Java优选算法——二分查找

二分查找常用于在有序数组中查找符合条件的元素。

实际上，即使数组不是有序的，但具有“二段性”则也能使用二分查找算法来求解。

对于二分查找算法，有三个模版，分别在以下的一、二题中体现：

1.朴素的二分查找模板：

 while(left<=right){int mid=left+(right-left)/2;int x=nums[mid];if(target<x){right=mid-1;}else if(target>x){left=mid+1;}else{return mid;}}

2.查找左边界的二分模板：

 while(left<right){//不能等于，否则可能会死循环//定义中点int mid=left+(right-left)/2;int x=nums[mid];//求左边界，就以target的左边界将数组划分为＞=target和＜target两个部分if(x>=target){right=mid;}else{left=mid+1;}}

3.查找右边界的二分查找：

while(left<right){//不能等于，否则可能会死循环//定义中点int mid=left+(right-left+1)/2;int x=nums[mid];//求右边界，就以target的右边界将数组划分为＜=target和＞target两个部分if(x＜=target){left=mid;}else{right=mid-1;}}

一、二分查找

题目链接：https://leetcode.cn/problems/binary-search/

题目：

给定一个 n 个元素有序的（升序）整型数组 nums 和一个目标值 target ，写一个函数搜索 nums 中的 target，如果 target 存在返回下标，否则返回 -1。

你必须编写一个具有 O (log n) 时间复杂度的算法。

示例 1:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 9
输出: 4
解释: 9 出现在 nums 中并且下标为 4

示例 2:
输入: nums = [-1,0,3,5,9,12], target = 2
输出: -1
解释: 2 不存在 nums 中因此返回 -1

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思路：

在数组nums中，用left和right来指向数组的左右两边，mid=left+(right-left)/2为中间值。

因为数组是有序数组，每次我们把mid对应的元素于target进行比较，如果mid元素大于target，则舍去右边区间使right=mid-1；

如果mid元素小于target则舍去左边区间使left=mid+1；

这样每次查找都能将数组的范围缩小一半，直到mid元素等于target，就返回mid。

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代码及结果：

class Solution {public int search(int[] nums, int target) {int left=0,right=nums.length-1;while(left<=right){int mid=left+(right-left)/2;int x=nums[mid];if(target<x){right=mid-1;}else if(target>x){left=mid+1;}else{return mid;}}return -1;}
}

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二、在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置

题目链接：https://leetcode.cn/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array/

题目：

给你一个按照非递减顺序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。请你找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。

如果数组中不存在目标值 target，返回 [-1, -1]。

你必须设计并实现时间复杂度为 O (log n) 的算法解决此问题。

 

示例 1:
输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 8
输出: [3,4]

 

示例 2:
输入: nums = [5,7,7,8,8,10], target = 6
输出: [-1,-1]

 

示例 3:
输入: nums = [], target = 0
输出: [-1,-1]

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思路：

大体上将这道题分为两个步骤解决：

1.求出其符合条件的左边界

对于求解左边界：在这个数组中，也是具有“二段性”的，可以将其划分为两部分。

⭐️求左边界就从左边界划分，将数组划分为：＜target和＞=target的两部分

nums[mid]<target：left=mid+1；

nums[mid]>=target：right=mid；注意：这里right不能为mid-1，因为此时mid对应元素可能就是target的左边界，如果-1就越界了；

❓因为满足条件时，right被赋值为mid，于是就引出了两个细节问题：

1. 循环条件不能是left＜=right了，因为当left==right进入判断后，此时left==right==mid，会在right=mid处发生死循环。
2. 求中点的操作不是mid=left+(right-left+1)/2（靠右的中点），而是mid=left+(right-left)/2（靠左的中点）。如果只有两个数left和right时，mid是靠右的 等于right，依然会在right=mid处死循环。

2.求出其符合条件的右边界。

同上。

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代码及结果：

class Solution {public int[] searchRange(int[] nums, int target) {int[]ret=new int[2];ret[0]=ret[1]=-1;if(nums.length==0){return ret;}if(nums==null){return ret;}//初始步骤int left=0,right= nums.length-1;//求左端点while(left<right){//不能等于，否则可能会死循环//定义中点int mid=left+(right-left)/2;int x=nums[mid];//判断,以mid为界重新划分if(x>=target){right=mid;}else{left=mid+1;}}//放入数组retif(nums[left]==target){ret[0]=left;}//求右端点left=0;right= nums.length-1;while(left<right){int mid=left+(right-left+1)/2;int x=nums[mid];if(x<=target){left=mid;}else{right=mid-1;}}//放入数组retif(nums[left]==target){ret[1]=left;}return ret;}}

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三、搜索插入位置

题目链接：https://leetcode.cn/problems/search-insert-position/

题目：

给定一个排序数组和一个目标值，在数组中找到目标值，并返回其索引。如果目标值不存在于数组中，返回它将会被按顺序插入的位置。

请必须使用时间复杂度为 O (log n) 的算法。

示例 1:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 5
输出: 2

示例 2:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 2
输出: 1

示例 3:
输入: nums = [1,3,5,6], target = 7
输出: 4

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思路：

这道题显然不能使用朴素的二分算法求解。

题目给出的target可能在nums中找不到，于是可以将nums划分为＜target和＞=target两部分。

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代码及结果：

class Solution {public int searchInsert(int[] nums, int target) {//初始int left=0,right=nums.length-1;//开始循环while(left<right){//设置中点int mid=left+(right-left)/2;int x=nums[mid];//判断if(x>=target){right=mid;}else{left=mid+1;}}if(nums[left]<target) return left+1;return left;}
}

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四、X的平方根

题目链接：https://leetcode.cn/problems/sqrtx/

题目：

给你一个非负整数 x，计算并返回 x 的算术平方根。

由于返回类型是整数，结果只保留整数部分，小数部分将被舍去。

注意：不允许使用任何内置指数函数和算符，例如 pow (x, 0.5) 或者 x ** 0.5。

 

示例 1：
输入：x = 4
输出：2

 

示例 2：
输入：x = 8
输出：2
解释：8 的算术平方根是 2.82842...，由于返回类型是整数，小数部分将被舍去。

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思路：

假设有一个从1到x的升序数组nums，我们只需要拿mid遍历到的数的平方与x做比较，实现二分查找即可。

这里举一个例子：假设输入的x=8，那么正确的答案应该是2.

如果划分的区间是>=2和<2，那在第一个区间里，2～2.8的部分是不符合条件的。

因此划分的区间应该是<=2和>2。

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代码及结果：

class Solution {public int mySqrt(int x) {if(x<1) return 0;//初始化long left=1,right=x;//循环while(left<right){//设置中点long mid=left+(right-left+1)/2;long n=(long)mid*mid;if(n<=x){left=mid;}else{right=mid-1;}}return (int)left;}
}

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五、山脉数组的峰顶索引

题目链接：https://leetcode.cn/problems/peak-index-in-a-mountain-array/

题目：

给定一个长度为 n 的整数山脉数组 arr，其中的值递增到一个峰值元素然后递减。

返回峰值元素的下标。

你必须设计并实现时间复杂度为 O (log (n)) 的解决方案。

 

示例 1:
输入: arr = [0,1,0]
输出: 1

 

示例 2:
输入: arr = [0,2,1,0]
输出: 1

 

示例 3:
输入: arr = [0,10,5,2]
输出: 1

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思路：

可以根据二段性将数组划分为两个部分：

1. arr[mid-1]<arr[mid]-->left=mid
2. arr[mid-1]>arr[mid]-->right=mid-1

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代码及结果：

class Solution {public int peakIndexInMountainArray(int[] arr) {int left=1,right=arr.length-2;//循环while(left<right){//设置中点int mid=left+(right-left+1)/2;//判断if(arr[mid-1]<arr[mid]){left=mid;}else{right=mid-1;}}return left;}}

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六、寻找峰值

题目链接：https://leetcode.cn/problems/find-peak-element/

题目：

峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。

给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回任何一个峰值所在位置即可。

你可以假设 nums [-1] = nums [n] = -∞。

你必须实现时间复杂度为 O (log n) 的算法来解决此问题。

示例 1:
输入: nums = [1,2,3,1]
输出: 2
解释: 3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。

示例 2:
输入: nums = [1,2,1,3,5,6,4]
输出: 1 或 5
解释：你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；或者返回索引 5，其峰值元素为 6。

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思路：

题目中给出的数组可能会有多个符合条件的峰值，但是只需给出一种即可。

这个数组依然具有二段性：

对于一个arr[mid]：

• 如果有arr[mid]>arr[mid+1]，则说明这里是降序的，那么它的左边必定有一个峰值，那就往左边寻找，right=mid；
• 如果有arr[mid]<arr[mid+1]，则说明这里是升序的，那么它的右边必定有一个峰值，那就往右边寻找，left=mid+1；

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代码及结果：

class Solution {public int findPeakElement(int[] nums) {if(nums.length==0||nums.length==1) return 0;//初始(要考虑边界)int left=0,right=nums.length-1;//循环while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(nums[mid]<nums[mid+1]){left=mid+1;}else{right=mid;}}return left;}
}

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七、寻找旋转排序数组中的最小值

题目链接：https://leetcode.cn/problems/find-minimum-in-rotated-sorted-array/

题目：

已知一个长度为 n 的数组，预先按照升序排列，经由 1 到 n 次旋转后，得到输入数组。例如，原数组 nums = [0,1,2,4,5,6,7] 在变化后可能得到：

 

• 若旋转 4 次，则可以得到 [4,5,6,7,0,1,2]
• 若旋转 7 次，则可以得到 [0,1,2,4,5,6,7]

 

注意，数组 [a [0], a [1], a [2], ..., a [n-1]] 旋转一次的结果为数组 [a [n-1], a [0], a [1], a [2], ..., a [n-2]]。

 

给你一个元素值互不相同的数组 nums，它原来是一个升序排列的数组，并按上述情形进行了多次旋转。请你找出并返回数组中的最小元素。

你必须设计一个时间复杂度为 O (log n) 的算法解决此问题。

 

示例 1:
输入: nums = [3,4,5,1,2]
输出: 1
解释：原数组为 [1,2,3,4,5]，旋转 3 次得到输入数组。

 

示例 2:
输入: nums = [4,5,6,7,0,1,2]
输出: 0
解释：原数组为 [0,1,2,4,5,6,7]，旋转 4 次得到输入数组。

 

示例 3:
输入: nums = [11,13,15,17]
输出: 11
解释：原数组为 [11,13,15,17]，旋转 4 次得到输入数组。

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思路：

这道题类似于寻找峰值，画图如下：

根据二段性：

• arr[mid]>arr[n-1]：left=mid+1；
• arr[mid]<arr[n-1]：right=mid；

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代码及结果：

class Solution {public int findMin(int[] nums) {//初始化int left=0,right= nums.length-1;//循环while(left<right){//设置中点int mid=left+(right-left)/2;//判断if(nums[mid]>nums[nums.length-1]){left=mid+1;}else{right=mid;}}return nums[left];}}

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八、点名

题目链接：https://leetcode.cn/problems/que-shi-de-shu-zi-lcof/

题目：

某班级 n 位同学的学号为 0 ~ n-1。点名结果记录于升序数组 records。假定仅有一位同学缺席，请返回他的学号。

 

示例 1：
输入：records = [0,1,2,3,5]
输出：4

 

示例 2：
输入：records = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8]
输出：7

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思路：

这道题具有二段性：

• arr[mid]=mid：left=mid+1；
• arr[mid]!=mid：right=mid；

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代码及结果：

class Solution {public int takeAttendance(int[] records) {int left=0,right=records.length-1;while(left<right){int mid=left+(right-left)/2;if(mid==records[mid]){left=mid+1;}else{right=mid;}}return records[left]==left?left+1:left;}
}

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