全排列问题深度解析：用 Python 玩转 DFS 回溯与迭代

全排列问题深度解析：用 Python 玩转 DFS 回溯与迭代

全排列是算法领域中 “组合搜索” 类问题的经典代表，其核心是找到一个集合中所有元素的不同排列方式（如集合[1,2,3]的全排列包含[1,2,3]、[1,3,2]等 6 种情况）。无论是面试中的算法题，还是实际开发中的 “排列组合生成” 场景（如密码枚举、测试用例生成），全排列都有着广泛应用。本文将以 Python 为工具，从基础到进阶，带你吃透全排列问题的解法。

一、全排列问题的定义与核心难点

1. 问题定义

给定一个不含重复元素（或含重复元素）的整数数组nums，返回该数组所有可能的全排列，要求每个排列中的元素不重复且使用次数与原数组一致。

示例 1（无重复元素）：

• 输入：nums = [1,2,3]

• 输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

示例 2（有重复元素）：

• 输入：nums = [1,1,2]

• 输出：[[1,1,2],[1,2,1],[2,1,1]]（需去重）

2. 核心难点

• 不重复选择：每个元素在单个排列中只能使用一次（需标记已选元素）；

• 不重复排列：若数组含重复元素，需避免生成相同的排列（需去重逻辑）；

• 穷举所有可能：需遍历所有元素的组合方式，确保无遗漏。

二、基础解法：DFS 回溯（无重复元素）

全排列的本质是 “逐步选择元素，直到选完所有元素”，这一过程天然契合 DFS“深度优先、回溯探索” 的逻辑 —— 先选第一个元素，再从剩余元素中选第二个，以此类推，直到选完所有元素（得到一个排列），再回溯到上一步换另一个元素继续探索。

1. 解题思路

1. 选择与标记：用path存储当前正在构建的排列，用visited数组标记元素是否已被选中（True表示已选，False表示未选）；

2. 终止条件：当path的长度等于nums的长度时，说明已选完所有元素，将path加入结果集；

3. 回溯探索：遍历nums中所有未被选中的元素，将其加入path并标记为已选，递归探索下一个元素；递归结束后，撤销选择（从path中移除该元素，标记为未选），继续遍历下一个元素。

2. Python 代码实现

def permute(nums):​"""​# 终止条件：当前路径长度等于数组长度，说明已生成一个全排列​if len(path) == n:​result.append(path.copy())  # 注意：需拷贝path，避免后续修改影响结果​return​​# 遍历所有元素，选择未被选中的元素加入路径​for i in range(n):​if not visited[i]:  # 只处理未被选中的元素​# 1. 做出选择：将元素加入路径，标记为已选​path.append(nums[i])​visited[i] = True​​# 2. 递归探索下一个元素​dfs(path)​​# 3. 撤销选择（回溯）：从路径中移除元素，标记为未选​path.pop()​visited[i] = False​​# 从空路径开始探索​dfs([])​return result​
​
# 测试示例1​
nums1 = [1,2,3]​
print("无重复元素全排列：", permute(nums1))​
# 输出：[[1,2,3],[1,3,2],[2,1,3],[2,3,1],[3,1,2],[3,2,1]]

3. 代码解析

• visited数组：避免同一排列中重复选择同一个元素（如[1,1,2]这种无效排列）；

• path.copy()：由于列表是引用类型，直接append(path)会导致后续修改path时，结果集中的元素也被修改，因此需拷贝当前路径；

• 回溯步骤：path.pop()和visited[i] = False是核心，确保递归返回后，能回到上一步的状态，继续探索其他可能的选择。

三、进阶解法：DFS 回溯（含重复元素，需去重）

当数组含重复元素时（如[1,1,2]），直接使用上述方法会生成重复排列（如[1,1,2]会出现多次）。此时需在回溯过程中加入 “去重逻辑”，核心思路是：排序后，跳过与前一个元素相同且前一个元素未被选中的情况。

1. 去重原理

1. 先排序：将nums排序，使相同元素相邻（如[1,1,2]排序后仍为[1,1,2]）；

2. 跳过重复：遍历元素时，若当前元素与前一个元素相同，且前一个元素未被选中（说明前一个元素已作为相同选项被探索过），则跳过当前元素，避免重复排列。

2. Python 代码实现

def permute_unique(nums):​"""​DFS回溯实现含重复元素的全排列（去重）​nums: 可能含重复元素的整数数组​返回：所有不重复的全排列（list of list）​"""​n = len(nums)​result = []​visited = [False] * n​# 关键步骤1：先排序，使相同元素相邻​nums.sort()​​def dfs(path):​if len(path) == n:​result.append(path.copy())​return​​for i in range(n):​if visited[i]:​continue  # 跳过已选中的元素​​# 关键步骤2：去重逻辑​# 若当前元素与前一个元素相同，且前一个元素未被选中，说明已探索过该情况，跳过​if i > 0 and nums[i] == nums[i-1] and not visited[i-1]:​continue​​# 做出选择​path.append(nums[i])​visited[i] = True​​# 递归探索​dfs(path)​​# 撤销选择（回溯）​
print("含重复元素全排列（去重）：", permute_unique(nums2))​
# 输出：[[1,1,2],[1,2,1],[2,1,1]]

3. 去重逻辑解析

• i > 0 and nums[i] == nums[i-1]：确保当前元素与前一个元素相同；

• not visited[i-1]：前一个元素未被选中，说明前一个元素已作为 “相同选项” 被探索过（例如，第一个1未被选中时，第二个1的选择会和第一个1的选择重复），因此跳过当前元素。

四、补充解法：迭代法（非递归，模拟 DFS）

除了递归回溯，还可以用迭代法实现全排列，核心思路是用栈模拟 DFS 的递归过程，栈中存储 “当前路径” 和 “已选元素标记”，逐步构建所有排列。

1. 解题思路

1. 初始化栈：栈中每个元素是(当前路径, 已选元素标记)，初始时将(空路径, 全False标记)入栈；

2. 迭代处理：弹出栈顶元素，若当前路径长度等于数组长度，加入结果集；否则，遍历所有未被选中的元素，将新路径和新标记入栈；

3. 生成排列：重复步骤 2，直到栈为空，此时已生成所有排列。

2. Python 代码实现

def permute_iterative(nums):​"""​迭代法实现无重复元素的全排列（模拟DFS）​nums: 不含重复元素的整数数组​返回：所有可能的全排列（list of list）​"""​n = len(nums)​result = []​# 初始化栈：每个元素是(当前路径, 已选元素标记)，初始为(空路径, 全False标记)​stack = [([], [False] * n)]​​while stack:​path, visited = stack.pop()  # 弹出栈顶元素（模拟DFS的“深度优先”）​​# 终止条件：路径长度等于数组长度，加入结果集​if len(path) == n:​result.append(path)​continue​​
nums3 = [1,2]​
print("迭代法全排列：", permute_iterative(nums3))  # 输出：[[2,1],[1,2]]

3. 迭代法特点

• 无递归栈溢出风险：递归法在数组长度较大时（如n>1000）会因递归深度过大导致栈溢出，迭代法可避免此问题；

• 逻辑直观：直接模拟 DFS 的探索过程，每个栈元素对应一个 “探索状态”，适合理解回溯的本质；

• 顺序差异：由于栈是 “先进后出”，迭代法生成的排列顺序与递归法可能不同（如[1,2]的迭代结果是[[2,1],[1,2]]，递归结果是[[1,2],[2,1]]），但均为有效排列。

五、算法复杂度分析

无论是递归回溯还是迭代法，全排列问题的复杂度主要由 “排列总数” 决定：

算法	时间复杂度	空间复杂度	说明
DFS 回溯（无重复）	O(n×n!)	O(n)	时间：生成 n! 个排列，每个排列需 O (n) 时间拷贝；空间：递归栈深度 O (n) + visited 数组 O (n)
DFS 回溯（含重复）	O(n×n!)	O(n)	时间上限仍为 O (n×n!)（去重仅减少实际操作次数，不改变上限）；空间与无重复情况一致
迭代法	O(n×n!)	O(n×n!)	时间与回溯法一致；空间：栈中最多存储 n! 个状态，每个状态需 O (n) 空间（路径 + 标记）

六、总结与实际应用建议

1. 方法选择：

• 若数组无重复元素，优先用递归 DFS（代码简洁，易于理解）；

• 若数组含重复元素，需在递归 DFS 中加入排序 + 去重逻辑；

• 若数组长度较大（如n>20），建议用迭代法（避免递归栈溢出）。

1. 核心思想提炼：

   全排列的本质是 “穷举所有选择组合”，DFS 回溯是解决这类问题的通用思路 —— 通过 “选择 - 探索 - 撤销选择” 的循环，遍历所有可能的状态，而 “标记已选元素” 和 “去重” 是确保结果正确性的关键。

2. 扩展应用：

   全排列的解题思路可迁移到其他组合搜索问题，如 “子集生成”“组合总和”“字母大小写全排列” 等，只需根据问题需求调整 “终止条件” 和 “选择逻辑” 即可。

建议大家动手修改代码中的nums数组（如[1,2,3,4]、[2,2,3,3]），观察不同场景下的运行结果，进一步加深对全排列逻辑的理解。