【数论】裴蜀定理与扩展欧几里得算法 (exgcd)

一、裴蜀定理

1. 裴蜀定理的内容

裴蜀定理又称贝祖定理，它的内容是：

设 $d$ 是整数 $a,b$ 的最大公约数，则一定存在整数 $x,y$，使得 $ax+by=d$。

通过这个定理，我们可以判断一个不定方程是否存在整数解。

注意 $a,b$ 的正负是不影响结果的。因为 $a,b$ 如果存在解，那么也 $a,-b$ 或者 $-a,b$ 也一定存在解，只不过是在原来解的基础上添上一个负号。

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2. 裴祖定理的推论

• 设 $d$ 是整数 $a,b$ 的最大公约数，则一定存在整数 $x,y$，使得 $ax+by=nd$。（$n\in Z$）

因此我们可以得出，对于一个不定方程 $ax+by=c$，如果有 $\gcd (a,b)\mid c$，那么该不定方程一定有解。

• 一定存在整数 $x_1,x_2,\cdots ,x_k$，使得方程 $a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_k{x}_k=\gcd (a_1,a_2,\cdots ,a_k)\times n$ 成立。

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3.【模板】裴蜀定理 ⭐⭐

【题目链接】

P4549 【模板】裴蜀定理 - 洛谷

【题目描述】

给定一个包含 $n$ 个元素的整数序列 $A$，记作 $A_1,A_2,A_3,...,A_n$。

求另一个包含 $n$ 个元素的待定整数序列 $X$，记 $S=\sum _{i=1}^n{A}_i\times X_i$，使得 $S>0$ 且 $S$ 尽可能的小。

【输入格式】

第一行一个整数 $n$，表示序列元素个数。

第二行 $n$ 个整数，表示序列 $A$。

【输出格式】

一行一个整数，表示 $S>0$ 的前提下 $S$ 的最小值。

【示例一】

输入

2
4059 -1782

输出

99

【说明/提示】

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 20$，$|A_i|\le 10^5$，且 $A$ 序列不全为 $0$。

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根据裴蜀定理， 不定方程 $S\sum _{i=1}^n{A}_i\times X_i$ 的解为 $\gcd (A_1,A_2,\cdots ,A_n)\times k$，要使得它的解大于零且尽可能的小，那么实际上就是求 $\gcd (A_1,A_2,\cdots ,A_n)$。

#include<iostream>using namespace std;// 欧几里得算法求最大公因数
int gcd(int a, int b)
{return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}int main()
{int n; cin >> n;int ret; cin >> ret;while(--n){int x; cin >> x;ret = gcd(ret, abs(x));}cout << ret << endl;return 0;
}

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二、扩展欧几里得算法 (exgcd)

1. exgcd 解决的问题

对于一个不定方程
$$ax+by=\gcd (a,b)$$
来说，由裴祖定理我们知道这个方程一定是有解的，那么我们去求一组非零整数解 $x,y$ 的过程，就要用到扩展欧几里得算法。

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2. exgcd 的算法过程

它的计算过程如下：

注：下面推导中得分式除法表示整除。

• 当 $b=0$ 时，

$ax+by=ax$，因此有一组解为 $x=1,y=0$；

• 当 $b\ne 0$ 时，

由欧几里得算法得：$\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{mod}b)$，则
$$\begin{gathered} \gcd (a,b)=ax+by \\ \Downarrow \\ \begin{array}{rl}\gcd (b,a\mathrm{mod}b)& =b{x}_1+(a\mathrm{mod}b)y_1\\ & =b{x}_1+(a-\frac{a}{b}\times b)y_1\\ & =a{y}_1+b(x_1-\frac{a}{b}{y}_1)\end{array} \end{gathered}$$
等式左右应该相等，因此
$$x=y1,y=x1-\frac{a}{b}{y}_1$$
于是我们可以利用递归，先求出下一层得 $x_1,y_1$，再求出当前的 $x,y$。

上述递归过程，可以求出一组特解：$x_0,y_0$，之后我们可以构造出通解，通解为
$$\{\begin{array}{l}x=x_0+\frac{b}{\gcd (a,b)}\times k\\ y=y_0-\frac{a}{\gcd (a,b)}\times k\end{array}$$
其中 $k\in N^{+}$。

代码实现：

typedef long long LL;// exgcd(扩展欧几里得算法) 的返回值和 gcd(欧几里得算法) 一样，都是返回 gcd(a, b)
// 不同的是 exgcd 还可以求出不定方程 ax + by = gcd(a, b) 的一组特解 x, y
// 由于 C++ 只能有一个返回值，所以我们要求的 x, y 需要传引用
LL exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{if(b == 0){x = 1, y = 0;return a;}// b 不为 0LL x1, y1, d;// 递归求出 x1, y1d = exgcd(b, a % b, x1, y1);// 利用公式求出当前层的 x, yx = y1;y = x1 - a / b * y1;return d;
}

时间复杂度与欧几里得算法一致，为 $O(\log n)$。

如果自己手算一个不定方程 $ax+by=\gcd (a,b)$ 的解，可以利用先写出欧几里得算法的过程，之后逆向推出 $x$ 和 $y$，下面给出一个示例：

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3.【模板】二元一次不定方程 (exgcd) ⭐⭐⭐⭐

【题目链接】

P5656 【模板】二元一次不定方程 (exgcd) - 洛谷

【题目描述】

给定不定方程

$$ax+by=c$$

若该方程无整数解，输出 $-1$。
若该方程有整数解，且有正整数解，则输出其正整数解的数量，所有正整数解中 $x$ 的最小值，所有正整数解中 $y$ 的最小值，所有正整数解中 $x$ 的最大值，以及所有正整数解中 $y$ 的最大值。
若方程有整数解，但没有正整数解，你需要输出所有整数解中 $x$ 的最小正整数值， $y$ 的最小正整数值。

正整数解即为 $x,y$ 均为正整数的解，$0$ 不是正整数。
整数解即为 $x,y$ 均为整数的解。
$x$ 的最小正整数值即所有 $x$ 为正整数的整数解中 $x$ 的最小值，$y$ 同理。

【输入格式】

第一行一个正整数 $T$，代表数据组数。

接下来 $T$ 行，每行三个由空格隔开的正整数 $a,b,c$。

【输出格式】

$T$ 行。

若该行对应的询问无整数解，一个数字 $-1$。
若该行对应的询问有整数解但无正整数解，包含 $2$ 个由空格隔开的数字，依次代表整数解中，$x$ 的最小正整数值，$y$ 的最小正整数值。
否则包含 $5$ 个由空格隔开的数字，依次代表正整数解的数量，正整数解中，$x$ 的最小值，$y$ 的最小值，$x$ 的最大值，$y$ 的最大值。

读入输出量较大，注意使用较快的读入输出方式

【示例一】

输入

7
2 11 100
3 18 6
192 608 17
19 2 60817
11 45 14
19 19 810
98 76 5432

输出

4 6 2 39 8
2 1
-1
1600 1 18 3199 30399
34 3
-1
2 12 7 50 56

【说明/提示】

对于 $100\%$ 的数据，$1\le T\le 2\times {10}^5$，$1\le a,b,c\le {10}^9$。

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(1) 解题思路

求解一个二元一次不定方程 $ax+by=c$ 的通解：

1. 先利用扩展欧几里得算法求出 $ax+by=\gcd (a,b)$ 的一组特解 $x_0,y_0$，以及 $d=\gcd (a,b)$；

2. 用裴蜀定理判断原方程是否有解：

   • 如果 $d\nmid c$，则无解；
   • 如果 $d\mid c$，则有解。

3. 在有解的前提下：

   • 原方程的一组特解为

   $$\begin{gathered} x_1=\frac{x_0\times c}{d} \\ {y}_1=\frac{y_0\times c}{d} \end{gathered}$$

   • 通解为

$$\begin{gathered} x=x_1+\frac{b}{\gcd (a,b)}\times k, \\ y=y_1-\frac{a}{\gcd (a,b)}\times k \end{gathered}$$

当我们求出特解之后，由通解的形式不难发现，当 $x$ 在增大的同时，$y$ 在减小，所以当 $x$ 为最小正整数的时候，此时如果 $y$ 不是正整数，那么 $x,y$ 永远不可能同时为正整数，即没有正整数解。那么我们先利用 “模加模” 求出 $x$ 的最小正整数解，

// 特解为 x, gcd(a, b) = d
int k1 = b / d,
x = (x % k1 + k1) % k1; // 把 x 补成最小正整数

之后利用原方程 $ax+by=c$ 反解出 $y$，即 $y=(c-ax)/b$，判断 $y$ 是否也为正整数即可判断原方程是否有正整数解。

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(2) 代码实现

#include<iostream>using namespace std;typedef long long LL;// 扩展欧几里得求 ax + by = gcd(a, b) 的特解
LL exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{if(b == 0){x = 1, y = 0;return a;}LL x1, y1, d;d = exgcd(b, a % b, x1, y1);x = y1;y = x1 - a / b * y1;return d;
}int main()
{int t;scanf("%d", &t);LL a, b, c;while(t--){scanf("%lld %lld %lld", &a, &b, &c);LL x, y;LL d = exgcd(a, b, x, y);// 如果 d 不能整除 c, 则方程无解，输出-1if(c % d){printf("-1\n");continue;}// 求出 ax + by = c 的特解x = c / d * x;y = c / d * y;LL k1 = b / d, k2 = a / d;x = (x % k1 + k1) % k1;  // 把 x 补成最小正整数x = x == 0 ? k1 : x;  // 注意此时 x 有可能为 0, 不是正整数，至少要为 k1y = (c - a * x) / b;  // 根据原方程反解出 yLL max_x, max_y, min_x, min_y;if(y > 0)  // 有整数解且有正整数解{min_x = x, max_y = y;y %= k2;  // 把 y 求成最小正整数解y = y == 0 ? k2 : y;min_y = y;max_x = (c - b * y) / a;// 解的个数就是 x(或y) 的最大正整数解 - 最小正整数解 / k1(或k2) + 1printf("%lld %lld %lld %lld %lld\n", (max_x - min_x) / k1 + 1, min_x, min_y, max_x, max_y);}else  // 有整数解但没有正整数解{min_x = x;y = (y % k2 + k2) % k2;y = y == 0 ? k2 : y;min_y = y;printf("%lld %lld\n", min_x, min_y);}}return 0;
}

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三、exgcd 与乘法逆元

1. 一次同余方程

形如
$$ax\equiv b(\mathrm{mod}m)$$
的一个方程就是同余方程，由于 $x$ 的最高次数为 $1$，所以这是一个一次同余方程。

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2. exgcd 求解一次同余方程

一个 $ax\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 这样的同余方程可以转换为 $ax=ym+b$，移项得 $ax-my=b$；

由于正负号不影响结果，所以等价于求解 $ax+my=b$ 这一个不定方程；

由裴蜀定理，当 $\gcd (a,m)\mid b$ 时，该方程有解；

所以，我们可以通过扩展欧几里得算法求出 $ax+my=\gcd (a,m)$ 得特解，进而判断是否有 $\gcd (a,m)\mid b$，如果成立，那么说明 $ax+my=b$ 有解，设用 exgcd 求得的 $ax+my=\gcd (a,m)$ 的特解为 $x_0,y_0$，则原方程的特解为
$$\begin{gathered} x_1=\frac{x_0\times b}{\gcd (a,m)} \\ {y}_1=\frac{y_0\times b}{\gcd (a,m)} \end{gathered}$$
进而可以求出通解。

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3. exgcd 求解乘法逆元

对于正整数 $a$ 和 $p$，若有 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}p)$，那么把这个同余方程中的 $x$ 的解叫做 $a$ 模 $p$ 的乘法逆元，简称逆元。

逆元可以通过费马小定理求，但是必须要求 $p$ 是一个质数，但是如果 $p$ 不是质数，那么我们可以用扩展欧几里得算法求解乘法逆元，不难发现，这本质上就是求解一个同余方程的过程。

原同余方程可以转化为 $ax+py=1$ 的形式，根据裴蜀定理，该不定方程要有解，必须满足 $\gcd (a,p)\mid 1$，那么 $\gcd (a,p)$ 必须等于 $1$，也就是说 $a,p$ 必须互质。所以能用扩展欧几里得求解乘法逆元的条件就是 $a,p$ 互质。

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4. 【模板】同余方程（求逆元）⭐⭐⭐

【题目链接】

【模板】同余方程

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#include<iostream>using namespace std;typedef long long LL;// 扩展欧几里得
LL exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{if(b == 0){x = 1, y = 0;return a;}LL x1, y1, d;d = exgcd(b, a % b, x1, y1);x = y1;y = x1 - a / b * y1;return d;
}int main()
{int t;cin >> t;while(t--){LL a, b;cin >> a >> b;// ax + by = 1LL x, y;int d = exgcd(a, b, x, y);// 如果 a, p 不互质，那么一定没有解if(d != 1) cout << -1 << endl;else{LL k = b / d;x = (x % k + k) % k;  // 补成最小正整数解x = x == 0 ? k : x;cout << x << endl;}}return 0;
}

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四、练习：青蛙的约会 ⭐⭐⭐

【题目链接】

P1516 青蛙的约会 - 洛谷

【题目描述】

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。

我们把这两只青蛙分别叫做青蛙 A 和青蛙 B，并且规定纬度线上东经 $0$ 度处为原点，由东往西为正方向，单位长度 $1$ 米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙 A 的出发点坐标是 $x$，青蛙 B 的出发点坐标是 $y$。青蛙 A 一次能跳 $m$ 米，青蛙 B 一次能跳 $n$ 米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长 $L$ 米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。

【输入格式】

输入只包括一行五个整数 $x,y,m,n,L$。

【输出格式】

输出碰面所需要的次数，如果永远不可能碰面则输出一行一个字符串 Impossible。

【示例一】

输入

1 2 3 4 5

输出

4

【说明/提示】

对于 $100\%$ 的数据，$1\le x,y,m,n\le 2\times 10^9$，$x\ne y$，$1\le L\le 2.1\times 10^9$。

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1. 解题思路

设两个青蛙相遇时跳了 $t$ 次，那么相对于原点来说，青蛙 A 跳的总路程就是 $x+tm$，青蛙 B 跳的总路程是 $y+tn$，且这两个总路程的差值刚好是纬度线总长度的 $k$ 倍，即
$$x+tm-(y+tn)=kl$$
整理后得到
$$(m-n)t-kl=y-x$$
这个式子其实就是一个不定方程 $ax+by=c$，我们要求的 $t$ 就是这里的 $x$。

上面的式子还可以看作一个同余方程，如下
$$(m-n)t\equiv y-x(\mathrm{mod}l)$$
如果 $m-n<0$ 那么等价于求解
$$(n-m)t\equiv x-y(\mathrm{mod}l)$$

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2. 代码实现

#include<iostream>using namespace std;typedef long long LL;LL exgcd(LL a, LL b, LL& x, LL& y)
{if(b == 0){x = 1, y = 0;return a;}LL x1, y1, d;d = exgcd(b, a % b, x1, y1);x = y1;y = x1 - a / b * y1;return d;
}int main()
{LL x, y, m, n, l;cin >> x >> y >> m >> n >> l;// 设跳 x0 次LL a = m - n, b = l, c = y - x, x0, y0;if(a < 0)  // 处理负数{a = -a;c = -c;}// a * x0 + b * y0 = cLL d = exgcd(a, b, x0, y0);if(c % d) cout << "Impossible" << endl;else{x0 = c / d * x0;LL k = b / d;x0 = (x0 % k + k) % k;cout << x0 << endl;}return 0;
}