欧拉公式与拉普拉斯变换的关系探讨与深入理解

本文详细探讨了欧拉公式及其推广形式，以及拉普拉斯变换的定义、性质及其与欧拉公式的深刻联系。

1 欧拉公式 (Euler’s Formula)

欧拉公式是复分析中连接指数函数与三角函数的重要桥梁。

1.1 基本形式

欧拉公式的基本形式为：
$${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }=\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta \text{\hspace{1em}(1)}$$
其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位 (${\mathrm{i}}^2=-1$)，θ 是一个实数（通常代表弧度）。

当 $\theta =\pi$ 时，可以得到一个优美的恒等式：
$$e^{i\pi }+1=0$$
此公式联系了数学中五个重要常数：$0,1,\mathrm{i},\pi ,\mathrm{e}$。

1.2 证明（泰勒级数展开法）

通过比较复指数函数、余弦函数和正弦函数的泰勒级数（Maclaurin series）可以证明欧拉公式。

• 指数函数 ex的泰勒级数（在 $\mathrm{x}=0$ 处展开）：

$${\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\frac{{\mathrm{x}}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}!}=1+\mathrm{x}+\frac{{\mathrm{x}}^2}{2!}+\frac{{\mathrm{x}}^3}{3!}+\frac{{\mathrm{x}}^4}{4!}+\cdots$$

将 $\mathrm{x}$ 替换为 $\mathrm{i}\theta$，得到 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$ 的级数：
$${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }=\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\frac{(\mathrm{i}\theta {)}^{\mathrm{n}}}{\mathrm{n}!}=1+(\mathrm{i}\theta )+\frac{(\mathrm{i}\theta {)}^2}{2!}+\frac{(\mathrm{i}\theta {)}^3}{3!}+\frac{(\mathrm{i}\theta {)}^4}{4!}+\cdots$$

• 简化 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }$的级数：

利用 ${\mathrm{i}}^2=-1,{\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i},{\mathrm{i}}^4=1,{\mathrm{i}}^5=\mathrm{i},\dots$，将幂次化简：
$$\begin{array}{rl}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }& =1+(\mathrm{i}\theta )+\frac{(\mathrm{i}\theta {)}^2}{2!}+\frac{(\mathrm{i}\theta {)}^3}{3!}+\frac{(\mathrm{i}\theta {)}^4}{4!}+\frac{(\mathrm{i}\theta {)}^5}{5!}+\cdots \\ & =1+(\mathrm{i}\theta )-\frac{{\theta }^2}{2!}-\mathrm{i}\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^4}{4!}+\mathrm{i}\frac{{\theta }^5}{5!}-\frac{{\theta }^6}{6!}-\mathrm{i}\frac{{\theta }^7}{7!}+\cdots \\ & =\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\frac{{\theta }^6}{6!}+\cdots \right)+\mathrm{i}\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\frac{{\theta }^7}{7!}+\cdots \right)\\ & \end{array}$$

• 余弦函数和正弦函数的泰勒级数：

$$\cos \theta =\sum _{\mathrm{n}=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^{\mathrm{n}}{\theta }^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\frac{{\theta }^6}{6!}+\cdots$$
$$\sin \theta =\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{\theta }^{2n+1}}{(2n+1)!}=\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\frac{{\theta }^7}{7!}+\cdots$$

• 得出结论：

比较 $e^{i\theta }$ 的级数展开的实部和虚部，可以发现：
$$\mathrm{Re}({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta })=\cos \theta$$

$$Im(e^{i\theta })=\sin \theta$$
因此：
$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$
证毕。

1.3 欧拉公式的推广与几何意义

欧拉公式适用于实部不为零的一般复数指数。令 $\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{ib}（\mathrm{a},\mathrm{b}均为实数，且\mathrm{a}\ne 0）$，则有：
$${\mathrm{e}}^{\mathrm{z}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{a}+\mathrm{ib}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{a}}\cdot {\mathrm{e}}^{\mathrm{ib}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{a}}(\cos \mathrm{b}+\mathrm{i}\sin \mathrm{b})\text{\hspace{1em}(2)}$$

• 实部 a的作用：决定了复指数函数的模长（幅度） $|{\mathrm{e}}^{\mathrm{z}}|={\mathrm{e}}^{\mathrm{a}}$。
• $若a>0，则e^a>1$，信号幅度指数增长。
• $若a<0，则e^a<1$，信号幅度指数衰减。
• $若a=0，则e^a=1$，幅度恒定，退化为基本欧拉公式描述的单位圆。
• 虚部 b的作用：决定了复指数函数的辐角（相位） $\arg ({\mathrm{e}}^{\mathrm{z}})=\mathrm{b}$，对应在复平面上的旋转分量。

推广的欧拉公式 ${\mathrm{e}}^{(\mathrm{a}+\mathrm{ib})\mathrm{t}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{at}}[\cos (\mathrm{bt})+\mathrm{i}\sin (\mathrm{bt})]$ 描述的是一个幅度按 $e^{at}$ 变化、角频率为 b的螺旋线。这使得欧拉公式成为描述振荡和衰减/增长过程的强大工具，广泛应用于物理和工程领域，例如阻尼振动、RLC电路分析等。

1.4 从欧拉公式推导三角恒等式

由欧拉公式可以方便地推导出用复指数表示正弦和余弦函数的公式：
$${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }=\cos \theta +\mathrm{i}\sin \theta$$

$$e^{-i\theta }=\cos \theta -i\sin \theta$$
将两式相加和相减，即可得到：

$$\cos \theta =\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\theta }}{2}$$
$$\sin \theta =\frac{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}$$
这两个公式在信号处理和傅里叶分析中极为重要，实现了三角函数和复指数函数之间的转换。

2 拉普拉斯变换 (Laplace Transform)

拉普拉斯变换是一种积分变换，它将一个定义在时域 (0,∞)上的函数 f(t)转换为复频域上的函数 F(s)。

2.1 定义

拉普拉斯变换的定义如下：
F(s)=L{f(t)}=∫0∞f(t)e−stdt(3)\rm F(s) = \mathcal{L}\{ f(t) \} = \int \limits_0^\infty f(t) e^{-st} dt \tag{3} F(s)=L{f(t)}=0∫∞​f(t)e−stdt(3)
其中 $\mathrm{s}=\delta +\mathrm{i}\omega$ 是一个复频率变量 ($\delta ,\omega$ 为实数)。

2.2 收敛域

为了使积分 (3) 收敛，需要满足一定的条件（狄利克雷条件）：

1. $\mathrm{f}(\mathrm{t})\mathrm{在}\mathrm{t}⩾0$ 的任一有限区间上分段连续。
2. 存在实数 ${\delta }_0$ 和正常数 M，使得对于所有 $\mathrm{t}>0$，有 $|f(t)|⩽M{e}^{{\delta }_{0}t}$（即 f(t)是指数阶函数）。此时，拉普拉斯变换 F(s)在半平面 $\mathrm{Re}(\mathrm{s})>{\delta }_0$ 上存在且解析。

2.3 拉普拉斯变换与傅里叶变换的关系

傅里叶变换可以看作是拉普拉斯变换的一个特例。比较两者的核函数：

• 傅里叶变换核： ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega \mathrm{t}}$ ( 纯虚指数，$\mathrm{s}=\mathrm{i}\omega$ )
• 拉普拉斯变换核： ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{st}}={\mathrm{e}}^{-(\delta +\mathrm{i}\omega )\mathrm{t}}={\mathrm{e}}^{-\delta \mathrm{t}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega \mathrm{t}}$

可见，拉普拉斯变换在傅里叶变换的核函数基础上，额外引入了一个实指数衰减因子 ${\mathrm{e}}^{-\delta \mathrm{t}}$ 。这使得拉普拉斯变换能够处理许多不满足绝对可积条件而无法进行傅里叶变换的函数（例如指数增长函数 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{at}},\mathrm{a}>0$ ），从而扩展了应用的范畴。

2.4 复指数函数的拉普拉斯变换

复指数函数 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{zt}}（\mathrm{z}为复数）$ 是拉普拉斯变换中非常重要的本征函数。其拉普拉斯变换为：
L{ezt}=∫0∞ezte−stdt=∫0∞e−(s−z)tdt=[−1s−ze−(s−z)t]0∞\rm \mathcal{L}\{e^{zt}\} = \int \limits_0^{\infty} e^{zt} e^{-st} dt = \int\limits_0^{\infty} e^{-(s-z)t} dt \\[2ex] \rm = \left[-\cfrac{1}{s-z} e^{-(s-z)t} \right]_0^{\infty} L{ezt}=0∫∞​ezte−stdt=0∫∞​e−(s−z)tdt=[−s−z1​e−(s−z)t]0∞​
要使该积分收敛，必须有 $\mathrm{Re}(\mathrm{s}-\mathrm{z})>0，即\mathrm{Re}(\mathrm{s})>\mathrm{Re}(\mathrm{z})$ 。在此收敛域内，$e^{-(s-z)\infty }\to 0$，因此：
L{ezt}=0−(−1s−z⋅1)=1s−z(4)\rm \mathcal{L}\{e^{zt}\}=0 - \left( -\cfrac{1}{s-z} \cdot 1 \right) = \cfrac{1}{s-z} \tag{4} L{ezt}=0−(−s−z1​⋅1)=s−z1​(4)
这个简洁的结果表明，拉普拉斯变换本质上是在用一系列幅度和频率均可变的复指数函数 ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{st}}={\mathrm{e}}^{-\sigma \mathrm{t}}{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega \mathrm{t}}$作为基底，来分解或表示复杂的时域信号 f(t)。

2.5 正弦和余弦函数的拉普拉斯变换

利用欧拉公式将正弦和余弦函数表示为复指数函数的线性组合，可以很容易地求出它们的拉普拉斯变换。

余弦函数 cos(ωt)的拉普拉斯变换：
$$\cos (\omega \mathrm{t})=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega \mathrm{t}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega \mathrm{t}}}{2}$$
利用拉普拉斯变换的线性性质和公式 (4) ( $\mathrm{z}=\mathrm{i}\omega \mathrm{和}\mathrm{z}=-\mathrm{i}\omega$ )：
L{cos⁡(ωt)}=12[L{eiωt}+L{e−iωt}]=12(1s−iω+1s+iω)=12⋅(s+iω)+(s−iω)(s−iω)(s+iω)=12⋅2ss2+ω2=ss2+ω2\begin{aligned} \rm \mathcal{L}\{\cos(\omega t) \} & \rm = \cfrac{1}{2} \left[ \mathcal{L}\{e^{i\omega t}\} + \mathcal{L}\{e^{-i\omega t}\} \right] \\[2ex] & \rm = \cfrac{1}{2} \left( \cfrac{1}{s-i\omega} + \cfrac{1}{s+i\omega} \right) \\[2ex] & \rm = \cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{(s+i\omega) + (s-i\omega)}{(s-i\omega)(s+i\omega)} \\[2ex] & \rm = \cfrac{1}{2} \cdot \cfrac{2s}{s^2 + \omega^2} \\[2ex] & \rm = \cfrac{s}{s^2 + \omega^2} \end{aligned} L{cos(ωt)}​=21​[L{eiωt}+L{e−iωt}]=21​(s−iω1​+s+iω1​)=21​⋅(s−iω)(s+iω)(s+iω)+(s−iω)​=21​⋅s2+ω22s​=s2+ω2s​​
正弦函数 sin(ωt)的拉普拉斯变换：
$$\sin (\omega \mathrm{t})=\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\omega \mathrm{t}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\omega \mathrm{t}}}{2i}$$
同样利用线性性质和公式 (4)：
L{sin⁡(ωt)}=12i[L{eiωt}−L{e−iωt}]=12i(1s−iω−1s+iω)=12i⋅(s+iω)−(s−iω)(s−iω)(s+iω)=12i⋅2iωs2+ω2=ωs2+ω2\begin{aligned} \rm \mathcal{L}\{\sin(\omega t) \} & \rm = \cfrac{1}{2i} \left[ \mathcal{L}\{e^{i\omega t}\} - \mathcal{L}\{e^{-i\omega t}\} \right] \\[2ex] & \rm = \cfrac{1}{2i} \left( \cfrac{1}{s-i\omega} - \cfrac{1}{s+i\omega} \right) \\[2ex] & \rm = \cfrac{1}{2i}\cdot \cfrac{(s+i\omega) - (s-i\omega)}{(s-i\omega)(s+i\omega)} \\[2ex] & \rm = \cfrac{1}{2i} \cdot \cfrac{2i\omega}{s^2 + \omega^2} \\[2ex] & \rm = \cfrac{\omega}{s^2 + \omega^2} \end{aligned} L{sin(ωt)}​=2i1​[L{eiωt}−L{e−iωt}]=2i1​(s−iω1​−s+iω1​)=2i1​⋅(s−iω)(s+iω)(s+iω)−(s−iω)​=2i1​⋅s2+ω22iω​=s2+ω2ω​​
因此，我们得

到：
L{sin⁡(ωt)}=ωs2+ω2(Re(s)>0)\rm \mathcal{L}\{\sin(\omega t) \} = \cfrac{\omega}{s^2 + \omega^2} \quad (Re(s) > 0) L{sin(ωt)}=s2+ω2ω​(Re(s)>0)

L{cos⁡(ωt)}=ss2+ω2(Re(s)>0)\mathcal{L}\{\cos(\omega t) \} = \cfrac{s}{s^2 + \omega^2} \quad (Re(s) > 0) L{cos(ωt)}=s2+ω2s​(Re(s)>0)

2.6 拉普拉斯变换的基本性质

拉普拉斯变换有一些重要的性质，这些性质在求解复杂信号的变换和进行系统分析时非常有用。

性质	描述	时域	复频域
线性性	齐次性和可加性	$\mathrm{a}{\mathrm{f}}_1(\mathrm{t})+\mathrm{b}{\mathrm{f}}_2(\mathrm{t})$	$\mathrm{a}{\mathrm{F}}_1(\mathrm{s})+\mathrm{b}{\mathrm{F}}_2(\mathrm{s})$
微分定理	一阶导数	$\frac{\mathrm{df}(\mathrm{t})}{\mathrm{dt}}$	$\mathrm{sF}(\mathrm{s})-\mathrm{f}(0^{-})$
	n阶导数	$\frac{{\mathrm{d}}^{\mathrm{n}}\mathrm{f}(\mathrm{t})}{\mathrm{d}{\mathrm{t}}^{\mathrm{n}}}$	${\mathrm{s}}^{\mathrm{n}}\mathrm{F}(\mathrm{s})-\sum _{\mathrm{k}=1}^{\mathrm{n}}{\mathrm{s}}^{\mathrm{n}-\mathrm{k}}{\mathrm{f}}^{\mathrm{k}-1}(0^{-})$
积分定理		$\underset{0}{\overset{\mathrm{t}}{\int }}\mathrm{f}(\tau )\mathrm{d}\tau$	$\frac{1}{\mathrm{s}}\mathrm{F}(\mathrm{s})$
位移定理	时域延迟	$\mathrm{f}(\mathrm{t}-\mathrm{a})\mathrm{u}(\mathrm{t}-\mathrm{a})$	${\mathrm{e}}^{-\mathrm{as}}\mathrm{F}(\mathrm{s})$
衰减定理	复频域位移	${\mathrm{e}}^{\mathrm{at}}\mathrm{f}(\mathrm{t})$	$F(s-a)$
初值定理		$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }f(t)$	$\underset{s\to \infty }{\lim }sF(s)$
终值定理		$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)$	$\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$
卷积定理	时域卷积	$f_1(t)\times f_2(t)$	$F_1(s)\times F_2(s)$

3 欧拉公式与拉普拉斯变换的深刻联系

欧拉公式和拉普拉斯变换之间的联系是本质且深刻的。

1. 共同的数学基础：两者都核心地依赖于复指数函数 ${\mathrm{e}}^{(\cdot )}$。欧拉公式揭示了复指数的三角本质，拉普拉斯变换则用它作为积分核来分解信号。
2. 从傅里叶到拉普拉斯：拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，$\mathrm{s}=\delta +\mathrm{i}\omega$ 中的虚部 $\mathrm{i}\omega$ 继承了傅里叶变换的频率意义，而实部 σ引入了指数增长/衰减的特性。这正好与推广的欧拉公式 ${\mathrm{e}}^{(\mathrm{a}+\mathrm{ib})\mathrm{t}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{at}}(\cos (\mathrm{bt})+\mathrm{i}\sin (\mathrm{bt}))$ 中实部 a和虚部 b的物理意义完美对应。
3. 变换的桥梁：欧拉公式提供了正/余弦信号与复指数信号之间的转换桥梁。这使得在拉普拉斯变换（及其逆变换）中，可以利用欧拉公式在三角函数形式和复指数形式之间灵活转换，从而简化计算和分析，特别是在处理振荡信号时。
4. 极点的物理意义：拉普拉斯变换的结果 $\mathrm{F}(\mathrm{s})$ 通常是复变量 s的有理函数，其极点（使分母为零的 s值）直接反映了原时域函数 $\mathrm{f}(\mathrm{t})$ 的特性。例如，形如 $\frac{1}{\mathrm{s}-(\mathrm{a}+\mathrm{ib})}$的项，其极点 $\mathrm{s}=\mathrm{a}+\mathrm{ib}$，对应的时域原函数正是（或包含）${\mathrm{e}}^{(\mathrm{a}+\mathrm{ib})\mathrm{t}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{at}}(\cos (\mathrm{bt})+\mathrm{i}\sin (\mathrm{bt}))$。这表明，拉普拉斯变换的极点位置直接决定了时域信号的增长/衰减速率 (a) 和振荡频率 (b)。

下表总结了这种对应关系：

特性	复指数信号 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{zt}}(\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{ib})$	与欧拉公式的联系	拉普拉斯变换 L{ezt}\rm \mathcal{L}\{{e^{zt}}\}L{ezt}	极点 $\mathrm{s}=\mathrm{z}$揭示的时域特性
幅度/衰减因子	实部 $\mathrm{a}$ 控制 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{at}}$ (模长)	决定了模长 $||{\mathrm{e}}^{\mathrm{zt}}||={\mathrm{e}}^{\mathrm{at}}$	$\frac{1}{\mathrm{s}-\mathrm{z}}$	极点实部 $\mathrm{Re}(\mathrm{z})=\mathrm{a}:\mathrm{a}<0$ (左半平面)衰减，$\mathrm{a}>0$ (右半平面)增长
振荡/频率因子	虚部 $\mathrm{b}$ 控制 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{ibt}}$ (旋转/相位)	通过欧拉公式 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{ibt}}=\cos (\mathrm{bt})+\mathrm{i}\sin (\mathrm{bt})$产生振荡	$\frac{1}{\mathrm{s}-\mathrm{z}}$	极点虚部 $\mathrm{Im}(\mathrm{z})=\mathrm{b}$：指示振荡角频率
综合描述	一条幅度变化（${\mathrm{e}}^{\mathrm{at}}$）的螺旋线（旋转频率为 b）	欧拉公式 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{zt}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{at}}(\cos (\mathrm{bt})+\mathrm{i}\sin (\mathrm{bt}))$完美分解了幅度和振荡成分	$\frac{1}{s-z}(其中s=\delta +i\omega )$	极点 $\mathrm{s}=\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{ib}$ 直接对应了时域信号的特性（增长/衰减速率 a和振荡频率 b）

4 应用领域

欧拉公式和拉普拉斯变换共同构成了许多工程和科学领域的数学基础：

• 电路分析：用于分析RLC电路的瞬态响应和正弦稳态响应，复阻抗的概念极大地依赖于欧拉公式。
• 控制理论：拉普拉斯变换用于求解系统微分方程，分析系统的稳定性（通过极点在S平面的位置）、响应速度和频率特性。
• 信号处理：作为傅里叶变换（频谱分析、滤波）的基础，并扩展至拉普拉斯域用于系统表征。
• 量子力学：波函数常表示为复指数形式 ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}(\mathrm{kx}-\omega \mathrm{t})}$，其中包含了相位和振荡信息。

结论

总而言之，当复指数的实部不为零时，欧拉公式不仅依然成立，而且其推广形式 ${\mathrm{e}}^{(\mathrm{a}+\mathrm{ib})\mathrm{t}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{at}}(\cos (\mathrm{bt})+\mathrm{i}\sin (\mathrm{bt}))$ 揭示了信号同时包含幅度变化和振荡的双重特性。

而拉普拉斯变换则是分析和处理这类复杂信号的有力工具。它通过复频率 s的概念，在变换域中清晰地分离并刻画了信号的增长/衰减（由实部 σ表示）和振荡频率（由虚部 ω表示）特性，这与推广的欧拉公式所描述的物理意义是同构的、相互印证的。

因此，欧拉公式为理解复指数信号提供了理论基础，而拉普拉斯变换则提供了分析和计算这些信号在实际系统中行为的强大数学工具。两者共同构成了信号与系统分析、控制理论等领域的基石。