泛函 Φ(u) 驻点所满足的偏微分方程与自然边界条件

题目

问题13：写出泛函

$$\Phi (u)={\iint }_D\left(u_x^2-2u_x{u}_y+2u_y^2\right)dxdy+{\int }_{\Gamma }\left(u^2+2g(x)u\right)dx$$

的驻点所满足的方程和边界条件，其中 D={(x,y) ⁣:0<x<2, 0<y<1}D=\{(x,y)\colon 0<x<2,\,0<y<1\}D={(x,y):0<x<2,0<y<1}，Γ={(x,y) ⁣:y=0,0<x<1}\Gamma=\{(x,y)\colon y=0,0<x<1\}Γ={(x,y):y=0,0<x<1}，且满足边界条件

$$u{|}_{y=1}=u{|}_{x=0}=u{|}_{x=2}=u{|}_{y=0,1<x<2}=0.$$

解答

为了求泛函 $$\Phi (u)$$ 的驻点，使用变分法。计算一阶变分 $$\delta \Phi$$ 并令其为零，得到欧拉-拉格朗日方程和自然边界条件。

欧拉-拉格朗日方程

泛函中的二重积分部分为 $${\iint }_{D}F(u_x,u_y)dxdy$$，其中 $$F=u_x^2-2u_x{u}_y+2u_y^2$$。欧拉-拉格朗日方程为：
$$\frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial F}{\partial u_x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial F}{\partial u_y}\right)=0$$
计算偏导数：
$$\frac{\partial F}{\partial u_x}=2u_x-2u_y,\frac{\partial F}{\partial u_y}=-2u_x+4u_y$$
代入方程：
$$\frac{\partial }{\partial x}(2u_x-2u_y)+\frac{\partial }{\partial y}(-2u_x+4u_y)=0$$
计算二阶导数：
$$2u_{xx}-2u_{yx}-2u_{xy}+4u_{yy}=0$$
假设 $$u$$ 光滑，$$u_{xy}=u_{yx}$$，化简得：
$$2u_{xx}-4u_{xy}+4u_{yy}=0$$
除以2：
$$u_{xx}-2u_{xy}+2u_{yy}=0$$
因此，在区域 $$D$$ 内部，驻点满足方程：
$$u_{xx}-2u_{xy}+2u_{yy}=0$$

边界条件

给定的边界条件为：

• $$u{|}_{y=1}=0$$（上边界）
• $$u{|}_{x=0}=0$$（左边界）
• $$u{|}_{x=2}=0$$（右边界）
• $$u{|}_{y=0,1<x<2}=0$$（下边界部分）

在边界 $$\Gamma$$（即 $$y=0,0<x<1$$）上，由于有线积分项，自然边界条件通过变分得到。总变分中的边界积分和线积分项导致：
$${\int }_{x=0}^1\eta \left[2u_x-4u_y+2u+2g\right]dx=0$$
由于 $$\eta$$ 任意，必有：
$$2u_x-4u_y+2u+2g=0$$
除以2：
$$u_x-2u_y+u+g=0$$
因此，在 $$\Gamma$$ 上，自然边界条件为：
$$u_x-2u_y+u+g=0\text{on}y=0,0<x<1$$

总结

驻点满足的方程和边界条件如下：

• 方程：在区域 $$D$$ 内部，
  $$u_{xx}-2u_{xy}+2u_{yy}=0$$
• 边界条件：
  • $$u=0$$ on $$y=1$$（上边界）
  • $$u=0$$ on $$x=0$$（左边界）
  • $$u=0$$ on $$x=2$$（右边界）
  • $$u=0$$ on $$y=0,1<x<2$$（下边界部分）
  • $$u_x-2u_y+u+g=0$$ on $$y=0,0<x<1$$（自然边界条件）

此即泛函 $$\Phi (u)$$ 的驻点所满足的方程和边界条件。