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贪心算法之分数背包问题

news 2025/9/24 7:40:33

一、问题本质与核心区别

1. 问题定义

分数背包问题是经典的资源优化类问题，核心要素与目标如下：

输入条件：给定一组物品（每个物品含「重量」和「价值」两个属性）、一个固定容量的背包
核心规则：允许将物品分割成任意比例装入背包，无需完整装入
优化目标：在不超过背包容量的前提下，最大化背包内物品的总价值

2. 与 0-1 背包问题的关键差异

对比维度	分数背包问题	0-1 背包问题
物品装入规则	可分割，支持部分装入	不可分割，仅能完整装入或不装
适用算法	贪心算法（可获最优解）	动态规划（贪心算法无效）
决策逻辑复杂度	仅需按单位价值优先级选择	需考虑物品组合的整体价值

二、算法核心：贪心策略的原理与合理性

1. 贪心策略的核心逻辑

解决分数背包问题的贪心策略可概括为：优先选择「单位价值最高」的物品，依次装入背包（能完整装则装，若装不下则装入部分）。

其中，单位价值的计算方式为：单位价值（ratio）= 物品价值（value）/ 物品重量（weight），代表每单位重量物品能带来的价值回报。

2. 策略合理性证明

该策略能确保得到最优解，核心原因有两点：

单位价值越高的物品，“重量性价比” 越高，优先装入可在有限容量内快速积累高价值。
由于允许物品分割，当遇到无法完整装入的高单位价值物品时，可装入剩余容量对应的比例，避免容量浪费，实现 “物尽其用”，最终总价值达到最大。

三、数据结构设计与关键变量

1. 核心数据结构：物品结构体（Item）

通过结构体封装物品的三个关键属性，便于统一存储和处理：

struct Item {int weight; // 物品重量int value; // 物品价值double ratio; // 单位价值
};

2. 关键变量说明

items[M]：存储所有物品的数组，M为预设的最大容量
n：用户输入的实际物品数量。
capacity：用户输入的背包最大容量。
totalValue：累加存储背包内物品的总价值。
remaining：记录背包剩余容量。

四、核心算法实现（代码解析）

1. 第一步：物品排序函数（cmp）

需先对所有物品按「单位价值（ratio）」降序排序，为后续贪心选择铺路，排序函数作为 sort函数的比较器使用：

// 按单位价值降序排序，单位价值高的物品排在前面
bool cmp(Item a, Item b) {return a.ratio > b.ratio;
}

排序后，物品列表的优先级顺序为：单位价值从高到低，确保后续遍历能优先处理高价值密度的物品。

2. 第二步：贪心选择算法（maxValue 函数）

该函数是核心计算模块，实现物品的选择与价值累加，具体逻辑如下：

double maxValue(Item items[], int n, int capacity) {double totalValue = 0.0; // 初始化总价值为0int remaining = capacity; // 初始化剩余容量为背包总容量// 遍历排序后的物品数组（从单位价值最高的开始）for (int i = 0; i < n; i++) {// 情况1：当前物品可完整装入背包if (items[i].weight <= remaining) {totalValue += items[i].value; // 累加物品全部价值remaining -= items[i].weight; // 减少相应剩余容量}// 情况2：当前物品无法完整装入，装入剩余容量对应的部分else {// 部分物品的价值 = 剩余容量 / 物品总重量 * 物品总价值totalValue += (double)remaining / items[i].weight * items[i].value;remaining = 0; // 剩余容量耗尽，背包装满break; // 无需继续遍历，退出循环}}return totalValue; // 返回最终的最大总价值
}

五、完整流程与示例分析

1. 完整执行流程

整个问题的解决流程分为「输入 → 处理 → 输出」三阶段，逻辑清晰：

1. 输入阶段

用户输入物品数量 n 和背包容量 capacity（如输入 “3 50”，代表 3 个物品、背包容量 50kg）
依次输入每个物品的「重量」和「价值」（如输入 “10 60” “20 100” “30 120”）
计算每个物品的单位价值ratio（如第一个物品的 ratio = 60 / 10 = 6）

2. 处理阶段

调用 sort(items, items + n, cmp)，按单位价值降序排序物品。
调用 maxValue(items, n, capacity)，计算最大总价值。

3. 输出阶段：打印最终结果

2. 示例分步解析

以输入 “3 50；10 60；20 100；30 120” 为例，详细拆解处理过程：

步骤 1：排序后物品顺序：

物品 1（ratio=6）→ 物品 2（ratio=5）→ 物品 3（ratio=4）（单位价值从高到低）。

步骤 2：依次装入物品：

装入物品 1：总价值 = 60，剩余容量为 50-10=40；
装入物品 2：总价值 = 60+100=160，剩余容量为 40-20=20；
装入物品 3 的部分：剩余容量 20kg，可装入 20/30 的物品 3，价值增加 20/30*120=80，总价值 = 160+80=240，剩余容量 = 0，停止装入。