一阶低通滤波在运动控制中的应用

1. 核心思想：为什么要用低通滤波？

在机器人运动控制中，未经滤波的信号主要存在两个问题：

1. 高频噪声：来自关节电机的电流环、编码器测量量化误差、IMU的微小振动等。
2. 指令突变：上层规划器发出的指令（如期望运动速度、身体高度）可能是阶跃变化的。

低通滤波的作用就是在平滑噪声/减缓冲击和快速响应指令之间做一个权衡。这个权衡的“旋钮”就是滤波器的截止频率。

2. 连续时域理念

2.1 数学模型：微分方程

我们希望设计一个系统，其输出 $y(t)$ 的变化率（导数）不仅取决于当前输入 $x(t)$，还受到当前输出值的“牵制”。这种关系引向了一个一阶微分方程，它描述了一个具有“惯性”或“记忆”的系统：

$$\tau \frac{dy(t)}{dt}+y(t)=x(t)$$

推导与证明：方程的物理意义
方程可以改写为：
$$\frac{dy}{dt}=\frac{1}{\tau }(x-y)$$
这个形式表明：

• 系统输出 $y(t)$ 的变化率 $\frac{dy}{dt}$ 与当前误差 $(x-y)$ 成正比。
• 时间常数 $\tau$ 是比例系数。$\tau$ 越大，同样的误差引起的输出变化越慢，系统惯性越大。
• 系统总是“试图”让输出 $y$ 跟上输入 $x$，但这个追赶过程受到 $\tau$ 的制约。

其中：

• $x(t)$：输入信号（原始的、带噪声的测量值或突变的指令）
• $y(t)$：输出信号（过滤后的平滑信号）
• $\tau$：时间常数（关键参数，决定“惯性”大小）

2.2 关键参数：时间常数 $\tau$ 与截止频率 $f_c$

• 时间常数 $\tau$：

  • $\tau$ 越大：系统惯性越大，响应越“迟钝”，更平滑，延迟越大。
  • $\tau$ 越小：系统惯性越小，响应越快，平滑效果差。

• 截止频率 $f_c$：
  $$f_c=\frac{1}{2\pi \tau }$$
  推导与证明：截止频率的由来
  为了分析系统对不同频率信号的响应，我们使用拉普拉斯变换，将微分方程转换为代数方程。对原方程两边进行拉普拉斯变换（假设零初始条件）：
  L{ τdydt+y}=L{ x}τsY(s)+Y(s)=X(s)(τs+1)Y(s)=X(s) \mathcal{L}\{\tau \frac{dy}{dt} + y\} = \mathcal{L}\{x\} \\ \tau s Y(s) + Y(s) = X(s) \\ (\tau s + 1)Y(s) = X(s) L{ τdtdy​+y}=L{ x}τsY(s)+Y(s)=X(s)(τs+1)Y(s)=X(s)
  得到传递函数：
  $$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}=\frac{1}{\tau s+1}$$
  令 $s=j\omega$ ($j$是虚数单位，$\omega$是角频率)，得到频率响应：
  $$H(j\omega )=\frac{1}{j\omega \tau +1}$$
  其幅度（增益）为：
  $$|H(j\omega )|=\frac{1}{\sqrt{(\omega \tau {)}^2+1}}$$
  
  当增益下降到直流($\omega =0$)增益的 $1/\sqrt{2}$（即-3dB）时，对应的频率即为截止频率：
  $$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt{({\omega }_c\tau {)}^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ ({\omega }_c\tau {)}^2+1=2 \\ {\omega }_c=\frac{1}{\tau } \end{gathered}$$
  由于 $\omega =2\pi f$，所以：
  $$f_c=\frac{{\omega }_c}{2\pi }=\frac{1}{2\pi \tau }$$

  • 如何选 $f_c$？
    • 过滤噪声：将 $f_c$ 设在噪声频率以下。（例如：滤除50Hz以上噪声，设 $f_c$ = 30Hz）
    • 平滑指令：$f_c$ 必须远低于机器人的结构谐振频率和电机带宽。（通常从10-20Hz开始调试）

2.3 阶跃响应：直观理解动态性能

对一个理想的阶跃输入 x(t)=u(t)x(t)