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从零开始学习概念物理（第13版）（1）

news 2025/8/25 8:44:22

前言：对我来说，最有用的就是物理了，尤其是电磁学。但是要学好它，我得夯实我的基础，前面更加基础的数学和物理都不能拉下。现在我问了Deepseek推荐的国外物理书，这本《概念物理》是最适合我，等入门后再看《费曼物理学讲义》。就这么愉快的决定了。

由于我读的是英文版，本人水平一般，我会借助翻译工具，所以措辞不严谨还请见谅。

一、关于科学

1.1 科学的测量

测量是优秀科学的标志。你对某件事了解多少，往往与你能多好地衡量它有关。著名物理学家开尔文勋爵（Lord Kelvin）在19世纪说得很好：“我经常说，当你能测量某样东西并用数字来表达它时，你就对它有所了解了。”当你不能测量它，当你不能用数字表达它时，你的知识是贫乏的，不能令人满意的。这也许是知识的开端，但是不管科学是什么，你的思想还没有发展到科学的阶段呢。”科学测量并不是什么新鲜事物，它可以追溯到古代。例如，在公元前3世纪，对地球、月球和太阳的大小以及它们之间的距离进行了相当精确的测量。

（应该说的是，要会定量吧）

1.1.1 埃拉托色尼如何测量地球的大小

大约公元前235年，埃拉托色尼在埃及首次测量了地球的大小。他用下面的方法计算了地球的周长。他知道太阳在夏至那天的中午是最高的（夏至在今天的日历上大约是6月21日）。此时，垂直的树枝投射出的影子最短。如果太阳正对着头顶，竖着的棍子根本不会投下阴影。埃拉托色尼从图书馆的资料中得知，夏至当天正午时分，太阳正直射亚历山大以南的城市Syene（阿斯旺大坝的所在地）。在这个特殊的时刻，阳光直接照射到Syene的一口深井里，然后又被反射回来。埃拉托色尼推断，如果太阳光线在这一点延伸到地球上，它们将穿过地球的中心。同样，一条从亚历山大延伸到地球的垂直线（或其他任何地方）也会穿过地球的中心。

注意：只有在赤道附近，太阳才会在正午直射。站在赤道的阳光下，你在正午没有投下阴影。在离赤道较远的地方，正午时太阳不会直射在头顶。你站得离赤道越远，你身体投下的影子就越长。

当太阳直接在Syene的头顶上时，亚历山大的阳光与垂直方向成7.2°角。这两个地点的垂线都延伸到地球的中心，在那里它们形成了相同的7.2°角。

在夏至的中午，埃拉托色尼在亚历山大测得太阳光与一根垂直的柱子之间的夹角为7.2°（图1.1）。

360度的地球周长由多少个7.2度的段组成？答案是360°/7.2°= 50。因为7.2°是一个完整圆的1/50，埃拉托色尼推断亚历山大和Syene之间的距离是地球周长的1/50。

这样地球的周长就变成了这两个城市之间距离的50倍。

这段距离相当平坦，经常有人走过，测量员测量的距离约为5000体育场（800公里）。因此埃拉托色尼计算出地球的周长为50 * 5000体育场= 250000体育场。以公里为单位，地球的周长= 50x800km = 40000km，非常接近目前公认的地球周长值。

1.1.2 检测点

如果同样的7.2°指向500公里（而不是800公里），那么测量地球的周长会更小、更大还是相同？

用数学方法计算，圆心角n所对的弧长 $l = \frac{n\Pi r}{180}$

25000 < 40000，所以地球的周长会更小。

1.1.3 检查答案

更小，因为地球的周长是50*500公里= 25000公里。在埃拉托色尼死后1700年，克里斯托弗·哥伦布在启程前往东印度群岛之前研究了埃拉托色尼的发现。然而，哥伦布没有留心埃拉托色尼的发现，而是选择了接受最新的地图，这些地图表明地球的周长比原来小了三分之一。如果哥伦布接受埃拉托色尼所说的更大的周长，那么他就会知道他没有在中国或东印度群岛登陆，而是在加勒比海登陆。

1.1.4 物理练习

通过树/旗杆阴影测地球的大小

在测量地球的大小时，埃拉托色尼考虑了两个南北位置，它们非常靠近一条特定的经线。这不是必要的。经线是许多大圆中的一个。在地球上，任何大圆，在任何方向上，都可以用来测量地球的周长。大圆是在球体周围可能画出的最大的圆。通过像地球这样的球体上的任何两点，无论分隔它们的线的方向如何，都可以定义并画出一个大圆。通常绘制的大圆是地球的经线，都经过南北两极。在一条纬度线上只有一个大圆：赤道。但是地球周围有无数的大圆，它们的中心都在地球的中心（图1.2）。

三个大圆，一个在赤道（红色），一个沿着经度（蓝色）和另一个随机方向（绿色）。

在阳光下的垂直结构，如柱子和树木，会投下阴影。因为到达地球表面的阳光是彼此平行的，附近垂直的树木投射出等角度的阴影。但由于地球的曲率，在一天中的同一时间，许多公里外的树木投下的阴影与阳光的角度不同。由于太阳在天空中连续移动，几分钟后，阴影的角度会略有不同。令人惊讶的是，树木或其他垂直结构在地球不同地方投下的阴影，无论是在经线上还是在经线外，都为计算地球的大小提供了足够的信息。

任何一对垂直结构在阳光下投射的阴影，间隔一定距离，为计算地球的周长提供了足够的信息。

地球的大小可以用简单的三角学来计算，当一棵树的阴影直接指向或远离第二棵树时。在这个特殊的时刻，阳光照射地球的平面与这对树所形成的大圆的平面是一致的。如图1.3所示，地球中心的10°顶点等于太阳光与垂直树木的角度差值10°。

图1.3
这两棵树的弧线在地球中心夹角为10°（用棕色的“楔”表示）。

有多少个10°的地球段构成了完整的360°地球周长？答案是360°/10°= 36。这告诉我们，地球的周长等于36乘以这两棵树之间的距离。任务完成!

旗杆更擅长投射清晰的阴影。对于相隔遥远的城市，距离是已知的量，一个有趣的科学项目（或活动）是将成对树的想法应用到你的学校和另一个城市的学校的旗杆上。

在地球上的任何地方，除了极少数例外，一对旗杆在阳光下的影子都会在某一天的某个时间排成一个大圆。为了计算地球的周长，你必须找到一个日期和时间，当你学校的旗杆投下的阴影直接指向或直接远离另一个城市的学校旗杆。如果另一个城市有阳光，那里的影子也会同时满足同样的标准。如果是阴天或雨天，或者是周末，要有耐心：几乎相同的情况会持续好几天。（注意：测量不落在大圆平面上的入射光线涉及更复杂的球面三角学。）

埃拉托色尼的同步读数是通过夏至时经线附近的阴影实现的。有了智能手机，他就可以沿着地球的任何一个大圆，甚至赤道，计算出地球在任何一天的大小。

你拥有了埃拉托色尼做梦也想不到的东西：互联网和智能手机，也许还有一个指南针，可以判断投射的阴影何时对齐（第一个指向第二个，第二个远离第一个，或者在某些情况下，每个影子都指向另一个）。埃拉托色尼的同步计时问题是由智能手机提供的。两个测量角度的差值（或者，如果阴影彼此远离，则其和）等于每个旗杆的延伸垂直线在地球中心相交的顶点处的角度。请注意，在草图中，当平行阳光的平面与双旗杆大圆的平面重合时，两旗上的太阳光角度之差等于地球中心的顶角。有了良好的数据，就可以计算出地球的周长。

或者考虑反过来做：用地球4万公里的周长作为已知值，找出相隔遥远的旗杆之间的未知距离。旗杆必须离得很远才能达到好的效果。例如，100公里的分离距离对应的太阳光角度差异小于1°，这很难区分。你们的地点相隔远一点会更好。不管你是决定计算地球的周长，还是计算你们之间的距离，这都是一项引人入胜的合作活动。去吧！

我的想法：把这个 $l = \frac{n\Pi r}{180}$ 变形一下，有：

l ≈ 111.1111 * n。

角度 $n = |\arctan \frac{a}{b} - \arctan \frac{c}{d} |$ (a、c是投影长度，b、d是垂直结构长度）

最后推得

埃拉托色尼也会得到同样的结果，因为他完全忽略了度数，并将柱子投下的影子的长度与柱子的高度进行比较。当埃拉托色尼测量阳光与垂直柱的7.2°夹角时，他还注意到柱子投下的阴影是柱子高度的1/8（图1.4）。几何推理近似地表明，阴影长度/柱子高度之比与亚历山大和Syene之间的距离之比/地球半径之比相同。所以，就像柱子比它的影子高8倍一样，地球的半径一定是亚历山大和Syene之间距离的8倍。（相似三角形）

因为圆的周长是2π乘以它的半径C = 2πr，地球的半径就是它的周长除以2π。以现代单位计算，地球的半径是6370公里，周长是40000公里。

所以我们知道埃拉托色尼测量地球大小的方法不止一种。在接下来的章节中，我们将会一次又一次地遇到这种通向解决方案的多条路径的特性。这是优秀科学的标志，也是人们投身于物理学或物理相关专业的众多原因之一。向物理学致敬。

1.1.5 月亮的大小

与埃拉托色尼同时代的另一位希腊科学家是阿里斯塔克斯，他可能是第一个提出地球每天绕地轴自转一次的人，这就解释了恒星每天的运动。阿里斯塔克斯还假设地球绕太阳公转一年，其他行星也是如此。他正确地计算出了月球的直径和它到地球的距离。他在公元前240年左右完成了这一切，比他的发现被完全接受还要早17个世纪。阿里斯塔克斯通过观察月食来比较月球和地球的大小。地球，像阳光下的任何物体一样，都会投下阴影。月食仅仅是月球进入这个阴影的事件。阿里斯塔克斯仔细研究了这一事件，发现地球阴影在月球上的宽度是月球直径的2.5倍。这似乎表明月球的直径比地球的直径小2.5倍。前提是来自太阳相对边缘的光线彼此完全平行。虽然太阳光线在短距离内几乎是平行的，但由于太阳的巨大尺寸，它们的轻微变细在较长的距离上是明显的，如在日食期间（图1.5），当来自太阳上下边缘的光线变细到几乎一个点时。在月球到地球的距离上，光线变细了大约一个月球直径。在月食期间，地球的影子在相同距离上也会出现相同的锥度（图1.5右侧）。如果考虑到太阳光线的逐渐变细，地球的直径必须是月球直径的2.5 + 1倍。通过这种方式，阿里斯塔克斯证明了月球的直径是地球的1/3.5。目前公认的月球直径为3640公里，与阿里斯塔克斯计算的值相差不到5%。

注：阿里斯塔克斯对他的日心说不确定，可能是因为地球不相等的季节似乎不支持地球绕太阳转的观点。更重要的是，人们注意到月球与地球的距离是不同的——这清楚地证明了月球并不是完美地绕着地球转。如果月球不是绕着地球圆周运动，那么很难说地球绕着太阳圆周运动。行星椭圆轨道的解释直到几个世纪后才被约翰内斯·开普勒发现。与此同时，其他天文学家提出的本轮解释了这些差异。如果月球不存在，推测天文学的进程是很有趣的。它的不规则轨道不会影响到早期对日心说的质疑，因为日心说可能在几个世纪前就已经成立了。

图1.5

在月食期间，地球的阴影被观测到是月球直径的2.5倍。由于太阳的巨大体积，地球的阴影必须逐渐缩小。在日食期间，月球的阴影逐渐变细，从月球到地球的直径相当于整个月球的直径。因此，在月食期间，地球的影子在相同距离上变小的幅度相同。因此，地球的直径一定是月球直径的3.5倍。

日食和月食的正确比例，这说明了为什么太阳、月亮和地球的完美阵容不会每月出现。（月食更罕见，因为月球的轨道与地球围绕太阳的轨道平面倾斜约5°。）

1.1.6 到月球的距离

把一枚小硬币，比如一角硬币，粘在窗户上，用一只眼睛观看，这样它就能挡住满月。当你的眼睛距离硬币大约110个硬币直径时，就会发生这种情况。那么硬币直径/硬币距离的比值约为1/110。相似三角形的几何推理表明，这也是月球直径/月球距离的比值（图1.7）。所以你到月球的距离是月球直径的110倍。早期的希腊人知道这一点。阿里斯塔克斯对月球直径的测量是计算地月距离所需要的全部资料。因此，早期希腊人既知道月球的大小，也知道它到地球的距离。

有了这些信息，阿里斯塔克斯计算出了地球到太阳的距离。

图1.7

一个比例练习：当硬币几乎没有“遮住”月球时，硬币的直径与你与硬币之间的距离之比等于月球的直径与你与月球之间的距离之比（这里没有比例）。两个比值的测量值均为1/110。

它这里怎么测月球直径没细讲，我查了下资料，古希腊的阿里斯塔克斯等人是这么做的：

① 观测月食：‌ 记录月球完全进入地球本影（全食阶段）到开始离开本影（偏食阶段结束）所需的时间。

② 理解阴影锥：‌ 地球投射到太空的本影是一个锥形（像冰淇淋筒）。离地球越远，本影的横截面越小。

③ 建立比例关系：

月球穿过地球本影的直径所需的时间（T_pass）。

月球绕地球公转一周（一个朔望月）所需的时间（T_month）。

T_pass / T_month 这个比例，理论上应该等于（地球本影在月球轨道处的直径） / （月球公转轨道的周长）。

④ 引入地球直径：通过测量不同纬度上同一颗恒星的地平高度差等方法，埃拉托斯特尼（Eratosthenes）等人已经相当准确地测量了地球的直径（D_earth）。

⑤ 结合地球直径、太阳距离（阿里斯塔克斯曾尝试估算，但误差很大）、以及上述时间比例，利用相似三角形等几何关系，可以推算出地球本影在月球轨道处的直径（D_shadow）。然后，结合月食持续时间和月球轨道速度等，最终推算出月球直径（D_moon）与地球直径（D_earth）的比例关系。

结果：‌ 阿里斯塔克斯得出的结论是地球直径大约是月球直径的2.85倍（实际值接近3.67倍），误差较大。但他的方法在原理上是正确的，为后世奠定了基础。喜帕恰斯等人的测量更精确一些。

1.1.7 到太阳的距离

如果你要对太阳重复硬币和月亮的练习（因为太阳的亮度，这样做是危险的），猜猜会发生什么？太阳直径与太阳距离的比值也是1/110。这是因为太阳和月亮的大小对眼睛来说是一样的。它们都变细成相同的角度（约0.5°）。虽然早期希腊人已经知道直径与距离的比值，但直径或距离本身必须通过其他方法来确定。阿里斯塔克斯找到了一种方法。他是这样做的。

阿里斯塔克斯观察月相的时候，月亮正好是半圆的，太阳仍然在天空中可见。那么，照在月球上的阳光一定与他的视线成直角。这意味着地球和月球之间、地球和太阳之间以及月球和太阳之间的线形成了一个直角三角形（图1.8）。

图1.8

当月亮正好出现半圆时，太阳、月亮和地球形成一个直角三角形（不按比例）。斜边是地球到太阳的距离。通过简单的三角学，只要知道任意一个非直角的大小和其中一条边的长度，就可以求出直角三角形的斜边。地月距离是一个已知长度的边。测量角度X，你就可以计算出地球与太阳的距离。三角学的一个规则是，如果你知道一个直角三角形的所有角加上它的任意一条边的长度，你就可以计算出任何其他边的长度。阿里斯塔克斯知道地球到月球的距离。在半月出现的时候，他还知道其中一个角度：90°。他所要做的就是测量月球视线和太阳视线之间的第二个角度。然后第三个角，一个很小的角，是180°减去前两个角的和（任何三角形的内角和等于180°）。

如果没有现代的凌日观测，测量月球和太阳的视线之间的角度是很困难的。首先，太阳和月亮都不是点，而是相对较大的。阿里斯塔克斯必须观察它们的中心（或边缘）并测量它们之间的夹角——相当大，几乎是一个直角！按照现代的标准，他的测量方法非常粗糙。他测量到的是87°，而真实值是89.8°。他认为太阳的距离大约是月球的20倍，而实际上太阳的距离大约是月球的400倍。所以，尽管他的方法很巧妙，但他的测量结果却不尽如人意。也许是阿里斯塔克斯觉得很难相信太阳离我们这么远，所以他在太阳离我们这么近的那一边搞错了。我们不知道。

今天我们知道太阳离地球的平均距离是1.5亿公里。它在1月初离地球较近（1.46亿公里），在7月初离地球较远（1.52亿公里）。

图1.9

针孔投射出的圆形光斑是太阳的图像。它的直径/距离比与太阳直径/日地距离比相同，为1/110。太阳的直径是地球距离的1/110。

经典的小孔成像方法。

1.1.8 检测点

1. 对月食的观察如何使阿里斯塔克斯估算出月球的直径？

阿里斯塔克斯目测到，在月食期间，地球在月球上的阴影比月球宽2.5倍。再加上太阳光线变细的影响，他估计地球的直径一定是月球直径的3.5倍。换句话说，月球的直径是地球的1/3.5倍。所以月球的直径是地球直径的1/3.5倍，这是他同时代的埃拉托色尼测量的。

2. 阿里斯塔克斯是第一个以半个月亮为参照计算地球到太阳距离的人。为什么月球处于半月期很重要？

如图1.8所示，地球到半月的距离、太阳到半月的距离、地球到太阳的距离组成了一个直角三角形。直角三角形很重要，因为如果你知道三角形任意边的距离，你就可以计算出另外两条边的距离。根据他的测量（当时还不完善），阿里斯塔克斯计算出了地球到太阳的距离。

1.1.9 太阳的大小

一旦知道了太阳的距离，直径/距离的1/110比率就可以测量太阳的直径。除了图1.7的方法外，另一种测量1/110比率的方法是测量通过针孔开口投射的太阳图像的直径。你应该试试这个。在一张不透明的硬纸板上戳一个洞，让阳光照在上面。投射在下面的圆形图像实际上是太阳的图像。你会发现，图像的大小并不取决于针孔的大小，而是取决于针孔离图像的距离。黑洞越大图像越亮，而不是越大。当然，如果洞很大，就不会形成图像。孔的大小取决于它与所投射的图像的距离。图1.9中的孔可以是锋利的铅笔穿过纸板时产生的大小，直径约为1毫米。图1.10中Lillian上方树叶间的“针孔”可以有几厘米宽。无论如何，仔细的测量表明，图像尺寸与“针孔”距离之比是1/110——与太阳直径/太阳-地球距离之比相同（图1.9）。

你有没有注意到，当太阳在头顶时，你在树下的地面上看到的阳光斑点是完美的圆形，而当太阳在天空中低空时，你看到的阳光斑点呈椭圆形（图1.10）？这些是太阳的针孔图像，阳光通过树叶上的开口照射，与地面的距离相比，树叶上的开口很小。在距地面110 * 10厘米的开口处铸造一个直径10厘米的圆点。高大的树木产生巨大的图像；矮树产生小图像。

树叶之间的小洞在莉莉安周围投射出太阳的图像。

有趣的是，在日偏食时，针孔投射的图像将是新月形的——与部分被覆盖的太阳相同（图1.11）。这提供了一种不用看太阳就能观察日偏食的替代方法。

月牙形的阳光斑点是太阳部分日食时的图像。

1.1.10 检测点

1. 使用图1.9所示的方法，我们得知太阳距离我们有110个太阳。在图1.7中，我们知道月球距离我们有110个月球。这是巧合吗？

是。太阳和月亮的角度相同，形成了1/110的比例，这完全是巧合。在过去，月球与地球的距离明显更近，与地球的夹角也更大。目前，月球正在以每年大约4厘米的速度缓慢地远离地球（由于潮汐摩擦和角动量守恒的影响）。这意味着在未来的几年里，月球在天空中会显得更小，产生日环食而不是日全食。

2. 如果图1.9中卡片的高度被放置，使太阳图像与硬币的大小相匹配（测量太阳图像直径的精确方法），那么这些硬币中的110个将首尾相连地放在卡片和下面图像之间的空间中。地球和太阳之间同样可以容纳多少个太阳？

答案是，从太阳到地球之间的空间可以容纳110个太阳。如果你做一个类似的实验，在低满月的时候把一枚硬币粘在你的窗户上，你会发现从窗户到你的眼睛之间正好有110枚硬币，这说明110个月亮可以填满地球和月球之间的平均空间。

1.1.11 数学——科学的语言

大约四个世纪以前，科学和数学结合之后，科学和人类的状况有了巨大的进步。当科学的思想用数学术语表达时，它们是明确的。科学方程式为概念之间的关系提供了简洁的表达。它们没有多重含义，而这些含义通常会让用普通语言表达思想的讨论感到困惑。当自然界的发现被数学表达出来时，它们更容易被实验证实或推翻。物理学的数学结构将在你将在本书中遇到的许多方程中显而易见。这些方程式是思维的指南，展示了自然界中概念之间的联系。数学方法和实验方法导致了科学上的巨大成功。

注意：我们区分物理的数学结构和数学解决问题的实践——这是大多数非概念性课程的重点。请注意，与练习的数量相比，本书各章末尾的问题相对较少。重点在于计算前的舒适理解。附加的问题是在解决问题的概念物理辅助书。

第一章的第一节结束。

PS：在这里感叹古希腊的科学家好厉害，真想学下它们的方法操作一下，体会下古人的智慧。

但是等到月食出现的时候再测量，太久了~。

DeepSeek教我一招，叫