一个冷门算法——Floyd判圈算法在Leetcode中的应用

题目

给定一个包含 n + 1 个整数的数组 nums ，其数字都在 [1, n] 范围内（包括 1 和 n），可知至少存在一个重复的整数。假设 nums 只有 一个重复的整数 ，返回 这个重复的数 。你设计的解决方案必须 不修改 数组 nums 且只用常量级 O(1) 的额外空间。示例 1：输入：nums = [1,3,4,2,2]
输出：2
示例 2：输入：nums = [3,1,3,4,2]
输出：3
示例 3 :输入：nums = [3,3,3,3,3]
输出：3

先搬上我的解法——人类的记忆机制。

人类的记忆机制

最自然的想法就是一个一个地去看，从左往右，第一个开始，然后看看以前出现过的元素我见过没。圈起来的应该不算额外的空间复杂度开支吧？（我只是把我见过的元素给圈起来了而已，反而是Python的索引其实是有机制会导致额外的时空复杂度开支）

class Solution:def findDuplicate(self, nums: List[int]) -> int:mem = set()for i,j in enumerate(nums):if j in mem:return jmem.add(j)

我看到一个题解很有意思，顺便学了一下Algorithms书里面不会提到的一些算法。首先我用非常数学的办法分析了一下这个题目的特征。

等价类的划分

这题有一些特征：

1. nums长n+1，这意味着其索引的范围是[0,n]
2. nums中元素的范围则是[1,n]，被[0,n]完全包含

这就意味着可以把nums中的元素拿出来抽“索引”。现在定义一个函数$f$：
$$f(x)=\text{nums}[x],x\in \text{nums}$$
这就定义了一个nums上的自我变换。
明显这个从nums到nums的变换不是一个双射，至少第一个元素没有任何原像可以映射到它，因此$f(x)$的值域一定是其定义域的真子集。nums中只有一个数字是重复的，很明显就是因为这个重复的数字导致了$f$不是双射。我们回顾一下没有重复数字的情况。这种情况下，可以定义nums上的全排列，根据抽象代数的基本知识可知，全排列中的每一个数字都属于某个循环群，这些循环群是全排列对应集合的一个分割。现在我们缩小目光，只考虑$f$在其值域上的限制。$f$在其值域上的限制如果是个满射，一定是个单射，因此是双射，形成值域内的全排列。所以，$f$在其值域上的限制内一定会有循环群（但是未必分割这个值域），如果路径到了循环群，路径可以建模成一个只有一个环的链表。

我们知道从nums[0]出发，肯定是在上述的循环群外面出发。

然后再进入这个循环群。那么这时场景就可以建模成为带有一个环的链表。

龟兔赛跑算法及其在本题上的证明

这是一个在链表上的算法，又称Floyd判圈算法。通过等价类的划分，我们已经知道关于圈一些基本事实，以及为什么可以建模成为带一个环的链表（设这个环的长度为n），那么接下来，就介绍一下这个龟兔赛跑算法。

该算法用了一快一慢两个指针，快指针的速度是2，慢指针的速度则是1。第一步，将两个指针都置于链表的起点。然后，Run起来！

我们标注一下慢指针踏入环的瞬间，不妨标记此时慢指针已经走了l步（但是我们并不知道这个l是多少）。现在按照顺序给环标号，比如慢指针进来的地方是0。显然，这个时刻快指针一定是在环内的。设这个时刻，此时快指针比慢指针在环中快m步（m<n），那么这个时候快指针在环中的位置就是m。我们稍稍看看这个m是多少。如果不考虑环的效应，快指针原来应该领先慢指针l步，现在考虑环的效应，那么有l%n=m。
因为快指针的速度是2，慢指针的速度是1，二者同向，那么速度差为1。慢指针每走一步，快指针与慢指针的距离就会增加1。我们是在环中计算的，这个增加有上限，当增加到n的时候，就是两个指针碰面的时刻。所以，不论原来的m是多少，两个指针一定会碰面。所以，两个指针在环中标号为n-m的地方碰面（快指针在m+2(n-m)%n=n-m的位置）。

下面这个算法要找入口。现在这俩指针的位置一样，把快指针的速度降为1，然后放到链表的起点。原来的慢指针不动。现在继续让它们跑起来。

显然，接下来它们都需要走l步。Floyd判圈算法神奇的地方在于，这时候这两个指针会相遇。让我们验证一下这个结论。圈里的指针位于n-m+l处，而圈外指针走了l步后到达0处。神奇的是(n-m+l)%n=(n+l-m)%n=(n+kn+m-m)%n=0。这就意味着两个指针是相遇的！指针的位置，就是环入口（在环里）的位置。这个值，恰好就是重复的那个数字。

class Solution:def findDuplicate(self, nums: List[int]) -> int:slow = nums[0]fast = nums[0]fast = nums[nums[fast]]slow = nums[slow]while fast!=slow:fast = nums[nums[fast]]slow = nums[slow]fast = nums[0]while fast!=slow:fast = nums[fast]slow = nums[slow]return fast