三.动态规划算法

动态规划算法

应用场景-背包问题

背包问题：有一个背包，容量为4磅，现有如下物品

物品	重量	价格
吉他(G)	1	1500
音响(s)	4	3000
电脑(L)	3	2000

1)要求达到的目标为装入背包的总价值最大，并且重量不超出

2)要求装入的物品不能重复

动态规划算法介绍

1）动态规划(Dynamic Programming)算法的核心思想是：将大问题划分为小问题进行解决，从而一步一步获取最优解的处理算法

2）动态规划算法与分治算法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解

3）与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。(即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解)

4）动态规划可以通过填表的方式来逐步推进，得到最优解。

动态规划算法解决背包问题

思路分析和图解

1）背包问题主要是指一个给定容量的背包，若干具有一定价值和重量的物品，如何选择物品放入背包使物品的价值最大。其中又分01背包(指的是放的东西不能重复)和完全背包(完全背包指的是：每种物品都有无限件可用)

这里的问题属于01背包，即每个物品最多放一个。而无限背包可以转化为01背包

2）算法的主要思想，利用动态规划来解决。每次遍历到的第i个物品，根据w[i ]和v[i]来确定是否需要将该物品放入背包中。即对于给定的n个物品，设v[i],w[i]分别为第i个物品的价值和重量，C为背包的容量。再令v[i] [j]表示在前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值。

解决类似的问题可以分解成一个个的小问题进行解决，假设存在背包容量大小分为1，2，3，4的各种容量的背包(分配容量的规则为最小重量的整数倍)：

填完表后，得到公式如下：

① v[i,0]=v[0,j]=0 //表示第一行和第一列是0

② 当w[i]>j时：v[i,j]=v[i-1,j] //当准备加入新增的商品的容量大于当前背包的容量时，就直接使用上一个单元格的装入策略。(如果新的商品装不进去，就采用原先的装入策略)

③ 当 j≥w[i]时：v[i,j]=max{ v[i-1,j] , v[i]+ v[i-1,j-w[i]]}

//当准备加入的新增的商品的容量小于等于当前背包的容量(如果新的商品能够装入背包，我要看哪个更大，是原先的策略更大呢，还是我把新加的商品加进去以后再去加上剩余空间对应的最大值，看哪个更大，如果后者大就用后者的方案，如果前者大就用前者的方案)

v[i-1,j]: 就是上一个单元格的装入的最大值

v[i]: 表示当前商品的价值

v[i-1,j-w[i]]：i-1表示装入i-1商品到剩余空间j-w[i]的最大值

v[i]+ v[i-1,j-w[i]]:当前商品的价值加上剩余空间能够装入的最大值

动态规划—背包问题的代码实现

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;namespace dynamic
{class KnapsackProgram{static void Main(string[] args){int[] w = { 1, 4, 3 };   //物品的重量int[] val = { 1500, 3000, 2000};  //物品的价值，这里val[i]就是前面讲的v[i]int m = 4;  //背包的容量int n = val.Length;  //物品的个数//v[i,j]前i个物品中能够装入容量为j的背包中的最大价值int[,] v = new int[n+1,m+1];//为了记录放入商品的情况，我们定一个二维数组int[,] path = new int[n+1,m+1];//初始化第一行和第一列，默认就是0for (int i = 0; i < v.GetLength(0); i++)   {v[i, 0] = 0;  //将第1列设置为0}for (int j = 0; j < v.GetLength(1); j++){v[0, j] = 0;  //将第1行置为0}//根据前面得到的公式来动态规划处理for (int i = 1; i < v.GetLength(0); i++)  {for (int j = 1; j < v.GetLength(1); j++)  {//套公式：if (w[i-1] > j)  //因为我们i是从1开始的，因此原来公式中的w[i]要修改成w[i-1]{v[i, j] = v[i - 1, j];}else{//说明：因为我们的i是从1开始的，所以公式需要调整成// v[i,j]=Math.max(v[i-1,j],val[i-1]+v[i-1,j-w[i-1]]);//v[i, j] = Math.Max(v[i - 1, j], val[i-1] + v[i - 1,j - w[i-1]]); //为了记录存放到背包的情况，我们不能直接使用上面的公式，需要使用if-else来体现公式if(v[i - 1, j]< val[i - 1] + v[i - 1, j - w[i - 1]]){v[i, j] = val[i - 1] + v[i - 1, j - w[i - 1]];//把当前的情况记录到pathpath[i, j] = 1;}else{v[i, j] = v[i - 1, j];}}}}//输出v,看看目前的情况for (int i = 0; i < v.GetLength(0); i++){for (int j = 0; j < v.GetLength(1); j++){Console.Write(v[i,j]+"  ");}Console.WriteLine();}Console.WriteLine("========================================");//输出最后我们是放入的哪些商品//遍历path,这样输出会把所有的放入情况都得到，其实我们只需要最后的放入//for (int i = 0; i < path.GetLength(0); i++)//{//    for (int j = 0; j < path.GetLength(1); j++)//    {//        if (path[i, j] == 1)//        {//            Console.WriteLine("第" + i + "个商品放入到了背包" + "   ");//        }//    }//}int L = path.GetLength(0) - 1;  //path 行的最大值下标:3int R = path.GetLength(1) - 1;  //path 列的最大值下标:4while(L>0 && R> 0)  //逆向遍历，从path的最后开始找{if (path[L, R] == 1){Console.WriteLine("第" + L + "个商品放入到了背包");R -= w[L - 1]; //背包容量减最后放完的商品的重量，w[L-1]是最后放的商品的重量}L--;  //找下一个商品}}}
}