模运算（Modular Arithmetic）的性质

模运算就像是一个“循环”的数字系统，最形象的例子就是钟表（模12）或一周的天数（模7）。
首先，我们明确一下符号表示：
$a\equiv b(\mathrm{mod}m)$
这意味着 $a$ 和 $b$ 除以 $m$ 后有相同的余数，我们称 “$a$ 与 $b$ 在模 $m$ 下同余”。

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模运算的核心性质

模运算保留了普通整数运算的许多良好性质，包括交换律、结合律和分配律。以下是详细的说明：

1. 同余关系的基本性质

• 自反性：任何整数与自己同余。
  $a\equiv a(\mathrm{mod}m)$
• 对称性：如果 $a$ 与 $b$ 同余，那么 $b$ 也与 $a$ 同余。
  若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，则 $b\equiv a(\mathrm{mod}m)$
• 传递性：如果 $a$ 与 $b$ 同余，且 $b$ 与 $c$ 同余，那么 $a$ 与 $c$ 同余。
  若 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 且 $b\equiv c(\mathrm{mod}m)$，则 $a\equiv c(\mathrm{mod}m)$

这三条性质表明，同余关系是一种等价关系。

2. 与四则运算的兼容性（最重要的性质）

如果 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$ 且 $c\equiv d(\mathrm{mod}m)$，那么以下等式成立：

• 加法/减法性质：
  $a\pm c\equiv b\pm d(\mathrm{mod}m)$

  • 解释：同余的数相加或相减，结果仍然同余。
  • 例子：$12\equiv 5(\mathrm{mod}7)$，$10\equiv 3(\mathrm{mod}7)$，则 $12+10=22$ 和 $5+3=8$ 同余于模7（$22\mathrm{mod}7=1$, $8\mathrm{mod}7=1$）。

• 乘法性质：
  $a\times c\equiv b\times d(\mathrm{mod}m)$

  • 解释：同余的数相乘，结果仍然同余。
  • 例子：$12\equiv 5(\mathrm{mod}7)$，$10\equiv 3(\mathrm{mod}7)$，则 $12\times 10=120$ 和 $5\times 3=15$ 同余于模7（$120\mathrm{mod}7=1$, $15\mathrm{mod}7=1$）。
  • 推论：$a^k\equiv b^k(\mathrm{mod}m)$（其中 $k$ 是非负整数）。这是模幂运算的基础。

• 除法性质（有严格限制）：
  除法在模运算中不能随意进行。除以一个数等价于乘以它的乘法逆元。
  一般形式为：
  如果 $a\times c\equiv b\times c(\mathrm{mod}m)$，且 $c$ 与 $m$ 互质（即 $\gcd (c,m)=1$），那么：
  $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$

  • 解释：只有在与模数互质的情况下，才能“消去”等式两边的公因子。
  • 反例：$2\times 3\equiv 4\times 3(\mathrm{mod}6)$（即 $6\equiv 12(\mathrm{mod}6)$，两者余数均为0）。但如果两边同时除以3，会得到 $2\equiv 4(\mathrm{mod}6)$，这显然是错误的。因为 $\gcd (3,6)=3\ne 1$，不满足条件。

3. 缩放模数

如果 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$，且 $k$ 是一个正整数，那么：
$a\times k\equiv b\times k(\mathrm{mod}m\times k)$

• 解释：等式两边和模数可以同时乘以一个相同的数。
• 例子：$7\equiv 2(\mathrm{mod}5)$，两边乘以3，模数也乘以3，得到 $21\equiv 6(\mathrm{mod}15)$。（$21\mathrm{mod}15=6$, $6\mathrm{mod}15=6$）。

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为何这些性质如此有用？

这些性质是计算机科学和密码学的基石，因为它们允许我们：

1. 简化计算：在处理非常大的数字时（例如密码学中的数字有数百位），我们可以利用模运算的性质，在计算的中间步骤不断取模，避免数字膨胀，最终得到与先完全计算再取模相同的结果。

   • 例如：计算 $(1234\times 5678)\mathrm{mod}10$。
     你可以先计算 $1234\mathrm{mod}10=4$，$5678\mathrm{mod}10=8$，然后计算 $(4\times 8)\mathrm{mod}10=32\mathrm{mod}10=2$。这比直接算 $1234\times 5678=7,006,652$ 再取模要简单得多。

2. 实现快速模幂算法：计算 $a^b\mathrm{mod}m$ 是RSA加密等算法的核心操作。直接计算 $a^b$ 几乎不可能（因为 $b$ 非常大）。利用乘方的模运算性质 $(a\times b)\mathrm{mod}m=[(a\mathrm{mod}m)\times (b\mathrm{mod}m)]\mathrm{mod}m$，我们可以设计一种“平方-乘”算法，使得计算在多项式时间内完成。

3. 定义有限域：模数为素数 $p$ 的模运算系统构成了一个有限域 ${\mathbb{F}}_p$。在这个系统中，除了0以外的每个元素都存在乘法逆元，我们可以像在实数域中一样自由地进行加、减、乘、除（除0除外）运算。这是椭圆曲线加密等现代密码学方案的基础。

总结

模运算的核心性质可以概括为：加、减、乘运算与取模操作可交换。这意味着你可以在运算过程中任何步骤进行取模，而不会影响最终结果的正确性。这使得它成为处理大数计算、构造加密算法和检验数字规律的强大工具。

运算	性质	条件
加法/减法	$(a\pm b)\mathrm{mod}m=[(a\mathrm{mod}m)\pm (b\mathrm{mod}m)]\mathrm{mod}m$	无条件
乘法	$(a\times b)\mathrm{mod}m=[(a\mathrm{mod}m)\times (b\mathrm{mod}m)]\mathrm{mod}m$	无条件
指数运算	$a^k\mathrm{mod}m=(a\mathrm{mod}m{)}^k\mathrm{mod}m$	无条件
除法	$(a/c)\mathrm{mod}m=(a\times c^{-1})\mathrm{mod}m$	$c$ 与 $m$ 必须互质