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高精度算法全解析：从原理到实现

news 2025/10/25 10:13:09

高精度算法概述

高精度算法主要用于处理超出标准数据类型范围的大整数运算，常见于密码学、科学计算等领域。核心思想是将大数拆分为数组或字符串处理，模拟手工计算过程。

高精度加法

基本原理是从低位到高位逐位相加，处理进位。以下为C++实现示例：

vector<int> add(vector<int>& A, vector<int>& B) {if (A.size() < B.size()) return add(B, A);vector<int> C;int t = 0;for (int i = 0; i < A.size(); i++) {t += A[i];if (i < B.size()) t += B[i];C.push_back(t % 10);t /= 10;}if (t) C.push_back(t);return C;
}

高精度减法

需确保被减数大于减数，处理借位情况：

vector<int> sub(vector<int>& A, vector<int>& B) {vector<int> C;for (int i = 0, t = 0; i < A.size(); i++) {t = A[i] - t;if (i < B.size()) t -= B[i];C.push_back((t + 10) % 10);t = t < 0 ? 1 : 0;}while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}

高精度乘法

分为大整数乘小整数和大整数乘大整数两种情况。以下是前者实现：

vector<int> mul(vector<int>& A, int b) {vector<int> C;int t = 0;for (int i = 0; i < A.size() || t; i++) {if (i < A.size()) t += A[i] * b;C.push_back(t % 10);t /= 10;}while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}

高精度除法

包含高精度除以低精度和高精度除以高精度两种：

vector<int> div(vector<int>& A, int b, int& r) {vector<int> C;r = 0;for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--) {r = r * 10 + A[i];C.push_back(r / b);r %= b;}reverse(C.begin(), C.end());while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();return C;
}

高精度比较

需要从位数和逐位比较两个维度进行：

bool cmp(vector<int>& A, vector<int>& B) {if (A.size() != B.size()) return A.size() > B.size();for (int i = A.size() - 1; i >= 0; i--)if (A[i] != B[i]) return A[i] > B[i];return true;
}