

扩展功能

基于基础实现，我们可以添加更多功能：

pub struct PrimeUtils;impl PrimeUtils {// 生成前n个素数pub fn first_n_primes(n: u32) -> Vec<u32> {(0..n).map(|i| nth(i)).collect()}// 检查一个数是否为素数pub fn is_prime(n: u32) -> bool {if n < 2 {return false;}if n == 2 || n == 3 {return true;}if n % 2 == 0 || n % 3 == 0 {return false;}let limit = (n as f64).sqrt() as u32;let mut i = 5;while i <= limit {if n % i == 0 || n % (i + 2) == 0 {return false;}i += 6;}true}// 获取小于n的所有素数pub fn primes_less_than(n: u32) -> Vec<u32> {if n <= 2 {return vec![];}let mut is_prime = vec![true; n as usize];is_prime[0] = false;is_prime[1] = false;let sqrt_limit = (n as f64).sqrt() as usize;for i in 2..=sqrt_limit {if is_prime[i] {let mut j = i * i;while j < n as usize {is_prime[j] = false;j += i;}}}(2..n as usize).filter(|&i| is_prime[i]).map(|i| i as u32).collect()}// 获取素数的近似位置pub fn approximate_index(prime: u32) -> u32 {if prime < 2 {return 0;}(prime as f64 / (prime as f64).ln()) as u32}// 验证第n个素数pub fn verify_nth_prime(n: u32, expected: u32) -> bool {nth(n) == expected && Self::is_prime(expected)}
}// 素数生成器迭代器
pub struct PrimeIterator {current_index: u32,
}impl PrimeIterator {pub fn new() -> Self {PrimeIterator { current_index: 0 }}
}impl Iterator for PrimeIterator {type Item = u32;fn next(&mut self) -> Option<Self::Item> {let prime = nth(self.current_index);self.current_index += 1;Some(prime)}
}// 便利函数
pub fn nth(n: u32) -> u32 {match n {0 => 2,1 => 3,_ => {let mut count = 2;let mut candidate = 5;loop {if PrimeUtils::is_prime(candidate) {if count == n {return candidate;}count += 1;}candidate += 2;}}}
}

实际应用场景

素数算法在实际开发中有以下应用：

  1. 密码学：RSA加密、Diffie-Hellman密钥交换
  2. 哈希表：选择合适的表大小以减少冲突
  3. 随机数生成：线性同余生成器等算法
  4. 算法竞赛：数论相关问题
  5. 科学计算：数论研究和数学建模
  6. 游戏开发：生成伪随机数和哈希值
  7. 区块链：加密货币中的哈希算法
  8. 网络协议：安全通信协议中的密钥生成

算法复杂度分析

  1. 基础实现时间复杂度：O(n × p²)

    • 其中p是第n个素数，需要检查n个素数，每个素数的判断需要O§时间

  2. 优化实现时间复杂度：O(n × √p)

    • 优化了素数判断算法，只需要检查到√p

  3. 埃拉托斯特尼筛法时间复杂度：O(n × log(log(n)))

    • 对于生成大量素数更高效

  4. 空间复杂度：

    • 基础实现：O(1)
    • 筛法实现：O(n)

与其他实现方式的比较

// 使用递归的实现
pub fn nth_recursive(n: u32) -> u32 {fn find_nth_prime(index: u32, current: u32, count: u32) -> u32 {if count == index {return current;}let next = if current == 2 { 3 } else { current + 2 };if is_prime(next) {find_nth_prime(index, next, count + 1)} else {find_nth_prime(index, next, count)}}if n == 0 {2} else {find_nth_prime(n, 1, 0)}
}fn is_prime(n: u32) -> bool {if n < 2 {return false;}if n == 2 || n == 3 {return true;}if n % 2 == 0 || n % 3 == 0 {return false;}let limit = (n as f64).sqrt() as u32;let mut i = 5;while i <= limit {if n % i == 0 || n % (i + 2) == 0 {return false;}i += 6;}true
}// 使用生成器模式的实现
pub struct SieveOfEratosthenes {current: usize,sieve: Vec<bool>,
}impl SieveOfEratosthenes {pub fn new(limit: usize) -> Self {let mut sieve = vec![true; limit];if limit > 0 {sieve[0] = false;}if limit > 1 {sieve[1] = false;}let sqrt_limit = (limit as f64).sqrt() as usize;for i in 2..=sqrt_limit {if sieve[i] {let mut j = i * i;while j < limit {sieve[j] = false;j += i;}}}SieveOfEratosthenes { current: 2, sieve }}
}impl Iterator for SieveOfEratosthenes {type Item = usize;fn next(&mut self) -> Option<Self::Item> {while self.current < self.sieve.len() {if self.sieve[self.current] {let prime = self.current;self.current += 1;return Some(prime);}self.current += 1;}None}
}// 使用第三方库的实现
// [dependencies]
// primal = "0.3"pub fn nth_primal(n: u32) -> u32 {primal::nth_prime(n as usize) as u32
}// 使用并行计算的实现
use rayon::prelude::*;pub fn nth_parallel(n: u32) -> u32 {if n == 0 {return 2;}let limit = (n * 15) as usize; // 估算上界let candidates: Vec<usize> = (2..limit).collect();let primes: Vec<usize> = candidates.par_iter().filter(|&&i| is_prime_parallel(i as u32)).collect();primes[n as usize] as u32
}fn is_prime_parallel(n: u32) -> bool {if n < 2 {return false;}if n == 2 || n == 3 {return true;}if n % 2 == 0 || n % 3 == 0 {return false;}let limit = (n as f64).sqrt() as u32;!(5..=limit).step_by(6).any(|i| n % i == 0 || n % (i + 2) == 0)
}

总结

通过 nth-prime 练习，我们学到了：

  1. 素数算法：掌握了素数判断和生成的基本算法
  2. 迭代器使用：学会了使用Rust的迭代器功能
  3. 数学优化：理解了如何优化数学算法
  4. 性能优化：了解了不同实现方式的性能特点
  5. 缓存技术：学会了使用缓存提高重复计算的效率
  6. 边界处理：深入理解了边界情况的处理

这些技能在实际开发中非常有用，特别是在密码学、算法竞赛、科学计算等场景中。素数计算虽然是一个经典的数学问题，但它涉及到了算法优化、数学计算、性能优化等许多核心概念，是学习Rust实用编程的良好起点。

通过这个练习，我们也看到了Rust在数学计算和算法实现方面的强大能力，以及如何用安全且高效的方式实现经典算法。这种结合了安全性和性能的语言特性正是Rust的魅力所在。

http://www.dtcms.com/a/580922.html

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