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【非对称密码算法“克星”】Shor 算法如何撬动互联网安全根基

news 2025/9/11 9:49:25

想象一个场景：你面前有一把保护着网银密码、支付信息的 “超级密码锁”—— 这把锁的核心是一个超大数字（比如 2048 位长），而开锁的 “钥匙”，就是把这个大数字拆成两个质数的乘积（质因数分解）。

如果用传统计算机 “开锁”，就像你手里有一麻袋钥匙，每把钥匙只能试一次：你得从第一把开始，挨个插入锁孔、转动、失败，再试下一把…… 哪怕钥匙数量比全宇宙的原子还多，也只能硬着头皮试，可能算到人类文明终结都开不了锁。

但如果换用量子计算机搭配 Shor 算法，情况就完全变了：你不用再试钥匙，而是拿出一个 “锁芯透视镜”—— 只需观察锁芯里齿轮的转动规律（对应 Shor 算法找 “函数周期”），就能瞬间算出哪两把钥匙能配对开锁。这就是 Shor 算法的颠覆性：它把传统计算机 “不可能完成的任务”，变成了 “一步到位的规律寻找”，直接动摇了我们现在互联网安全的根基。

当你在手机上完成一笔转账、登录加密邮箱，或是在网购时输入支付密码，背后都有一道 “安全屏障” 在守护 —— 非对称加密算法（比如常见的 RSA）。它们的安全感，正来自刚才比喻里 “传统计算机试钥匙太慢” 的事实：把一个极大的整数拆成两个质数的乘积（质因数分解），在传统计算机上几乎不可能完成。但 1994 年，数学家彼得・秀尔（Peter Shor）提出的 Shor 算法，却像刚才那副 “锁芯透视镜”，直接对准了这道屏障的锁芯。这就是我们今天要聊的 ——Shor 算法。

一、Shor 算法：到底是个 “什么神奇玩意儿”？

简单说，Shor 算法是量子计算机的 “专属技能”，核心能力是快速分解超大整数。它的本质是 “把传统计算机搞不定的‘质因数分解’，转化为量子计算机擅长的‘找函数周期’”，整个过程分为 “量子计算核心步骤” 和 “经典计算辅助步骤”，两者配合才能完成分解。

1. 第一步：数学转译 —— 把 “分解大数” 变成 “找周期”

这是 Shor 算法最精妙的一步：不直接对要分解的大数 N 动手，而是先构造一个特殊函数，把 “分解 N” 的问题，转化为 “找这个函数周期” 的问题。

构造函数：任选一个小于 N 的整数 a（比如 N=15 时，选 a=2），构造函数 f(x) = a^x mod N。

这里的 mod 是 “取余运算”，比如 5 mod 3 = 2（5 除以 3 余 2），7 mod 5 = 2。

什么是 “周期”：函数的周期 r 指的是 “最小的正整数”，满足 f(x + r) = f(x) 对所有 x 成立（即函数值每隔 r 就重复一次）。

函数周期示例（以 N=15、a=2 为例）

输入 x	计算过程（2^x mod 15）	输出 f (x)	周期观察
0	2^0 = 1 mod 15	1	-
1	2^1 = 2 mod 15	2	-
2	2^2 = 4 mod 15	4	-
3	2^3 = 8 mod 15	8	-
4	2^4 = 16 mod 15	1	此时 f (4)=f (0)=1，初步推测周期 r=4
5	2^5 = 32 mod 15	2	f (5)=f (1)=2，验证周期 r=4
6	2^6 = 64 mod 15	4	f (6)=f (2)=4，周期确认
7	2^7 = 128 mod 15	8	f (7)=f (3)=8，周期确认

从表中可见，当 N=15、a=2 时，函数 f(x) 的周期 r=4 —— 这就是我们需要量子计算机找的关键值。

2. 第二步：量子并行 “开挂”—— 同时计算所有 f (x)

传统计算机算 f(x) 时，只能 “一个 x 算一次”：算完 x=0 再算 x=1，算完 x=1 再算 x=2，要找周期 r，得算到出现重复值为止。如果 N 是 2048 位的大数，x 的范围会大到 “宇宙年龄都算不完”。

但量子计算机靠 “量子叠加” 特性，能实现 “一次计算所有 x 的 f(x)”：

量子比特的叠加态：1 个量子比特（Qubit）能同时表示 0 和 1 两个状态；2 个量子比特能同时表示 00、01、10、11 四个状态；n 个量子比特能同时表示 2^n 个状态（对应 x=0 到 x=2^n-1）。

并行计算函数值：量子计算机通过 “量子电路” 对这些叠加态的 x 同时应用 f(x) 运算，最终得到的是 “所有 x 对应的 f(x) 叠加态”—— 相当于一次完成了 2^n 次传统计算。

【量子并行 vs 传统计算对比】

3. 第三步：量子傅里叶变换（QFT）—— 从叠加态中 “揪出周期”

量子并行得到的 “f(x) 叠加态” 是 “混沌” 的 —— 我们不能直接测量（一测量就会坍缩到某个随机的 f(x) 值，其他信息全丢），必须用 QFT 把 “周期信息” 从叠加态中提取出来。

QFT 的作用类似 “声波分析仪”：

你听到一段重复的音乐（对应 f(x) 的叠加态），直接听只能知道 “有声音”，但用声波分析仪（对应 QFT）能分析出 “音乐的重复频率”（对应周期 r）。

具体来说，QFT 会对 “f(x) 叠加态” 进行 “量子干涉”，让周期 r 对应的量子态概率大幅提升，再通过 “测量量子比特”，就能以极高概率得到 r 的 “倍数或约数”，再通过简单计算就能确定真正的 r。

【QFT 周期提取原理简化】

4. 第四步：经典计算收尾 —— 用周期 r 分解 N

拿到周期 r 后，剩下的工作就交给传统计算机了，核心是用 “欧几里得算法”（求两个数的最大公约数）计算：

若 r 是偶数，且 a^(r/2) ≠ -1 mod N，则 gcd(a^(r/2) - 1, N) 和 gcd(a^(r/2) + 1, N) 就是 N 的两个质因数（gcd 表示 “最大公约数”）。

【用周期 r 分解 N=15 的具体步骤】

已知条件	N=15，a=2，周期 r=4
第一步	计算 r/2 = 4/2 = 2
第二步	计算 a^(r/2) = 2^2 = 4
第三步	计算 gcd (4 - 1, 15) = gcd (3, 15) = 3
第四步	计算 gcd (4 + 1, 15) = gcd (5, 15) = 5
结果	N=15 的质因数为 3 和 5

至此，Shor 算法完成了对 N=15 的分解 —— 如果 N 是 2048 位的 RSA 密钥，只要量子计算机能找到对应的周期 r，同样能通过这个步骤分解出私钥对应的两个质数。

二、关键澄清：它没 “破解后量子算法”，而是倒逼安全升级

很多人会误以为 “Shor 算法能破解所有加密”，但其实这里有个重要误解：它威胁的是 “现在常用的非对称加密”（比如 RSA、ECC），而 “后量子算法” 恰恰是为了防它才诞生的。

1. 为什么能 “吊打” RSA？—— 釜底抽薪

RSA 加密的核心逻辑是 “公钥可公开，私钥藏起来”：

公钥 = 两个大质数 p 和 q 的乘积（即 N = p×q），可以公开给任何人；

私钥 = p 和 q 本身，只有接收方知道；

加密时，发送方用公钥 N 加密数据；解密时，接收方用私钥 p 和 q 解密 —— 传统计算机无法从 N 反推 p 和 q，所以加密安全。

但 Shor 算法直接破解了这个 “核心难题”：只要能分解 N 得到 p 和 q，私钥就等于 “裸奔”，RSA 加密自然形同虚设。

2. 它不是 “万能杀手”—— 对不同加密的影响差异

Shor 算法的威胁主要针对 “基于数论难题（质因数分解、离散对数）的非对称加密”，对对称加密、哈希函数和后量子算法的影响完全不同。

【Shor 算法对不同加密类型的影响及应对策略】

加密类型	代表算法	受 Shor 算法影响程度	核心应对策略	应用场景举例
非对称加密（当前主流）	RSA、ECC、DSA	致命威胁	必须替换为后量子算法	网银转账、HTTPS 证书
对称加密	AES-128、AES-256	轻微威胁（依赖 Grover 算法）	密钥长度翻倍（如 AES-128→AES-256），成本低	WiFi 加密、硬盘加密
哈希函数	SHA-256、SHA-3	轻微威胁	输出更长的哈希值（如 SHA-256→SHA-512）	文件完整性验证、密码存储
后量子加密（PQC）	CRYSTALS-Kyber、CRYSTALS-Dilithium	无影响	基于格、编码等非数论难题，成为未来安全标准	未来的量子时代通信