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P1879 [USACO06NOV] Corn Fields G-提高+/省选-

news 2025/9/21 13:20:55

P1879 [USACO06NOV] Corn Fields G

题目描述

农场主 $John\rm John$ 新买了一块长方形的新牧场，这块牧场被划分成 $M$ 行 $N$ 列 $\le M \le 12, 1 \le N \le 12)$ ，每一格都是一块正方形的土地。 $John\rm John$ 打算在牧场上的某几格里种上美味的草，供他的奶牛们享用。

遗憾的是，有些土地相当贫瘠，不能用来种草。并且，奶牛们喜欢独占一块草地的感觉，于是 $John\rm John$ 不会选择两块相邻的土地，也就是说，没有哪两块草地有公共边。

$John\rm John$ 想知道，如果不考虑草地的总块数，那么，一共有多少种种植方案可供他选择？（当然，把新牧场完全荒废也是一种方案）

输入格式

第一行：两个整数 $M$ 和 $N$ ，用空格隔开。

第 $2$ 到第 $M + 1$ 行：每行包含 $N$ 个用空格隔开的整数，描述了每块土地的状态。第 $i + 1$ 行描述了第 $i$ 行的土地，所有整数均为 $0$ 或 $1$ ，是 $1$ 的话，表示这块土地足够肥沃， $0$ 则表示这块土地不适合种草。

输出格式

一个整数，即牧场分配总方案数除以 $10^8$ 的余数。

输入输出样例 #1

输入 #1

2 3
1 1 1
0 1 0

输出 #1

solution

用一个整数的二进制表示每一行种地的说有可能 (0 ~ 2^m - 1) 找到其中合法状态(没有连续的二进制位1)，并找到所有的合法状态的相融状态 (没有任何位置同时存在1)，找到每一行的土地状态 b(同样用二进制表示，1可以用，0不能用) 然后逐行递推即可

1 定义公式

       j           : j 的二进制形式表示一种状态，即二进制为 1 的位该位置种，0 表示不种f[i][j]     : 第 i 行为 j 这种状态时，前 i 行种地的总方案数g[i]        : 第 i 行的土地状态a           : 所有合法一行状态的集合b           : b[j] 表示与 j 相适应的状态集合

2 状态转移

      f[i + 1 & 1][k] += f[i & 1][j]);其中 k 是与 j 相适应且只在可用的土地上种地时的种地状态

3 结果

 f[n + 1][0] 所有 n 行状态都可以转移到 0 这种状态

4 初始状态
- ```
 f[0][0] = 1
```
5 复杂度分析：

      时间复杂度：预处理 a, b : O(fib[m]^2)递推 ：O(fib[m]^2*n)空间复杂度：省略一个维度后 O(2 * fib[m])

代码

#include <vector>
#include "iostream"
#include "algorithm"
#include "unordered_map"
#include "cstring"
#include "bit"using namespace std;/** P1879 [USACO06NOV] Corn Fields G* 题目大意：农场主 John 新买了一块长方形的新牧场，这块牧场被划分成 M 行 N 列 ，每一格都是一块正方形的土地。* John 打算在牧场上的某几格里种上美味的草，供他的奶牛们享用。遗憾的是，有些土地相当贫瘠，不能用来种草。并且，奶牛们喜欢独占一块草地的感觉，* 于是 John 不会选择两块相邻的土地，也就是说，没有哪两块草地有公共边。John 想知道，如果不考虑草地的总块数，那么，* 一共有多少种种植方案可供他选择？（当然，把新牧场完全荒废也是一种方案）** 数据范围：(1≤M≤12,1≤N≤12), 输出分配总方案数模 10^8** 思路：用一个整数的二进制表示每一行种地的说有可能 (0 ~ 2^m - 1) 找到其中合法状态(没有连续的二进制位1)，并找到所有的合法状态的相融状态* (没有任何位置同时存在1)，找到每一行的土地状态 b(同样用二进制表示，1可以用，0不能用) 然后逐行递推即可** 1 定义公式*      j           : j 的二进制形式表示一种状态，即二进制为 1 的位该位置种，0 表示不种*      f[i][j]     : 第 i 行为 j 这种状态时，前 i 行种地的总方案数*      g[i]        : 第 i 行的土地状态*      a           : 所有合法一行状态的集合*      b           : b[j] 表示与 j 相适应的状态集合* 2 状态转移*      f[i + 1 & 1][k] += f[i & 1][j]);*      其中 k 是与 j 相适应且只在可用的土地上种地时的种地状态* 3 结果*      f[n + 1][0] 所有 n 行状态都可以转移到 0 这种状态* 4 初始状态*      f[0][0] = 1** 5 复杂度分析：*      时间复杂度：*          预处理 a, b : O(fib[m]^2)*          递推 ：O(fib[m]^2*n)*      空间复杂度：*          省略一个维度后 O(2 * fib[m])*/typedef long long ll;const int N = 1e5 + 5, M = 1e8;int n, m, s, g[13], f[2][(1 << 12) + 5];vector<int> a;
vector<vector<int>> b;int main() {cin >> n >> m;for (int i = 1; i <= n; i++)for (int j = 0, x; j < m; j++) cin >> x, g[i] |= x << j;for (int i = 0; i < (1 << m); i++) if (!(i & (i << 1))) a.push_back(i);s = int(a.size());for (int i = 0; i < s; i++) {b.emplace_back();for (int j = 0; j < s; j++) if (!(a[i] & a[j])) b[i].push_back(j);}f[0][0] = 1;for (int i = 0; i <= n; i++) {for (int j = 0; j < s; j++) {for (int k: b[j]) if ((a[k] & g[i + 1]) == a[k])f[i + 1 & 1][k] = (f[i + 1 & 1][k] + f[i & 1][j]) % M;f[i & 1][j] = 0;}}cout << f[n + 1 & 1][0] << endl;return 0;
}