UVa 1630 Folding

题目分析

本题要求我们将一个由大写字母组成的字符串压缩成最短的形式，压缩规则是使用 数字(重复子串) 的格式表示重复部分。

压缩规则

• 单个字符保持原样
• 如果 $S$ 和 $Q$ 是压缩后的字符串，那么 $SQ$ 也是压缩后的字符串
• 如果 $S$ 是压缩后的字符串，那么 $X(S)$ 也是压缩后的字符串，其中 $X$ 是大于 $1$ 的整数，表示 $S$ 重复 $X$ 次

问题示例

输入字符串 AAAAAAAAABABABCCD 可以压缩为 9(A)3(AB)CCD。

问题本质

这是一个区间动态规划问题，我们需要找到字符串的最优折叠方式，使得压缩后的字符串长度最短。

解题思路

动态规划定义

设 $dp[i][j]$ 表示子串 $s[i..j]$ 的最短压缩字符串表示。

状态初始化

• 对于长度为 $1$ 的子串，$dp[i][i]=s[i]$（即单个字符本身）

状态转移

对于每个子串 $s[i..j]$，我们考虑两种压缩方式：

1. 分割压缩：将子串分成两部分 $s[i..k]$ 和 $s[k+\mathrm{1..}j]$，分别压缩后再拼接：
   $$dp[i][j]=\min (dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j])$$
   其中 $i\le k<j$

2. 重复模式压缩：如果整个子串可以由一个更短的子串重复多次构成，则使用 $X(S)$ 的形式：
   $$dp[i][j]=\min (dp[i][j],\text{to\_string}(times)+‘(’+dp[i][i+l-1]+‘)’)$$
   其中 $l$ 是重复单元的长度，$times=\frac{len}{l}$ 是重复次数

重复模式检查

对于子串 $s[i..j]$，长度为 $len=j-i+1$，我们检查所有可能的重复单元长度 $l$（$1\le l<len$）：

• 必须满足 $len\%l==0$
• 必须满足 $s[i..j]$ 是由 $s[i..i+l-1]$ 重复 $times=len/l$ 次构成

算法复杂度

• 时间复杂度：$O(n^3)$，其中 $n\le 100$，完全可行
• 空间复杂度：$O(n^2)$

代码实现

// Folding
// UVa ID: 1630
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-19
// UVa Run Time: 0.110s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;string fold(const string& s) {int n = s.size();vector<vector<string>> dp(n, vector<string>(n));// 初始化：长度为1的子串for (int i = 0; i < n; i++) dp[i][i] = s[i];// 枚举所有子串长度for (int len = 2; len <= n; len++) {for (int i = 0; i + len - 1 < n; i++) {int j = i + len - 1;// 初始化为原子串dp[i][j] = s.substr(i, len);// 1. 尝试分割点for (int k = i; k < j; k++) {string candidate = dp[i][k] + dp[k + 1][j];if (candidate.size() < dp[i][j].size()) dp[i][j] = candidate;}// 2. 尝试重复模式for (int l = 1; l < len; l++) {if (len % l == 0) {bool repeatOk = true;// 检查是否满足重复条件for (int pos = i; pos <= j; pos++) {if (s[pos] != s[i + (pos - i) % l]) {repeatOk = false;break;}}if (repeatOk) {int times = len / l;string candidate = to_string(times) + "(" + dp[i][i + l - 1] + ")";if (candidate.size() < dp[i][j].size()) dp[i][j] = candidate;}}}}}return dp[0][n - 1];
}int main() {string line;while (getline(cin, line)) {if (line.empty()) continue;cout << fold(line) << '\n';}return 0;
}

代码说明

1. 数据结构：使用二维向量 dp 存储所有子串的最优压缩结果
2. 初始化：单个字符的压缩结果就是字符本身
3. 动态规划填充：按子串长度从小到大计算，确保子问题先被解决
4. 两种压缩策略：
   • 分割策略：枚举所有可能的分割点
   • 重复模式：检查所有可能的重复单元长度
5. 最优选择：总是选择长度最短的压缩表示

总结

本题通过区间动态规划的方法，系统地考虑了字符串的所有可能压缩方式，确保了找到最优解。关键点在于正确处理两种压缩策略：分割拼接和重复模式，其中重复模式的检查是算法的核心难点。