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【数据结构】二叉树的概念

news 2025/9/15 6:40:07

01 概念

定义：二叉树既然叫二叉树，顾名思义即度最大为2的树称为二叉树。它的度可以为 1 也可以为 0，但是度最大为 2 。

一颗二叉树是节点的一个有限集合，该集合：

① 由一个根节点加上两棵被称为左子树和右子树的二叉树组成

② 或者为空

观察上图我们可以得出如下结论：

① 二叉树不存在度大于 2 的节点，换言之二叉树最多也只能有两个孩子。

② 二叉树的子树有左右之分，分别为左孩子和右孩子。次序不可颠倒，因此二叉树是有序树。

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

02 满二叉树

定义：一个二叉树，如果每一层的结点数都达到了最大值（均为2），则这个二叉树就可以被称作为 "满二叉树" 。

换言之，如果一个二叉树的层数为 h，且总结点数为 2的 h 次方 - 1，那么它就是一个满二叉树。

计算公式：

① 已知层数求总数： $N = 2^h-1$

② 已知总数求层数： $h = log_2(N+1)$

03 完全二叉树

定义：对于深度为 h 的，有 n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 h 的满二叉树中编号从 1 至 n 的结点一一对应时称之为完全二叉树。

前 h - 1 层是满的，最后一层不满，但最后一层从左到右是连续的。

完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。所以，满二叉树是一种特殊的完全二叉树（每一层节点均为2）。

常识：

① 完全二叉树中，度为 1 的最多只有 1 个。

② 高度为 $h$ 的完全二叉树节点范围是 $[ 2^{h-1} - 1 + 1, 2^{h} - 1 ]$

04 二叉树的性质

四点规则：

① 若规定根节点的层数为 1 ，则一颗非空二叉树的第 i 层上最多有 2 的 i - 1 次方个节点。

② 若规定根节点的层数为 1 ，则深度为 h 的二叉树最大节点数是 2 的 h 次方 - 1。

③ 对任何一棵二叉树，如果度为 0 其叶子结点个数为 n0，度为 2 的分支节点个数为 n2，则有n0 = n2 + 1。换言之，度为 0 的永远比度为 2 的多一个叶子结点。

假设二叉树有 n 个结点，从总结点数角度考虑：n = n0 + n1 + n2，从边的角度考虑，n 个结点的任意二叉树，总共有 n - 1 条边。因为度为 0 的结点没有孩子，故度为 0 的结点不产生边; 度为 1 的结点只有一个孩子，故每个度为 1 的结点产生一条边; 度为 2 的结点有 2 个孩子，故每个度为 2 的结点产生两条边，所以总边数为： n1+2*n2，故从边的角度考虑：n - 1 = n1 + 2*n2， n0 + n1 + n2 = n1 + 2*n2 - 1，即：n0 = n2 + 1

④ 若规定根节点的层数为 1 ，具有 n 个节点的满二叉树的深度 h = log（n + 1）。

对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

1. 若 i > 0，i 位置节点的双亲序号：(i - 1) / 2；i = 0，i 为根节点编号，无双亲节点。

2. 若2i + 1 < n，左孩子序号：2i + 1，2i + 1 >= n否则无左孩子。

3. 若2i + 2 < n，右孩子序号：2i + 2，2i + 2 >= n否则无右孩子。

05 二叉树的存储

1 数组存储

一般情况下使用数组来存储，只适合完全二叉树。

如果是非完全二叉树，会造成空间上的浪费。

2 链式存储

typedef struct BinaryTreeNode
{struct BinTreeNode* left; // 左孩子struct BinTreeNode* right; // 右孩子DataType data; // 当前节点值域
}BTree;

06 二叉树的遍历

二叉树的遍历一般有四种方法：前序遍历，中序遍历，后序遍历，层序遍历。

1 前序遍历

先遍历根节点，再依次遍历左子树，右子树。而遍历左子树，又要先遍历根节点，再依次遍历左子树，右子树…直至遍历到空树。

// 递归实现
void PreOrder(BTree*root)
{if (root == NULL)return;printf("%d ", root->data);//根节点PreOrder(root->left);//左子树PreOrder(root->right);//右子树
}

2 中序遍历

先遍历左子树，再依次遍历根节点，右子树。而遍历左子树，又要先遍历左子树，再依次遍历根节点，右子树…直至遍历到空树。

// 递归实现
void Inorder(BTree*root)
{if (root == NULL)return;PreOrder(root->left);//左子树printf("%d ", root->data);//根节点PreOrder(root->right);//右子树
}

3 后序遍历

先遍历左子树，再依次遍历右子树，根节点。而遍历左子树，又要先遍历左子树，再依次遍历右子树，根节点…直至遍历到空树。

// 递归实现
void Postorder(BTree*root)
{if (root == NULL)return;PreOrder(root->left);//左子树PreOrder(root->right);//右子树printf("%d ", root->data);//根节点
}

4 层序遍历

层序遍历顾名思义就是一层一层地遍历，这时就需要借助一个数据结构：队列来辅助实现。

void leverOrder(BTree* root, Queue* pq)
{if (root == NULL)return;QueuePush(pq, root);//插入第一个节点while (!QueueEmpty(pq))//队列不为空{BTree* p = QueueFront(pq);printf("%d ", p->val);QueuePop(pq);if (p->left != NULL)//带入左孩子{QueuePush(pq, p->left);}if (p->right != NULL)//带入右孩子{QueuePush(pq, p->right);}}
}