计算机组成原理(9) - 整数的乘除法运算
计算机中整数的乘除法运算与数学中的乘除法原理类似，但受限于硬件结构（如寄存器位数、运算单元设计），其底层实现需要通过特定的算法和硬件逻辑完成。
一、整数乘法运算
计算机中的整数乘法以二进制为基础，核心是通过 “移位 + 加法” 模拟乘法过程，再结合硬件优化提升效率。
1. 无符号整数乘法：移位相加法
二进制乘法的本质是 “部分积累加”，与十进制乘法类似。例如计算 1010（10）× 0110（6）：
1010
× 0110
------0000 （1010 × 0，左移0位）1010 （1010 × 1，左移1位）
1010 （1010 × 1，左移2位）
0000 （1010 × 0，左移3位）
------
111100 （累加结果：60）硬件实现时，步骤如下：
- 初始化：用一个寄存器存储被乘数（
M），一个寄存器存储乘数（Q），一个累加器（A）初始化为 0，总结果位数为M位数 + Q位数（如 32 位 ×32 位 = 64 位结果）。 - 迭代运算：对乘数的每一位（从最低位开始）：
- 若当前位为 1，则将被乘数左移对应位数后加到累加器；
- 若为 0，则累加器不变；
- 结果整合：累加器的值即为最终乘积。
2. 有符号整数乘法：补码乘法
计算机中整数通常用补码表示，有符号数的乘法需要处理符号位。常见方法有两种：
- 符号位单独处理：先计算绝对值的乘积，再根据乘数和被乘数的符号（同号为正，异号为负）确定结果符号。
- 布斯算法（Booth's Algorithm）：直接对补码进行运算，无需单独处理符号，优化了运算步骤（尤其适合乘数中连续 0 或 1 较多的场景）。
硬件乘法器结构
- 组合逻辑乘法器：用大量加法器并行计算所有部分积，速度快但硬件成本高（适合低位数乘法，如 8 位 ×8 位）。
- 时序逻辑乘法器：通过移位寄存器和加法器分步骤迭代计算，硬件简单但耗时较长（需
n个周期完成n位乘法）。 - 现代优化：高性能处理器（如 x86、ARM）采用 “Wallace 树” 或 “Dadda 树” 结构，通过并行累加部分积缩短延迟，32 位乘法可在 1-3 个时钟周期内完成。
二、整数除法运算
除法是乘除法中更复杂的运算，核心是 “减去除数并迭代求商”，硬件实现需处理余数、商的生成及溢出问题。
1. 无符号整数除法：恢复余数法与加减交替法
除法的本质是 “重复减去除数，统计次数”，但直接减法效率低，硬件中常用优化算法：
（1）恢复余数法
步骤：
- 初始化：被除数存于寄存器
A（高位）和Q（低位，商的存储位置），除数存于B，A初始为 0。 - 迭代（共
n次，n为除数位数）：- 将
A-Q整体左移 1 位（相当于被除数左移，高位进入A）； - 若
A ≥ B，则商的当前位（Q的最低位）置 1，A = A - B； - 若
A < B，则商的当前位置 0，A保持不变（“恢复” 余数）。
- 将
示例：10（1010）÷ 3（0011），最终商为 3（0011），余数为 1（0001）。
（2）不恢复余数法（加减交替法）
优化恢复余数法的冗余步骤：
- 若当前余数
A ≥ 0，商的当前位置 1，左移后减去除数（A = (A << 1) - B）； - 若当前余数
A < 0，商的当前位置 0，左移后加上除数（A = (A << 1) + B）； - 最终若余数为负，需加除数恢复正确余数。
该方法无需 “恢复” 余数，步骤更简洁，是硬件除法的主流实现方式。
（2）不恢复余数法（加减交替法）
优化恢复余数法的冗余步骤：
- 若当前余数
A ≥ 0，商的当前位置 1，左移后减去除数（A = (A << 1) - B）； - 若当前余数
A < 0，商的当前位置 0，左移后加上除数（A = (A << 1) + B）； - 最终若余数为负，需加除数恢复正确余数。
该方法无需 “恢复” 余数，步骤更简洁，是硬件除法的主流实现方式。
2. 有符号整数除法
与乘法类似，有符号数除法需处理符号
- 符号位规则：商的符号 = 被除数符号 ⊕ 除数符号（同号为正，异号为负）；余数符号与被除数相同。
- 运算过程：先将被除数和除数取绝对值运算，再根据符号规则调整商和余数的符号。
例如：(-10) ÷ 3，绝对值运算得商 3、余数 1，最终商为 -3，余数为 -1（与被除数同号）。
3. 除法中的特殊问题与处理
- 溢出：当商超过结果寄存器的最大表示范围时（如
32位除法中，商 > 2^31-1），硬件会触发溢出标志（OF），通常通过异常处理（如程序中断）。 - 除数为 0：硬件无法计算，会触发除法错误异常（如 x86 的
#DE异常），由操作系统捕获处理（如终止程序）。 - 余数处理：整数除法默认 “向零取整”（如
5 ÷ 2 = 2，-5 ÷ 2 = -2），部分场景需特殊处理（如四舍五入）时需软件额外计算。