动态规划01背包
0/1 背包是什么？
-
你有
n个物品，第i个物品有重量w[i]和价值v[i]。 -
有一只容量为
W的背包，只能装重量和 ≤W的东西。 -
0/1 的意思：每个物品要么不拿，要么拿一次（不能拆，也不能重复拿）。
-
目标：在不超过容量的前提下，让总价值最大。
一、二维 DP（最直观、最好理解）
1. 状态定义
dp[i][c]：只考虑前 i 个物品，在背包容量为 c 时能得到的最大价值。
行是“用了多少件物品”，列是“当前容量”。
这就像一张表，我们从小问题（少物品、小容量）一步步填到大问题（多物品、大容量）。
2. 转移方程
对第 i 件物品（下标从 1 开始、重量 w[i]，价值 v[i]），对每个容量 c：
-
不选第 i 件：
dp[i][c] = dp[i-1][c] -
可选且选择：如果
c >= w[i]，
dp[i][c] = max(dp[i-1][c], dp[i-1][c - w[i]] + v[i])
逻辑：选了它，就占用
w[i]容量并获得v[i]价值，剩下的容量在“前 i-1 件物品”里去凑。
3. 初始条件
-
dp[0][c] = 0（没有物品时，价值为 0） -
dp[i][0] = 0（容量为 0 时，背不了东西）
4. 代码（带极详细注释）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;// 二维 DP：dp[i][c] = 前 i 件物品、容量 c 的最大价值
int knapsack_2d(const vector<int>& w, const vector<int>& v, int W) {int n = (int)w.size();vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(W + 1, 0));// 物品按 1..n 编号使用（w[i-1]/v[i-1] 访问原数组）for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int c = 0; c <= W; ++c) {// 不选第 i 件dp[i][c] = dp[i - 1][c];// 能选就尝试选一下，看是否更优if (c >= w[i - 1]) {dp[i][c] = max(dp[i][c], dp[i - 1][c - w[i - 1]] + v[i - 1]);}}}return dp[n][W];
}
5. 选哪些物品？（回溯路径）
二维 DP 很容易“把方案捞出来”：从 dp[n][W] 倒着看：
-
如果
dp[i][c] == dp[i-1][c]→ 第i件没选； -
否则必有
dp[i][c] == dp[i-1][c - w[i-1]] + v[i-1]→ 第i件选了，c -= w[i-1]，继续看i-1。
vector<int> reconstruct_items(const vector<int>& w, const vector<int>& v, int W) {int n = (int)w.size();vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(W + 1, 0));for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int c = 0; c <= W; ++c) {dp[i][c] = dp[i - 1][c];if (c >= w[i - 1]) {dp[i][c] = max(dp[i][c], dp[i - 1][c - w[i - 1]] + v[i - 1]);}}}// 回溯选品vector<int> picked; // 存下标（0..n-1）int c = W;for (int i = n; i >= 1; --i) {// 若选择更优，说明选了第 i 件if (c >= w[i - 1] && dp[i][c] == dp[i - 1][c - w[i - 1]] + v[i - 1]) {picked.push_back(i - 1);c -= w[i - 1];}// 否则没选，啥也不做}reverse(picked.begin(), picked.end());return picked;
}
二、一维 DP（空间优化，面试最常写）
二维表每次只用到上一行，所以可以压缩到一维数组：dp[c] 表示当前处理到的物品范围内，容量为 c 的最大价值。
关键点：容量 c 要倒序遍历！
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公式：
dp[c] = max(dp[c], dp[c - w[i]] + v[i])（当c >= w[i]） -
为什么倒序？ 如果正序
c=0..W，你刚更新完dp[c]，后面更新dp[c + w[i]]时会用到“本轮已更新过”的dp[c]，等价于重复使用了第 i 件物品（就变成了完全背包），所以 0/1 背包必须倒序。
int knapsack_1d(const vector<int>& w, const vector<int>& v, int W) {int n = (int)w.size();vector<int> dp(W + 1, 0);for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int c = W; c >= w[i]; --c) { // 倒序，防止重复使用同一物品dp[c] = max(dp[c], dp[c - w[i]] + v[i]);}}return dp[W];
}
三、手工推一遍（加深理解）
例子：W = 5
物品（w, v）：
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(2, 3)
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(3, 4)
-
(4, 8)
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(5, 8)
最优答案是 8（拿第 3 件 (4,8) 或第 4 件 (5,8)）。
看一维 DP 如何“长出来”：
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初始：
dp = [0,0,0,0,0,0]（索引是容量 0..5） -
物品1 (2,3)：倒序更新
c=5..2-
c=5:
max(0, dp[3]+3=0+3)=3→[0,0,0,0,0,3] -
c=4:
max(0, dp[2]+3=0+3)=3→[0,0,0,0,3,3] -
c=3:
max(0, dp[1]+3=0+3)=3→[0,0,0,3,3,3] -
c=2:
max(0, dp[0]+3=0+3)=3→[0,0,3,3,3,3]
-
-
物品2 (3,4)：
c=5..3-
c=5:
max(3, dp[2]+4=3+4=7)=7→[0,0,3,3,3,7] -
c=4:
max(3, dp[1]+4=0+4=4)=4→[0,0,3,3,4,7] -
c=3:
max(3, dp[0]+4=0+4=4)=4→[0,0,3,4,4,7]
-
-
物品3 (4,8)：
c=5..4-
c=5:
max(7, dp[1]+8=0+8=8)=8→[0,0,3,4,4,8] -
c=4:
max(4, dp[0]+8=0+8=8)=8→[0,0,3,4,8,8]
-
-
物品4 (5,8)：
c=5..5-
c=5:
max(8, dp[0]+8=8)=8→[0,0,3,4,8,8]
-
最终 dp[5]=8，和我们直觉一致。
四、常见易错点（务必注意）
-
一维写法容量必须倒序；正序会变“完全背包”（可以无限取同一件）。
-
别忘了容量从 w[i] 开始（
c >= w[i]时才可转移）。 -
初始化：
dp默认 0 就行（0/1 背包是“最大化”，且允许不拿）。 -
权重/价值可能比较大时，用
long long（尤其是多维扩展时）。 -
如果要恢复选品，建议用二维 DP（或维护
keep[i][c]布尔表）。 -
若题目要求“恰好装满”而不是“容量不超过”，初始化会不一样（需要用 -INF/不可达表示）；标准 0/1 背包默认“≤W”即可。
五、完整小模板（便于粘贴）
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;// 一维 0/1 背包：空间 O(W)，时间 O(nW)
int knap01_1d(const vector<int>& w, const vector<int>& v, int W) {int n = (int)w.size();vector<int> dp(W + 1, 0);for (int i = 0; i < n; ++i) {for (int c = W; c >= w[i]; --c) { // 倒序！dp[c] = max(dp[c], dp[c - w[i]] + v[i]);}}return dp[W];
}// 二维 0/1 背包：便于恢复选品
pair<int, vector<int>> knap01_2d_with_pick(const vector<int>& w, const vector<int>& v, int W) {int n = (int)w.size();vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(W + 1, 0));for (int i = 1; i <= n; ++i) {for (int c = 0; c <= W; ++c) {dp[i][c] = dp[i - 1][c];if (c >= w[i - 1]) {dp[i][c] = max(dp[i][c], dp[i - 1][c - w[i - 1]] + v[i - 1]);}}}// 回溯选品vector<int> pick;int c = W;for (int i = n; i >= 1; --i) {if (c >= w[i - 1] && dp[i][c] == dp[i - 1][c - w[i - 1]] + v[i - 1]) {pick.push_back(i - 1);c -= w[i - 1];}}reverse(pick.begin(), pick.end());return {dp[n][W], pick};
}
六、拓展一口：与其它背包的区别
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完全背包（可无限拿）：一维写法容量正序（
for c=w..W），因为同一轮允许复用当前物品。 -
多重背包（每件有数量上限）：常用二进制拆分成若干 0/1 物品，或用单调队列优化。
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恰好装满：初始化不同（不可达状态要用
-INF），目标是dp[W]可达且最大。
疑问：
// 计算“前 i 件物品、容量为 c”的最优值
dp[i][c] = dp[i-1][c]; // 不选第 i 件
if (c >= w[i-1]) { // ✅ 只有当容量 c 足以容纳第 i 件时dp[i][c] = max(dp[i][c],dp[i-1][c - w[i-1]] + v[i-1]); // 选第 i 件
}
你问“为什么写 c >= w[i-1]，而不是‘减去 i 的重量’”。其实**“减去 i 的重量”就在右边的索引里**：dp[i-1][c - w[i-1]]。
我们是在计算状态 dp[i][c] 时，考虑“选第 i 件”的方案，此时剩余容量就是 c - w[i-1]，所以要从上一行（只用前 i-1 件）取到 dp[i-1][c - w[i-1]] 再加上这件的价值 v[i-1]。这里并不是要去修改循环变量 c，而是用“剩余容量”的状态值来转移。
if (c >= w[i-1]) 的作用有两点：
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可行性检查：只有当当前容量
c足够装下第 i 件（c - w[i-1] >= 0）时，才允许“选它”的分支；否则这件装不下，不能用这个转移。 -
防止越界：避免访问
dp[i-1][负数]这种非法下标。
为什么是“≥”而不是 “>”？
-
当
c == w[i-1]时，正好把这件装满也是合法的，必须允许，所以用>=。 -
如果用
>，就会错误地禁止“正好装满”的情况。
再补两点对比，避免常见误解：
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不要改动循环变量
c（比如写成c -= w[i-1]）：
我们是在“同一个c”下比较两种选择（选/不选），改了c就把状态弄混了，而且会影响后续循环。 -
一维优化时看起来没有
if：
常见的一维 0/1 背包写法是for (int i = 0; i < n; ++i)for (int c = W; c >= w[i]; --c) // 从 W 到 w[i] 逆序dp[c] = max(dp[c], dp[c - w[i]] + v[i]);这里把“
c >= w[i]”体现在循环边界里了（从w[i]开始倒着遍历），本质和二维版的if (c >= w[i-1])完全一样。
一个小例子
容量 c=5，第 i 件 w=3, v=4：
-
计算
dp[i][5]：可以不选 →dp[i-1][5]；也可以选 →dp[i-1][5-3] + 4 = dp[i-1][2] + 4。两者取大。 -
计算
dp[i][2]：因为2 < 3，选不了这件，只能dp[i][2] = dp[i-1][2]。
这正是if (c >= w)的意义。
一句话总结：
c >= w[i-1] 是在判断“当前容量是否足以装下这件”，而真正的“减去 i 的重量”体现在转移来源 dp[i-1][c - w[i-1]] 上；我们不改变 c，而是用“剩余容量”的最优值来更新当前状态。
习题：
46. 携带研究材料（第六期模拟笔试）
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main(){int m ,n;cin >> m >> n;vector<int> M(m,0); // 重量vector<int> N(m,0); // 价值for(auto & x: M){cin >> x;}for(auto & x : N){cin >> x;}vector<int> dp(n+1,0);for(int i = 0; i < m; i++){for(int j = n; j >= M[i]; j--){dp[j] = max(dp[j], dp[j-M[i]] + N[i]);}}cout << dp[n] << endl;
}