三个余弦：平方和凑成1时会发生什么

题目呈现（2023年中山大学强基计划试题/第4届IMO试题）

解方程：${\cos }^{2}x+{\cos }^{2}2x+{\cos }^{2}3x=1$

🔍 破题思路：当三角平方和「抱团」时

三个不同周期的余弦平方项相加等于$1$．
但仔细观察：

• 平方项暗示降幂：看到${\cos }^2\theta$，立刻联想到半角公式 ${\cos }^2\theta =\frac{1+\cos 2\theta }{2}$，这是打破平方壁垒的钥匙．
• 角度倍数藏玄机：$x,2x,3x$ 是等差数列！可能通过和差化积或积化和差公式产生关联．
• 目标值$1$的暗示：右边是常数$1$，而三角平方和常与对称性或特殊组合恒等式相关．

💡 破题点：降幂后合并同类项，利用角度和差关系寻找公共因子．

🔧 关键推导：三步拆解「三角堡垒」

✅Step 1: 降幂化简（半角公式出击）

$$\begin{array}{rl}{\cos }^{2}x& =\frac{1+\cos 2x}{2}\\ {\cos }^{2}3x& =\frac{1+\cos 6x}{2}\\ {\cos }^{2}2x& ={\cos }^{2}2x\text{(保留原式)}\end{array}$$
代入原方程：
$$\frac{1+\cos 2x}{2}+{\cos }^{2}2x+\frac{1+\cos 6x}{2}=1$$

✅Step 2: 重组与积化和差

合并常数项并整理：
$$\begin{array}{rl}1+{\cos }^{2}2x+\frac{\cos 2x+\cos 6x}{2}& =1\\ {\cos }^{2}2x+\frac{\cos 2x+\cos 6x}{2}& =0\end{array}$$
利用和差化积公式
$$\cos 2x+\cos 6x=2\cos 4x\cos 2x$$
代入得：
$${\cos }^{2}2x+\cos 4x\cos 2x=0$$
提取公因式 $\cos 2x$：
$$\cos 2x(\cos 2x+\cos 4x)=0$$
再次和差化积：
$$\cos 2x+\cos 4x=2\cos 3x\cos x$$
最终方程简化为：
$$\boxed{2\cos x\cos 2x\cos 3x=0}$$

⚠️ 关键一跃：连续两次和差化积，将三项乘积转化为单角余弦乘积，实现因式分解！

✅Step 3: 解乘积为零的方程

由 $2\cos x\cos 2x\cos 3x=0$ 得：
$$\cos x=0\text{或}\cos 2x=0\text{或}\cos 3x=0$$
分别求解：
$$\begin{array}{rl}& \cos x=0\\ \Rightarrow & x=k\pi +\frac{\pi }{2}\\ & \cos 2x=0\\ \Rightarrow & 2x=k\pi +\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{4}\\ & \cos 3x=0\\ \Rightarrow & 3x=k\pi +\frac{\pi }{2}\Rightarrow x=\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6}\end{array}$$

其中$k\in \mathbb{Z}$

💡 注意周期性：验证重叠解（如 $x=\frac{\pi }{2}$ 同时满足 $\cos x=0$ 和 $\cos 2x=0$）．

✅Step 4:解集整理与验证

合并解并去重：
$$x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{4}\text{或}x=\frac{k\pi }{3}+\frac{\pi }{6},k\in \mathbb{Z}$$

因此，原方程的解集是
{x∣x=kπ2+π4或x=kπ3+π6，k∈Z}\{x|x=\dfrac{k\pi}{2}+\dfrac{\pi}{4}或x=\dfrac{k\pi}{3}+\dfrac{\pi}{6}，k \in \mathbb{Z}\}{x∣x=2kπ​+4π​或x=3kπ​+6π​，k∈Z}.