数值计算2
接上节课——数值计算1-导论
5.计算机浮点数系统
实数在计算机中的表示：2进制浮点数fl(x)
基数 β 在这里等于 2，表示这是一个二进制系统。这意味着所有的计算和表示都是基于 2 的幂次进行的。
指数 E：上限值 U，下限值 L
规范化（normalized）：d0=1
规范化是指将浮点数表示成一种标准形式，使得尾数的第一个非零位总是 1。对于二进制浮点数，这意味着 d0=1。由于 d0 总是 1，因此在存储时可以省略它，从而节省空间。这种规范化的表示方式确保了数的表示唯一，并且所有尾数都是有效数字。
数的表示唯一、尾数都是有效数字、d0 不用存储（用该位表示 ± 的信息）
- 表示唯一：通过规范化，每个可表示的浮点数都有唯一的二进制表示。
- 有效数字：尾数中的每一位都代表了一个有效的数字，没有冗余。
- 省略 d0d0：由于 d0d0 总是 1，不需要存储它。通常，这个位置用来存储符号位，表示数的正负
浮点数有限个，非均匀的分布在数轴上
机器精度：对于一个具有 p 位尾数的二进制浮点数系统，机器精度 ε 可以定义为
舍入
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能在浮点数系统中准确表示的实数称为机器数。
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如果实数 x 不是机器数，则在计算机中须用某个邻近的浮点数 fl(x) 近似它，近似的过程称为舍入
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最近舍入：fl(x) 是与 x 最接近的浮点数，IEEE 默认。
如果 x 左、右两侧最近的浮点数与 x 的距离都相同，则一般取最后一位数字为偶数的那个。
例如，x=1.101 在 p=3 的二进制浮点数系统中，1.11 与 1.10 与 x 的距离相同，根据最近舍入规则，fl(x)=1.10
机器精度
6.数值计算中的规则
1.选用数值稳定性好的算法
2.避免大数吃小数
浮点加和浮点乘满足交换律，但不满足结合率
IEEE 754 标准明确规定：浮点加法和乘法必须满足交换律
3.避免抵消现象
4.调整计算顺序，避免中间计算结果出现上下溢出
5.简化计算步骤，减少运算次数
若初始数据误差较小，对于良态问题采用稳定算法，一定能得出比较准确的结果
判断
算法稳定，能保证在病态问题上得到好的近似值吗？
答：
算法稳定性（stability）并不自动意味着在病态问题上就能得到好的近似值。
病态问题的本质：病态（ill-conditioned）意味着：输入有极小的扰动，输出就会产生极大的变化。例如线性方程组 Ax=bAx = bAx=b，当 AAA 的条件数很大时，即使算法完全无误，数值解也会对 bbb 的微小噪声极度敏感。所以在病态问题上，不是“算法”先出错，而是问题本身不稳定。
算法稳定性的含义
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稳定算法的直观意思是：它的计算误差不会额外放大，结果就像是在略微扰动了输入后得到的精确解。
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换句话说，稳定算法保证误差主要来自问题本身，而不是算法的实现。
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例如，解线性系统时，高斯消元的带主元选取版本是稳定的，而不选主元的可能是不稳定的。
稳定性与病态问题的关系
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如果问题本身是良态的（well-conditioned），稳定算法能得到高精度解。
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但如果问题本身是病态的，即使算法稳定，结果依然可能差，因为真实解本身对输入噪声非常敏感。
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所以：稳定性 ≠ 精度保证；稳定性只是确保你不会因为数值方法“雪上加霜”
7.迭代算法的收敛速度
算法的收敛速度
p阶准确度
8.算法的计算性能
