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【LeetCode 每日一题】3446. 按对角线进行矩阵排序——（解法一）分组 - 排序 - 重建

news 2025/9/14 9:30:21

Problem: 3446. 按对角线进行矩阵排序

文章目录

整体思路
完整代码
时空复杂度
- 时间复杂度：O(N^3)
- 空间复杂度：O(N^2)

整体思路

这段代码旨在解决一个非常特殊的矩阵排序问题：对一个 n x n 的方阵 grid，将其主对角线方向（从左上到右下）的每一条对角线上的元素进行排序，然后用排序后的元素重构矩阵。排序规则是：主对角线（从 (0,0) 到 (n-1,n-1)）及其下方的所有对角线按降序排序，而主对角线上方的所有对角线按升序排序。

算法采用了一种分步处理的策略：分组 -> 排序 -> 重建。

第一步：按对角线分组
- 算法的核心是识别出哪些元素属于同一条对角线。它利用了一个数学特性：对于同一条主对角线方向的对角线上的任意元素 (i, j)，它们的行索引和列索引之差 i - j 是一个常数。
- 代码通过 int p = i - j + n - 1; 这个公式将每个 (i, j) 映射到一个对角线索引 p。
  - i - j 的范围是 -(n-1) 到 n-1。
  - 加上 n-1 这个偏移量，使得索引 p 的范围变为 0 到 2n-2，这正好对应了矩阵中 2n-1 条不同的对角线，方便地用作列表的索引。
- 一个 List<List<Integer>> dia 被用来存储分组结果，dia.get(p) 就是第 p 条对角线上的所有元素。
第二步：对每条对角线进行排序
- 算法遍历每一条对角线（即 dia 中的每一个列表）。
- 它根据对角线的索引 i (也就是 p) 来决定排序规则：
  - 主对角线对应的索引是 p = (i - i) + n - 1 = n - 1。
  - 升序排序：如果 i < n - 1，说明这是主对角线上方的对角线，使用 (a, b) -> a - b 进行升序排序。
  - 降序排序：如果 i >= n - 1，说明这是主对角线或其下方的对角线，使用 (a, b) -> b - a 进行降序排序。
第三步：重建排序后的矩阵
- 最后，算法再次遍历 n x n 矩阵的每一个位置 (i, j)。
- 对于每个位置，它再次使用 p = i - j + n - 1 计算出其所属的对角线索引。
- 然后，它从 dia.get(p) 这个已排序的列表中取出第一个元素（get(0)），并将其放入新矩阵 ans[i][j] 的相应位置。
- 为了确保下一次访问同一条对角线时能取到下一个正确的元素，它将刚刚用过的元素从列表中移除（remove(0)）。

完整代码

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;class Solution {/*** 对矩阵的对角线进行特殊排序。* 主对角线上方的对角线升序排序，主对角线及下方的对角线降序排序。* @param grid 输入的 n x n 方阵* @return 排序后的新矩阵*/public int[][] sortMatrix(int[][] grid) {int n = grid.length;int[][] ans = new int[n][n];// dia: 用于存储按对角线分组的元素List<List<Integer>> dia = new ArrayList<>();// 一个 n x n 矩阵共有 2n-1 条主对角线方向的对角线for (int i = 0; i < 2 * n - 1; i++) {dia.add(new ArrayList<>());}// 步骤 1: 遍历原矩阵，将元素按对角线分组for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {// 关键公式：i - j 对于同一条对角线是常数。// + (n - 1) 是为了将索引映射到 [0, 2n-2] 的非负区间。int p = i - j + n - 1;dia.get(p).add(grid[i][j]);}}// 步骤 2: 遍历所有对角线列表，并根据规则进行排序for (int i = 0; i < 2 * n - 1; i++) {// 主对角线的索引是 n-1。// i < n-1 表示是主对角线上方的对角线if (i < n - 1) {dia.get(i).sort((a, b) -> a - b); // 升序} else { // 主对角线及下方的对角线dia.get(i).sort((a, b) -> b - a); // 降序}}// 步骤 3: 遍历新矩阵的位置，从排好序的对角线列表中取值填充for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = 0; j < n; j++) {// 再次计算位置 (i, j) 对应的对角线索引 pint p = i - j + n - 1;// 从对角线 p 的列表中取出第一个元素ans[i][j] = dia.get(p).get(0);// 【效率瓶颈】将用过的元素从列表头部移除dia.get(p).remove(0); }}return ans;}
}

时空复杂度

时间复杂度：O(N^3)

分组循环：第一个嵌套 for 循环遍历 N x N 矩阵一次，内部操作为 O(1)。总时间为 O(N^2)。
排序循环：
- 外层循环执行 2N-1 次。
- 内层是对每个对角线列表进行排序。设第 i 条对角线的长度为 L_i，排序时间为 O(L_i log L_i)。
- 所有对角线的总元素数 Σ L_i = N^2。最长的对角线有 N 个元素。
- 总排序时间为 Σ O(L_i log L_i)，其上界为 O(N^2 log N)。
重建循环：
- 第三个嵌套 for 循环遍历 N x N 矩阵一次。
- 关键瓶颈：循环内部的 dia.get(p).remove(0) 操作。对于 ArrayList，从头部移除一个元素的时间复杂度是 O(L)，其中 L 是列表的当前长度，因为需要将后续所有元素向前移动一位。
- 考虑一条长度为 L 的对角线，在重建过程中，会依次执行 remove(0) 共 L 次。总操作数约为 L + (L-1) + ... + 1，即 O(L^2)。
- 由于最长的对角线长度为 N，仅处理这条对角线就需要 O(N^2) 的时间。而所有对角线长度的平方和 Σ L_i^2 大致是 O(N^3) 级别。因此，重建这一步的时间复杂度是 O(N^3)。