每日一题DEEP_ML-卡方分布（Chi-Squared Distribution）

什么是卡方分布？

• 卡方分布 是一种常见的 概率分布，它主要出现在 统计推断 中，特别是用于 假设检验 和 方差估计。

• 定义：如果有一组 k 个相互独立的标准正态随机变量 $Z_1,Z_2,...,Z_k$，则它们平方和

$$X=\sum _{i=1}^k{Z}_i^2$$

就服从 自由度为 k 的卡方分布，记作：

$X\sim {\chi }^2(k)$

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2. 自由度 (Degrees of Freedom, k)

• 自由度 k 决定了卡方分布的形状。

• 举例：

  • k=1：分布偏态很大，长尾。

  • k=2：分布在 0 附近开始上升，单峰。

  • k 很大时：卡方分布逐渐接近正态分布 N(k,2k)。

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3. 概率密度函数 (PDF)

卡方分布的概率密度函数为：

$f(x;k)=\frac{1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}{x}^{k/2-1}{e}^{-x/2},x>0$

其中：

$\Gamma (\cdot )$ 是伽马函数，推广了阶乘，满足 $\Gamma (n)=(n-1)!$。

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4. 性质

1. 非负性：$X\ge 0$，因为是平方和。

2. 期望：$\mathbb{E}[X]=k$

3. 方差：$\text{Var}(X)=2k$

4. 近似正态性：当 $k\ge 30$，可以近似为 N(k,2k)。

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5. 应用

卡方分布在统计学中非常常见，主要有：

1. 方差检验：检验一个总体方差是否等于某个值。

2. 拟合优度检验 (Chi-Square Goodness of Fit Test)
   检验样本数据是否符合某个理论分布。

3. 独立性检验 (Chi-Square Test of Independence)
   检验两个分类变量是否独立（例如列联表分析）。

4. 置信区间：用于总体方差的区间估计。

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6. 举个例子

假设我们有 自由度 k = 4，并且计算某个样本值 x=6x = 6x=6 的概率：

• 我们需要计算 P(X≤6)P(X \leq 6)P(X≤6)，即累积分布函数 CDF。

• 实际上这个数值计算需要用 不完全伽马函数 或统计软件（如 Python 的 scipy.stats.chi2.cdf(6, df=4)）。

DEEP_ML的题

Calculate the probability of occurrence of x in a Chi-Squared distribution with the given sample value ‘x’ and degrees of freedom ‘k’.

import mathdef chi_square_probability(x, k):"""Calculate the probability density of x in a Chi-square distributionwith k degrees of freedom."""if x <= 0 or k <= 0:return 0.0numerator = (x ** (k / 2 - 1)) * math.exp(-x / 2)denominator = (2 ** (k / 2)) * math.gamma(k / 2)probability = numerator / denominator# your code herereturn round(probability, 3)