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数学分析简明教程——1.3

news 2025/10/31 13:36:37

【Easy】1.做出下列函数的图像

（4）y=sgn(sinx)

sgn(x)是一个符号函数，当x是正数时其值为1，反之为-1，当x为0时其值为0，图像如下

【Easy】2.比较函数图像，基本不会考

【Easy】3.根据图像1-4写出定义在[0,1]上的分段函数f_1(x)和f_2(x)的解析式表示式

【Easy】4.确定下列初等函数的存在域

(1)y=sin(sin(x)))  

sin(x)对定义域没有限制，所以D=(-\infty,+\infty).

(2)y=lg(lg(x))

lg(x)要求x大于0，即内部的lg(x)>0,所以D=(1,+\infty).

(3)y=arcsin(lg\frac{x}{10})

y=arcsin(x)的存在域是D=[-1,1]，故-1\leqslant lg(\frac{x}{10})\leqslant 1,D=[1,100].

(4)lg(arcsin(\frac{x}{10}))

lg(x)要求x大于0，即arcsin(\frac{x}{10})>0\rightarrow 0<\frac{x}{10}\leqslant 1,D=(0,10].

【Easy】5.设函数

f(x)=\left\{\begin{matrix}2+x,x\leqslant 0 \\\ 2^x,x>0 \end{matrix}\right.

求：(1)f(-3),f(0),f(1);(2)f(\Delta x)-f(0),(3)f(-\Delta x)-f(0)(\Delta x>0)

（2）f(\Delta x)-f(0)=2^{\Delta x}-2

（3）f(-\Delta x)-f(0)=2-\Delta x-2=-\Delta x

【Easy】6.设函数f(x)=\frac{1}{x+1}，求f(2+x),f(2x),f(x^2),f(f(x)),f(\frac{1}{f(x)})

f(f(x))=\frac{1}{1+\frac{1}{x+1}}=\frac{1+x}{2+x}

f(\frac{1}{f(x)})=\frac{1}{1+\frac{1}{f(x)}}=\frac{1}{2+x}

【Easy】7.试问下列函数是由哪些初等函数复合而成的

从里到外逐层分解即可，略

【Hard】8.在什么条件下，函数y=\frac{ax+b}{cx+d}的反函数就是其本身

补充：

这里有点跳跃，求解反函数可以通过交换xy

y=\frac{a}{c}+\frac{1}{c^2}\cdot \frac{bc-ad}{x+\frac{d}{c}}交换后x=\frac{a}{c}+\frac{1}{c^2}\cdot \frac{bc-ad}{y+\frac{d}{c}}\Rightarrow x-\frac{a}{c}=\frac{1}{c^2}\cdot \frac{bc-ad}{y+\frac{d}{c}}\Rightarrow y+\frac{d}{c}=\frac{1}{c^2}\cdot \frac{bc-ad}{x-\frac{a}{c}}

\Rightarrow y= \frac{bc-ad}{c^2x-ac}-\frac{d}{c}\Rightarrow y= \frac{bc-ad-\frac{d}{c}(c^2x-ac)}{c^2x-ac}\Rightarrow y= \frac{bc-acd-dcx+acd}{c^2x-ac}= \frac{b-dx}{cx-a}

由于反函数相等，故y= \frac{bc-acd-dcx+acd}{c^2x-ac}= \frac{b-dx}{cx-a}=\frac{ax+b}{cx+d}

(b-dx)(cx+d)=(ax+b)(cx-a)\Rightarrow bcx+bd-cdx^2-d^2x=acx^2-a^2x+bcx-ab\Rightarrow bd-cdx^2-d^2x=acx^2-a^2x-ab

为使x^2的系数相等，-cd=ac\Rightarrow a=-d

为使x的系数相等,a^2=d^2

故a+d=0

【Easy】9.试做出y=arcsin(sin(x))的图像

arcsinx的图像如图所示

其定义域刚好是sinx的值域

内部的sinx与外部的反函数抵消得到下图

【Middle】10.试问下列等式是否成立

(1)tan(arctan(x))=x,x\in R

(2)arctan(tan(x))=x,x\in R

提示：arctan(x)的值域不是R所以(2)不成立

【Easy】11.试问y=|x|是初等函数吗

初等函数是由基本初等函数经过四则运算以及有限次复合而成的函数

y=|x|=\sqrt{x^2}，y=|x|是初等函数

【Middle】12.证明关于函数y=[x]的如下不等式：

（1）当x>0时，1-x<x[\frac{1}{x}]\leqslant 1

（2）当x<0时，1\leqslant x[\frac{1}{x}]< 1-x

由[x]的性质可知，x-1<[x]\leqslant x\Rightarrow \frac{1}{x}-1<[\frac{1}{x}]\leqslant \frac{1}{x}

当x>0时，左右同时乘以x，1-x<x[\frac{1}{x}]\leqslant 1

当x<0时，左右同时乘以x，1\leqslant x[\frac{1}{x}]< 1-x

http://www.dtcms.com/a/550421.html

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