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CCF-CSP第19次认证第一题——线性分类器

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题目描述

考虑一个简单的二分类问题——将二维平面上的点分为 A 和 B 两类。

训练数据包含 𝑛n 个点，其中第 𝑖i 个点（1≤𝑖≤𝑛1≤i≤n）可以表示为一个三元组 (𝑥𝑖,𝑦𝑖,𝑡𝑦𝑝𝑒𝑖)(xi​,yi​,typei​)，即该点的横坐标、纵坐标和类别。

在二维平面上，任意一条直线可以表示为 𝜃0+𝜃1𝑥+𝜃2𝑦=0θ0​+θ1​x+θ2​y=0 的形式，即由 𝜃0θ0​、𝜃1θ1​ 和 𝜃2θ2​ 三个参数确定该直线，且满足 𝜃1θ1​、𝜃2θ2​ 不同时为 00。

基于这 𝑛n 个已知类别的点，我们想要在平面上找到一条直线作为一个线性分类器。具体来说，这条线要把训练数据中的 A、B 两类点完美分隔开来，即一侧只有 A 类点、另一侧只有 B 类点。这样，对于任意一个的未知类别的点，我们就可以根据它是位于直线的哪一侧来预测它的类别了。

在本题中我们仅需要处理 𝑚m 个如下查询：给定一条直线，判断它是否能将训练数据中的 A、B 两类点完美分开。

输入格式

从标准输入读入数据。

输入共 𝑛+𝑚+1n+m+1 行。

第一行包含用空格分隔的两个正整数 𝑛n 和 𝑚m，分别表示点和查询的个数。

第二行到第 𝑛+1n+1 行依次输入 𝑛n 个点的信息。第 𝑖+1i+1 行（1≤𝑖≤𝑛1≤i≤n）包含用空格分隔的三项 𝑥𝑖xi​、𝑦𝑖yi​ 和 𝑡𝑦𝑝𝑒𝑖typei​，分别表示第 𝑖i 个点的横、纵坐标和类别，其中坐标为整数、类别为一个大写英文字母 A 或 B。

第 𝑛+2n+2 行到第 𝑛+𝑚+1n+m+1 行依次输入 𝑚m 个查询。第 𝑗+𝑛+1j+n+1 行（1≤𝑗≤𝑚1≤j≤m）包含用空格分隔的三个整数 𝜃0θ0​、𝜃1θ1​ 和 𝜃2θ2​，表示第 𝑗j 个查询中给定直线的三个参数。

输出格式

输出到标准输出。

输出共 𝑚m 行，每行输出一个字符串。

第 𝑗j 行（1≤𝑗≤𝑚1≤j≤m）输出的字符串对应第 𝑗j 个查询的结果：如果给定直线可以完美分隔 A、B 两类点，则输出 Yes；否则输出 No。

样例1输入

9 3
1 1 A
1 0 A
1 -1 A
2 2 B
2 3 B
0 1 A
3 1 B
1 3 B
2 0 A
0 2 -3
-3 0 2
-3 1 1

样例1输出

No
No
Yes

样例1解释

只有第 33 个查询给出的直线能将 A、B 两类点完美分隔。

子任务

• 输入数据保证不存在恰好落在给定直线上的点；

• 0<𝑛≤1030<n≤103、0<𝑚≤200<m≤20，且 A、B 两类点的数量均不为 00；

• 所有点的坐标和给定直线的三个参数均为整数，且绝对值 ≤104≤104；

• 任意两个点的坐标不完全相同。

参考题解

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;struct Point {int x, y;char type; //A/B
};
//struct Line {
//	int theta0, theta1, theta2;
//};没必要，多余的开销 
int main () {int n, m;cin >> n >> m;vector<Point> points (n);for (int i = 0; i < n; i++) {//可优化为一句：cin >> points[i].x >> points[i].y >> points[i].type;int x, y;char type;cin >> x >> y >> type;points[i] = {x, y, type};}for (int i = 0; i < m; i++) {int theta0, theta1, theta2;cin >> theta0 >> theta1 >> theta2;int a_sign = 0; //记录A类点的标号int b_sign = 0; //记录B类点的标号bool valid = true; //标记当前查询是否有效 for (auto point : points) {int result = theta0 + theta1 * point.x + theta2 * point.y;if(a_sign == 0 && point.type == 'A') {a_sign = result > 0 ? 1 : -1;} else if (b_sign == 0 && point.type == 'B'){b_sign = result > 0 ? 1 : -1;}if(point.type == 'A') {if((result < 0 && a_sign == 1) || (result > 0 && a_sign == -1)) {valid = false;break;}}if(point.type == 'B') {if((result < 0 && b_sign == 1) || (result > 0 && b_sign == -1)) {valid = false;break;}}}if (valid && a_sign * b_sign < 0) { //！！！注意要判断AB是否符合相反 cout << "Yes" << "\n";}else {cout << "No" << "\n";}}return 0;
}

优化版

#include <iostream>
#include <vector>using namespace std;struct Point {int x, y;char type; //A/B
};int main () {int n, m;cin >> n >> m;vector<Point> points (n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> points[i].x >> points[i].y >> points[i].type;}for (int i = 0; i < m; i++) {int theta0, theta1, theta2;cin >> theta0 >> theta1 >> theta2;int a_sign = 0; //记录A类点的标号int b_sign = 0; //记录B类点的标号bool valid = true; //标记当前查询是否有效 for (auto point : points) {int result = theta0 + theta1 * point.x + theta2 * point.y;int sign = result > 0 ? 1 : -1;//把判断分开，一个if只进行一个判断，代码更简单了 if(point.type == 'A') {if(a_sign == 0) {a_sign = sign;}else if(sign != a_sign) {valid = false;break;}} else if (point.type == 'B'){if(b_sign == 0) {b_sign = sign;}else if(sign != b_sign) {valid = false;break;}}}if (valid && a_sign * b_sign < 0) { //！！！注意要判断AB是否符合相反 cout << "Yes\n";}else {cout << "No\n";}}return 0;
}

总结

1. 要知道直线是如何将平面划分为两部分的：
2. 注意只判断相同类别的点在一侧还不够，还要判断是不是AB在不同的一侧