UVa 463 Polynomial Factorization
题目概述
给定一个4次整数系数多项式，要求将其分解为若干个质多项式（不可再分解的整数系数多项式）的乘积，并按照特定格式输出。
输入格式：多组测试数据，每组包含5个整数，表示4次多项式的系数（从4次项到常数项）
输出格式：每行输出一个质多项式的系数，按特定规则排序
算法思路
核心思想
本解法采用深度优先搜索(DFS)结合有理根定理的方法，系统地寻找多项式的整数系数因子。
关键步骤
1. 有理根定理的应用
对于整数系数多项式，任何有理根必为常数项因子与首项系数因子的比值。我们利用这一性质生成所有可能的线性因子候选。
2. 多项式除法
实现多项式长除法算法，检查候选因子是否能整除原多项式。
3. 递归分解
- 优先尝试线性因子分解
- 对于4次多项式，还尝试二次因子分解
- 无法分解时，当前多项式即为质多项式
4. 系数归一化
确保输出满足题目要求：首项系数为正，系数互质
代码详解
多项式除法函数
bool divisible(vector<int> a, vector<int> b, vector<int>& q) {q.clear();for (int i = 0; i + b.size() <= a.size(); i++) {if (a[i] % b[0]) return false; // 检查可除性int r = a[i] / b[0]; q.push_back(r); // 计算商的一项// 执行减法步骤for (int j = 0; j < b.size(); j++) a[i + j] -= r * b[j];}// 检查余数是否为零for (int x : a) if (x) return false;return true;
}
因子生成函数
void getFactors(int n, vector<int>& f) {f.clear();for (int i = 1; i * i <= n; i++) {if (n % i == 0) { f.push_back(i); f.push_back(n / i); }}
}
核心分解函数
bool dfs(int d, vector<int> in, vector<vector<int>>& out) {if (d == 1) { out.push_back(in); return true; } // 基本情况vector<int> p, q, r;getFactors(in[0], p); // 首项系数因子getFactors(abs(in.back()), q); // 常数项因子// 生成所有可能的线性因子候选int qsize = q.size();for (int i = 0; i < qsize; i++) q.push_back(-q[i]);if (in.back() == 0) q.push_back(0);// 尝试线性因子分解for (int a1 : p) for (int c1 : q) {vector<int> t = {a1, c1};if (divisible(in, t, r)) {out.push_back(t);return dfs(d - 1, r, out); // 递归分解商式}}// 二次因子分解（仅对4次多项式）if (d == 4) {// 尝试分解为两个二次多项式的乘积// 详细实现见完整代码}out.push_back(in); return false;
}
算法复杂度分析
- 时间复杂度：最坏情况下需要检查所有可能的因子组合，但由于多项式次数固定为4，实际运行效率很高
- 空间复杂度：主要消耗在递归调用栈和存储分解结果，由于深度有限，空间需求不大
样例分析
样例1
输入：2 7 -1 -6 -2
分解过程：
- 找到线性因子
(x - 1)，执行除法得到2x³ + 9x² + 8x + 2 - 找到线性因子
(2x + 1)，执行除法得到x² + 4x + 2 x² + 4x + 2无法再分解
输出：
1 -1
2 1
1 4 2
样例2
输入：2 0 0 0 0
分解：2x⁴ = 2 × x × x × x × x
输出：
1 0
1 0
1 0
2 0
实现要点
-
首项系数处理：如果输入首项系数为负，先整体取反，最后再调整回来
-
系数归一化：每个因子的系数要除以它们的最大公约数
-
输出排序：
- 按多项式次数升序排列
- 同次数按字典序排列
- 整体符号调整到最后一个多项式
-
边界情况：正确处理常数项为零的情况
总结
本题的关键在于合理应用有理根定理和系统性的搜索策略。通过优先尝试简单因子（线性因子），再考虑复杂分解（二次因子），算法能够在可接受的时间内找到正确的分解方案。系数归一化和输出排序的处理确保了结果符合题目要求。
参考代码
// Polynomial Factorization
// UVa ID: 463
// Verdict: Accepted
// Submission Date: 2025-10-07
// UVa Run Time: 0.080s
//
// 版权所有（C）2025，邱秋。metaphysis # yeah dot net#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;/*** 多项式除法：判断多项式a是否能被多项式b整除* @param a 被除多项式（系数向量，高次在前）* @param b 除多项式（系数向量，高次在前）* @param q 商多项式（输出参数）* @return 如果可整除返回true，否则返回false*/
bool divisible(vector<int> a, vector<int> b, vector<int>& q) {q.clear();// 模拟多项式长除法过程for (int i = 0; i + b.size() <= a.size(); i++) {// 检查当前最高次项是否能整除if (a[i] % b[0]) return false;// 计算商的一项int r = a[i] / b[0]; q.push_back(r);// 从被除数中减去商乘以除数的结果for (int j = 0; j < b.size(); j++) a[i + j] -= r * b[j];}// 检查余数是否为零（完全整除）for (int x : a) if (x) return false;return true;
}/*** 获取一个整数的所有因子（正因子）* @param n 输入整数* @param f 因子列表（输出参数）*/
void getFactors(int n, vector<int>& f) {f.clear();// 遍历1到sqrt(n)寻找因子for (int i = 1; i * i <= n; i++) {if (n % i == 0) { f.push_back(i); // 小因子f.push_back(n / i); // 对应的配对因子}}
}// 比较函数：按绝对值升序排序
bool cmpValue(int a, int b) { return abs(a) < abs(b); }// 比较函数：多项式排序（先按次数升序，次数相同按字典序）
bool cmpPoly(vector<int> a, vector<int> b) { return a.size() != b.size() ? a.size() < b.size() : a < b;
}/*** 深度优先搜索分解多项式* @param d 当前多项式的次数* @param in 当前要分解的多项式系数* @param out 分解结果（输出参数）* @return 是否成功分解*/
bool dfs(int d, vector<int> in, vector<vector<int>>& out) {// 基本情况：次数为1，无法再分解if (d == 1) { out.push_back(in); return true; }vector<int> p, q, r;// 获取首项系数和常数项的所有因子getFactors(in[0], p); // 首项系数的因子getFactors(abs(in.back()), q); // 常数项的因子（取绝对值）// 为常数项因子添加负值版本（因为根可能是负数）int qsize = q.size();for (int i = 0; i < qsize; i++) q.push_back(-q[i]);if (in.back() == 0) q.push_back(0); // 处理常数项为零的情况// 按绝对值排序，优先尝试绝对值小的因子（提高效率）sort(p.begin(), p.end(), cmpValue); sort(q.begin(), q.end(), cmpValue);// 尝试所有可能的线性因子 (a1*x + c1)for (int a1 : p) for (int c1 : q) {vector<int> t = {a1, c1}; // 构造线性因子if (divisible(in, t, r)) { // 检查是否能整除out.push_back(t); // 将因子加入结果return dfs(d - 1, r, out); // 递归分解商式}}// 如果次数较低（2或3）且找不到线性因子，直接返回原多项式if (d <= 3) { out.push_back(in); return true; }// 对于4次多项式，尝试二次因子分解 (a1*x² + b1*x + c1)(a2*x² + b2*x + c2)for (int a1 : p) for (int c1 : q) {int a2 = in[0] / a1, c2 = in.back() / c1; // 计算配对系数// 根据多项式乘法展开，建立方程组：// 原多项式: a0*x⁴ + a1*x³ + a2*x² + a3*x + a4// 分解形式: (a1*x² + b1*x + c1)(a2*x² + b2*x + c2)// 展开后系数对应关系：// x⁴: a1*a2 = a0// x³: a1*b2 + a2*b1 = a1// x²: a1*c2 + b1*b2 + a2*c1 = a2 // x¹: b1*c2 + b2*c1 = a3// x⁰: c1*c2 = a4// 从x³和x¹的方程中解出b1和b2// 设方程为：a2*b1 + a1*b2 = a1 (x³系数)// c2*b1 + c1*b2 = a3 (x¹系数)// 这可以看作关于b1, b2的线性方程组int aa = -a2, bb = in[1]; // 系数矩阵参数int cc = -(a1 * in[2] - a1 * a1 * c2 - a2 * c1 * a1); // 计算判别式参数// 计算判别式int delta = bb * bb - 4 * aa * cc;if (delta < 0) continue; // 无实数解int hh = sqrt(delta + 0.5); // 开方（加0.5用于四舍五入）if (hh * hh != delta) continue; // 检查是否为完全平方数// 尝试两个可能的根（正负两个解）for (int sign = -1; sign <= 1; sign += 2) {// 检查解是否为整数if ((sign * hh - bb) % (2 * aa)) continue;int b1 = (sign * hh - bb) / (2 * aa); // 计算b1// 从x³方程计算b2，检查是否为整数if ((in[1] - b1 * a2) % a1) continue;int b2 = (in[1] - b1 * a2) / a1;// 验证x¹系数方程if (b1 * c2 + b2 * c1 != in[3]) continue;// 找到有效的二次因子分解out.push_back({a1, b1, c1}); out.push_back({a2, b2, c2});return true;}}// 无法分解，返回原多项式out.push_back(in); return false;
}int main() {cin.tie(0); ios::sync_with_stdio(false); // 加速IOint a, b, c, d, e;while (cin >> a >> b >> c >> d >> e) {// 读取5个系数（4次多项式）vector<int> in = {a, b, c, d, e};// 如果首项系数为负，整体取反（保证首项系数为正）bool reversed = in[0] < 0;if (reversed) for (int& x : in) x *= -1;// 分解多项式vector<vector<int>> out;dfs(4, in, out);// 计算所有因子的最大公约数，用于归一化系数int g = 1;for (auto& poly : out) {int tmpg = 0;// 计算当前多项式的系数的GCDfor (int x : poly) if (x) tmpg = tmpg ? __gcd(tmpg, abs(x)) : abs(x);if (!tmpg) tmpg = 1; // 处理全零情况g *= tmpg;// 将当前多项式系数除以GCD进行归一化for (int& x : poly) x /= tmpg;}// 如果之前取反过，现在将整体符号调整回来if (reversed) g = -g;// 对因子排序：先按次数升序，次数相同按字典序sort(out.begin(), out.end(), cmpPoly);// 将整体符号乘到最后一个因子上for (int& x : out.back()) x *= g;// 输出结果for (auto& poly : out) {for (auto it = poly.begin(); it != poly.end(); ++it) {cout << *it; if (next(it) != poly.end()) cout << " "; // 空格分隔，最后无空格}cout << "\n";}cout << "\n"; // 每个测试用例后输出空行}return 0;
}