LeetCode 48 - 旋转图像算法详解(全网最优雅的Java算法

LeetCode 48 - 旋转图像算法详解

题目描述

给定一个 n × n 的二维矩阵 matrix 表示一个图像。请你将图像顺时针旋转 90 度。

你必须在 原地 旋转图像，这意味着你需要直接修改输入的二维矩阵。请不要使用另一个矩阵来旋转图像。

示例 1：

输入：matrix = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]
输出：[[7,4,1],[8,5,2],[9,6,3]]

示例 2：

输入：matrix = [[5,1,9,11],[2,4,8,10],[13,3,6,7],[15,14,12,16]]
输出：[[15,13,2,5],[14,3,4,1],[12,6,8,9],[16,7,10,11]]

算法思路

核心观察

顺时针旋转90度可以通过两步变换实现：

1. 转置矩阵：将 matrix[i][j] 与 matrix[j][i] 交换
2. 水平翻转：将每一行从左到右翻转

变换过程可视化

以示例1为例，展示完整的变换过程：

原始矩阵

位置	(0,0)	(0,1)	(0,2)
元素	1	2	3
位置	(1,0)	(1,1)	(1,2)
元素	4	5	6
位置	(2,0)	(2,1)	(2,2)
元素	7	8	9

步骤1：转置矩阵

转置规则：matrix[i][j] ↔ matrix[j][i]

位置	(0,0)	(0,1)	(0,2)
元素	1	4	7
位置	(1,0)	(1,1)	(1,2)
元素	2	5	8
位置	(2,0)	(2,1)	(2,2)
元素	3	6	9

转置操作示意：

• (0,1)的2 ↔ (1,0)的4
• (0,2)的3 ↔ (2,0)的7
• (1,2)的6 ↔ (2,1)的8

步骤2：水平翻转每一行

每行内部元素位置交换：

行号	翻转前	翻转后
第0行	[1, 4, 7]	[7, 4, 1]
第1行	[2, 5, 8]	[8, 5, 2]
第2行	[3, 6, 9]	[9, 6, 3]

最终结果

位置	(0,0)	(0,1)	(0,2)
元素	7	4	1
位置	(1,0)	(1,1)	(1,2)
元素	8	5	2
位置	(2,0)	(2,1)	(2,2)
元素	9	6	3

算法实现

Python实现

def rotate(matrix):"""顺时针旋转90度 - 两步法时间复杂度: O(n²)空间复杂度: O(1)"""n = len(matrix)# 步骤1: 转置矩阵for i in range(n):for j in range(i + 1, n):  # 只遍历上三角，避免重复交换matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]# 步骤2: 水平翻转每一行for i in range(n):matrix[i].reverse()  # 或者手动实现: matrix[i] = matrix[i][::-1]# 手动实现水平翻转的版本
def rotate_manual_flip(matrix):"""顺时针旋转90度 - 手动实现翻转"""n = len(matrix)# 步骤1: 转置矩阵for i in range(n):for j in range(i + 1, n):matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]# 步骤2: 手动水平翻转每一行for i in range(n):left, right = 0, n - 1while left < right:matrix[i][left], matrix[i][right] = matrix[i][right], matrix[i][left]left += 1right -= 1

Java实现（Java最优雅算法，强力推荐！！）

public void rotate(int[][] matrix) {int n = matrix.length;// 步骤1: 转置矩阵for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i + 1; j < n; j++) {int temp = matrix[i][j];matrix[i][j] = matrix[j][i];matrix[j][i] = temp;}}// 步骤2: 水平翻转每一行for (int i = 0; i < n; i++) {int left = 0, right = n - 1;while (left < right) {int temp = matrix[i][left];matrix[i][left] = matrix[i][right];matrix[i][right] = temp;left++;right--;}}
}

C++实现

void rotate(vector<vector<int>>& matrix) {int n = matrix.size();// 步骤1: 转置矩阵for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = i + 1; j < n; j++) {swap(matrix[i][j], matrix[j][i]);}}// 步骤2: 水平翻转每一行for (int i = 0; i < n; i++) {reverse(matrix[i].begin(), matrix[i].end());}
}

复杂度分析

时间复杂度

• 转置操作: O(n²/2) ≈ O(n²)
• 水平翻转: O(n²/2) ≈ O(n²)
• 总计: O(n²)

空间复杂度

• O(1): 只使用常数级额外空间，满足原地操作要求

关键技巧

1. 转置时的遍历优化

# ✅ 正确：只遍历上三角
for i in range(n):for j in range(i + 1, n):matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]# ❌ 错误：会重复交换，相当于没有操作
for i in range(n):for j in range(n):matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]

2. 变换顺序的重要性

# ✅ 正确顺序：先转置，再水平翻转 = 顺时针90度
transpose(matrix)
horizontal_flip(matrix)# ❌ 错误顺序：先水平翻转，再转置 = 逆时针90度
horizontal_flip(matrix)
transpose(matrix)

其他旋转方向

逆时针旋转90度

def rotate_counterclockwise(matrix):n = len(matrix)# 先水平翻转，再转置for i in range(n):matrix[i].reverse()for i in range(n):for j in range(i + 1, n):matrix[i][j], matrix[j][i] = matrix[j][i], matrix[i][j]

旋转180度

def rotate_180(matrix):n = len(matrix)# 水平翻转 + 垂直翻转matrix.reverse()  # 垂直翻转for row in matrix:row.reverse()  # 水平翻转

测试用例

测试代码

def test_rotate():# 测试用例1: 3x3矩阵matrix1 = [[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]]rotate(matrix1)expected1 = [[7,4,1],[8,5,2],[9,6,3]]assert matrix1 == expected1# 测试用例2: 4x4矩阵matrix2 = [[5,1,9,11],[2,4,8,10],[13,3,6,7],[15,14,12,16]]rotate(matrix2)expected2 = [[15,13,2,5],[14,3,4,1],[12,6,8,9],[16,7,10,11]]assert matrix2 == expected2# 测试用例3: 1x1矩阵matrix3 = [[1]]rotate(matrix3)expected3 = [[1]]assert matrix3 == expected3# 测试用例4: 2x2矩阵matrix4 = [[1,2],[3,4]]rotate(matrix4)expected4 = [[3,1],[4,2]]assert matrix4 == expected4print("所有测试用例通过！")# 运行测试
test_rotate()

总结

旋转图像问题的关键在于发现两步变换法：

1. 转置矩阵 - 将行列坐标互换
2. 水平翻转 - 将每行左右翻转

这种方法简洁高效，时间复杂度O(n²)，空间复杂度O(1)，完美满足原地操作的要求。

掌握这个技巧后，各种角度的旋转都可以通过类似的变换组合来实现！