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關於概率部分，準備的三部曲

news 2025/10/31 13:33:17

工具數學的殿堂說明書中的三部曲是這麼寫的：

交織的統計分析，是有點雜，先學好統計特徵的概念就好入手了

緣份的的數理統計，即概率論+統計，不學好這兩個就碰就會有緣無份的...

注定的概率論，前題是，這是"0到1"的空間以及其映射空間裏才會有注定的因果！

但怎麼寫是不至於過度重合、突出不了重點是個好問題，機緣巧合下，找到了一本參考書

參考：

一刷而過(做題參考)、普林斯頓概率論讀本(主要參考)

目錄如下：

第一部分：一般性理論(注定的概率論)

第1章引言
1.1 生日問題
1.1.1 陳述問題
1.1.2 解決問題
1.1.3 對問題和答案的推廣：效率
1.1.4 數值檢驗
1.2 從投籃到幾何級數
1.2.1 問題和解答
1.2.2 相關問題
1.2.3 一般問題的解決技巧
1.3 賭博
1.3.1 2008年超級盃賭注
1.3.2 預期收益
1.3.3 對沖的價值
1.3.4 結論
1.4 總結
1.5 習題

第2章基本機率定律
2.1 悖論
2.2 集合論綜述
2.2.1 編程漫談
2.2.2 無窮大的大小和機率
2.2.3 開集和閉集
2.3 結果空間、事件和機率公理
2.4 機率公理
2.5 基本機率規則
2.5.1 全機率公式
2.5.2 並的機率
2.5.3 包含的機率
2.6 機率空間和σ代數
2.7 附錄：實驗性地找出規律
2.7.1 乘積求導法則
2.7.2 並的機率
2.8 總結
2.9 習題

第3章計數I：紙牌
3.1 階乘和二項式係數
3.1.1 階乘函數
3.1.2 二項式係數
3.1.3 總結
3.2 撲克牌
3.2.1 規則
3.2.2 最小牌型
3.2.3 對子
3.2.4 兩對
3.2.5 三條
3.2.6 順子、同花和同花順
3.2.7 葫蘆和鐵支
3.2.8 撲克牌型練習I
3.2.9 撲克牌型練習II
3.3 單人紙牌
3.3.1 克朗代克紙牌
3.3.2 Aces Up紙牌
3.3.3 《空當接龍》
3.4 橋牌
3.4.1 井字遊戲
3.4.2 橋牌牌局的個數
3.4.3 將牌的分配
3.5 附錄：計算機率的代碼
3.5.1 將牌的分配和代碼
3.5.2 撲克牌型的代碼
3.6 總結
3.7 習題

第4章條件機率、獨立性和貝葉斯定理
4.1 條件機率
4.1.1 猜測條件機率公式
4.1.2 期望計數法
4.1.3 文氏圖法
4.1.4 蒙提霍爾問題
4.2 一般乘法法則
4.2.1 陳述
4.2.2 撲克牌的例子
4.2.3 帽子問題和糾錯碼
4.2.4 高等註解：條件機率的定義
4.3 獨立性
4.4 貝葉斯定理
4.5 劃分和全機率法則
4.6 回顧貝葉斯定理
4.7 總結
4.8 習題

第5章計數II：容斥原理
5.1 階乘和二項式問題
5.1.1 「有多少個」與「機率是什麼」
5.1.2 選組
5.1.3 循環次序
5.1.4 選擇套裝
5.2 容斥方法
5.2.1 容斥原理的特例
5.2.2 容斥原理的陳述
5.2.3 容斥公式的證明
5.2.4 利用容斥原理：同花色牌型
5.2.5 從「至少」到「恰好」的方法
5.3 錯排
5.3.1 錯排的個數
5.3.2 錯排數的機率
5.3.3 錯排試驗的代碼
5.3.4 錯排的應用
5.4 總結
5.5 習題

第6章計數III：高等組合學
6.1 基本計數
6.1.1 枚舉法I
6.1.2 枚舉法II
6.1.3 有放回抽樣和無放回抽樣
6.2 單詞排序
6.2.1 排序方法數
6.2.2 多項式係數
6.3 劃分
6.3.1 餅乾問題
6.3.2 彩票
6.3.3 其他劃分
6.4 總結
6.5 習題

第二部分：隨機變量(交織的統計分析)

第 7 章離散型隨機變量
7.1 離散型隨機變量：定義
7.2 離散型隨機變量：概率密度函數
7.3 離散型隨機變量：累積分佈函數
7.4 總結
7.5 習題

第 8 章連續型隨機變量
8.1 微積分基本定理
8.2 概率密度函數和累積分佈函數：定義
8.3 概率密度函數和累積分佈函數：例子
8.4 單元素事件的概率
8.5 總結
8.6 習題

第 9 章工具：期望
9.1 微積分預備知識
9.2 期望值和矩
9.3 均值和方差
9.4 聯合分佈
9.5 期望的線性性質
9.6 均值和方差的性質
9.7 偏斜度與峰度
9.8 協方差
9.9 總結
9.10 習題

第 10 章工具：卷積和變量替換
10.1 卷積：定義和性質
10.2 卷積：擲骰子的例子
10.2.1 理論計算
10.2.2 卷積碼
10.3 多變量的卷積
10.4 變量替換公式：敘述
10.5 變量替換公式：證明
10.6 附錄：隨機變量的乘積與商
10.6.1 乘積的概率密度函數
10.6.2 商的概率密度函數
10.6.3 例子：指數分佈的商
10.7 總結
10.8 習題

第 11 章工具：微分恆等式
11.1 幾何級數的例子
11.2 微分恆等式法
11.3 在二項分佈隨機變量上的應用
11.4 在常態分佈隨機變量上的應用
11.5 在指數分佈隨機變量上的應用
11.6 總結
11.7 習題

第三部分：特殊分佈(緣份的的數理統計的"份")

第12章離散分佈
- 12.1 伯努利分佈
- 12.2 二項分佈
- 12.3 多項分佈
- 12.4 幾何分佈
- 12.5 負二項分佈
- 12.6 泊松分佈
- 12.7 離散均勻分佈
- 12.8 習題
第13章連續型隨機變量：均勻分佈與指數分佈
- 13.1 均勻分佈
  - 13.1.1 均值與方差
  - 13.1.2 服從均勻分佈的隨機變量之和
  - 13.1.3 例子
  - 13.1.4 均勻地生成隨機數
- 13.2 指數分佈
  - 13.2.1 均值與方差
  - 13.2.2 服從指數分佈的隨機變量之和
  - 13.2.3 服從指數分佈的隨機變量的例子與應用
  - 13.2.4 從指數分佈中生成隨機數
- 13.3 習題
第14章連續型隨機變量：常態分佈
- 14.1 確定標準化常數
- 14.2 均值與方差
- 14.3 服從常態分佈的隨機變量之和
  - 14.3.1 情形 1：µ_X = µ_Y = 0 且 σ_X^2 = σ_Y^2 = 1
  - 14.3.2 情形 2：一般化的 µ_X、µ_Y 和 σ_X^2、σ_Y^2
  - 14.3.3 兩個服從常態分佈的隨機變量之和：更快的代數運算
- 14.4 從常態分佈中生成隨機數
- 14.5 例子與中央極限定理
- 14.6 習題
第15章伽瑪函數與相關分佈
- 15.1 Γ(s) 的存在性
- 15.2 Γ(s) 的函數方程
- 15.3 階乘函數與 Γ(s)
- 15.4 Γ(s) 的特殊值
- 15.5 貝塔函數與伽瑪函數
  - 15.5.1 基本關係式的證明
  - 15.5.2 基本關係式和 Γ(1/2)
- 15.6 常態分佈與伽瑪函數
- 15.7 分佈族
- 15.8 附錄：餘割等式的證明
  - 15.8.1 餘割等式：第一種證明
  - 15.8.2 餘割等式：第二種證明
  - 15.8.3 餘割等式：s = 1/2 的特殊情形
- 15.9 柯西分佈
- 15.10 習題
第16章卡方分佈
- 16.1 卡方分佈的起源
- 16.2 X ∼ χ²(1) 的均值與方差
- 16.3 卡方分佈與服從常態分佈的隨機變量之和
  - 16.3.1 直接積分求平方和
  - 16.3.2 利用變數替換定理求平方和
  - 16.3.3 摺積法求平方和
  - 16.3.4 服從卡方分佈的隨機變量之和
- 16.4 總結
- 16.5 習題

第四部分：極限定理(緣份的的數理統計的"緣")

第 17 章不等式和大數定律
17.1 不等式
17.2 馬爾可夫不等式
17.3 切比雪夫不等式
17.3.1 陳述
17.3.2 證明
17.3.3 常態分佈與均勻分佈的例子
17.3.4 指數分佈的例子
17.4 布林不等式與邦弗倫尼不等式
17.5 收斂類型
17.5.1 依分佈收斂
17.5.2 依機率收斂
17.5.3 幾乎必然收斂與必然收斂
17.6 弱大數定律與強大數定律
17.7 習題

第 18 章斯特林公式
18.1 斯特林公式與機率
18.2 斯特林公式與級數的收斂性
18.3 從斯特林公式到中央極限定理
18.4 積分判別法與較弱的斯特林公式
18.5 得到斯特林公式的基本方法
18.5.1 二進分解
18.5.2 斯特林公式的下界 I
18.5.3 斯特林公式的下界 II
18.5.4 斯特林公式的下界 III
18.6 靜態相位與斯特林公式
18.7 中央極限定理與斯特林公式
18.8 習題

第 19 章生成函數與卷積
19.1 動機
19.2 定義
19.3 生成函數的唯一性和收斂性
19.4 卷積 I：離散型隨機變數
19.5 卷積 II：連續型隨機變數
19.6 動差生成函數的定義與性質
19.7 動差生成函數的應用
19.8 習題

第 20 章中央極限定理的證明
20.1 證明的關鍵思路
20.2 中央極限定理的陳述
20.3 均值、變異數與標準差
20.4 標準化
20.5 動差生成函數的相關結果
20.6 特殊情形：服從卜瓦松分佈的隨機變數之和
20.7 利用 MGF 證明一般的 CLT
20.8 使用中央極限定理
20.9 中央極限定理與蒙地卡羅積分
20.10 總結
20.11 習題

第 21 章傅立葉分析與中央極限定理
21.1 積分變換
21.2 卷積與機率論
21.3 中央極限定理的證明
21.4 總結
21.5 習題

第五部分：其他主题(會另立專題....)

第 22 章假設檢驗
22.1 Z 檢驗
22.1.1 原假設與備擇假設
22.1.2 顯著性水平
22.1.3 檢驗統計量
22.1.4 單側檢驗與雙側檢驗
22.2 p 值
22.2.1 非凡的主張與 p 值
22.2.2 大的 p 值
22.2.3 關於 p 值的誤解
22.3 t 檢驗
22.3.1 估算樣本方差
22.3.2 從 z 檢驗到 t 檢驗
22.4 假設檢驗的問題
22.4.1 I 型錯誤
22.4.2 II 型錯誤
22.4.3 錯誤率與司法系統
22.4.4 功效
22.4.5 效應量
22.5 卡方分佈、擬合優度
22.5.1 卡方分佈與方差檢驗
22.5.2 卡方分佈與 t 分佈
22.5.3 列表數據的擬合優度
22.6 雙樣本檢驗
22.6.1 雙樣本 z 檢驗：方差已知
22.6.2 雙樣本 t 檢驗：方差未知但相等
22.6.3 方差未知且不相等
22.7 總結
22.8 習題

第 23 章差分方程、馬可夫過程和概率論
23.1 從費波那契數到輪盤賭
23.1.1 翻倍加一策略
23.1.2 對費波那契數的快速回顧
23.1.3 遞推關係與概率
23.1.4 討論與推廣
23.1.5 輪盤賭問題的代碼
23.2 遞推關係的一般理論
23.2.1 表示法
23.2.2 特徵方程
23.2.3 初始條件
23.2.4 關於不同根意味著可逆性的證明
23.3 馬可夫過程
23.3.1 遞推關係與種群動力學
23.3.2 一般的馬可夫過程
23.4 總結
23.5 習題

第 24 章最小二乘法
24.1 問題的描述
24.2 概率論與統計學回顧
24.3 最小二乘法
24.4 習題

第 25 章兩個著名問題與一些代碼
25.1 婚姻/秘書問題
25.1.1 假設與策略
25.1.2 成功的概率
25.1.3 秘書問題的代碼
25.2 蒙提霍爾問題
25.2.1 一個簡單的解決方案
25.2.2 一種極端情形
25.2.3 蒙提霍爾問題的代碼
25.3 兩個隨機程序
25.3.1 有放回取樣與無放回取樣
25.3.2 期望
25.4 習題