三次B样条曲线在参数u（u 不是原始节点向量中的节点）处打断成两条B样条曲线的方法

当一条三次B样条曲线在参数 u 处打断（u 不是原始节点向量中的节点），需要将其分割为两条新的B样条曲线时，可以使用 节点插入算法（Knot Insertion） 来实现。该方法基于 B样条的局部性质和节点插入理论，确保分割后的两条曲线在几何上与原曲线完全一致。

1. 基本定义

• 曲线次数：p = 3（三次）
• 控制点：P₀, P₁, ..., Pₙ
• 节点向量：U = [u₀, u₁, ..., uₘ]，其中 m = n + p + 1 = n + 4
• 待插入参数：u ∈ (uₖ, uₖ₊₁)，且 u ∉ U（即 u 不是原节点）

目标：

• 将原曲线在参数 u 处打断
• 得到两条新B样条曲线：
  • 第一条：对应参数区间 [u₀, u]
  • 第二条：对应参数区间 [u, uₘ]

2. 步骤一：确定节点区间

找到整数 k，使得： uₖ ≤ u < uₖ₊₁

这个 k 表示 u 所在的非均匀区间编号。

3. 步骤二：节点插入算法（Boehm 算法）

由于 u 不在原节点向量中，需插入一次（重数 r = 1），生成新的控制点和节点向量。

新节点向量 U'：

U' = [u₀, u₁, ..., uₖ, u, uₖ₊₁, ..., uₘ]

总长度增加 1。

新控制点 Qᵢ 计算：

设新控制点为 Q₀, Q₁, ..., Qₙ₊₁

计算公式如下：

对于 i = 0 到 n：

• 若 i ≤ k−3，则 Qᵢ = Pᵢ
• 若 i ≥ k+1，则 Qᵢ = Pᵢ₋₁
• 若 i = k−2, k−1, k，则按以下公式计算：

  αᵢ = (u − uᵢ) / (uᵢ₊₃ − uᵢ)
Qᵢ = αᵢ · Pᵢ + (1 − αᵢ) · Pᵢ₋₁

例如：

• Qₖ₋₂ = αₖ₋₂·Pₖ₋₂ + (1−αₖ₋₂)·Pₖ₋₃
• Qₖ₋₁ = αₖ₋₁·Pₖ₋₁ + (1−αₖ₋₁)·Pₖ₋₂
• Qₖ = αₖ·Pₖ + (1−αₖ)·Pₖ₋₁

其余点平移：

• Q₀ 到 Qₖ₋₃ 不变（若存在）
• Qₖ₊₁ 到 Qₙ₊₁ 对应 Pₖ 到 Pₙ

4. 步骤三：分割为两条B样条曲线

插入节点 u 后，曲线在 u 处成为一个“角点”（但仍是 C² 连续，因仅插入一次），可安全分割。

第一段曲线（从起点到 u）

• 控制点：Q₀, Q₁, ..., Qₖ
• 控制点数量：k + 1
• 节点向量：U₁ = [u₀, u₁, ..., uₖ, u, u, u, u]
  （重复 u 共 p+1 = 4 次，以闭合区间）
• 参数范围：[u₀, u]

第二段曲线（从 u 到终点）

• 控制点：Qₖ, Qₖ₊₁, ..., Qₙ₊₁
• 控制点数量：n + 2 − k
• 节点向量：U₂ = [u, u, u, u, uₖ₊₁, ..., uₘ]
  （开头重复 u 四次）
• 参数范围：[u, uₘ]

5. 可选：提升 u 的重数至 p（用于分段端点插值）

若希望新曲线在 u 处精确经过断点 Qₖ（即端点插值），需将 u 的重数提升至 p = 3（或 p+1 = 4）。

可通过重复插入 u 节点最多 3 次（因原重数为 0）。

每次插入后更新控制点，最终 u 成为多重节点，Qₖ 即为曲线在 u 处的实际位置。

6. 总结流程（可直接操作）

1. 找到 k 使得 uₖ ≤ u < uₖ₊₁
2. 计算 αᵢ = (u − uᵢ)/(uᵢ₊₃ − uᵢ)，i = k−2, k−1, k
3. 插入节点 u，生成新控制点 Q₀ 到 Qₙ₊₁
4. 分割控制点：
   • 第一段：Q₀ ... Qₖ
   • 第二段：Qₖ ... Qₙ₊₁
5. 构造新节点向量（两端补全 u 的重复）
6. 得到两条独立的三次B样条曲线