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矩阵链相乘的最少乘法次数（动态规划解法）

news 2025/8/17 6:17:47

矩阵链相乘问题是动态规划的经典应用场景。当多个矩阵相乘时，不同的相乘顺序会导致乘法运算的总次数差异巨大。我们的目标是找到一种相乘顺序，使得总的乘法次数最少。

问题分析

假设有矩阵序列 A1,A2,…,An，其中 Ai 的维度为 pi−1×pi。矩阵相乘满足结合律，但不同的结合方式会影响乘法运算的总次数。例如，三个矩阵 A(10×30)、B(30×5)、C(5×60)，按 (AB)C 计算的乘法次数为 10×30×5+10×5×60=4500，按 A(BC) 计算的乘法次数为 30×5×60+10×30×60=27000，显然前者更优。

矩阵相乘的基本逻辑

当我们有一组维度数据，比如 74 16 58，它能构成两个矩阵：矩阵 a 的维度是 [74,16]（对应数据的第 i 和 i+1 个元素），矩阵 b 的维度是 [16,58]（对应数据的第 i+1 和 i+2 个元素）。

矩阵 a 和 b 相乘时，乘法次数的计算方式为 74×58×16。相乘之后，会得到一个新的矩阵，其维度为 [74,58]，后续可继续与其他矩阵相乘。

问题核心：寻找最少乘法次数

我们的目标是，对于由 n 个矩阵组成的链，找到一种相乘顺序，使得总的乘法次数最少。

以包含 6 个维度数据（对应 5 个矩阵 a b c d e）的情况为例：

两个矩阵相乘时，只有 1 种组合情况（如 ab）。
三个矩阵相乘时，有 2 种组合情况（如 a(bc) 或 (ab)c）。
四个矩阵相乘时，有 3 种组合情况（如 a(bcd)、(ab)(cd) 或 (abc)d）。
以此类推，n 个矩阵相乘时，会有 n−1 种组合情况。

可以发现，不管有多少个矩阵相乘，每种组合情况都是将所有矩阵分成两部分。这一特性表明，矩阵链相乘问题具有最优子结构，非常适合用动态规划来解决。

动态规划的思路推导

以 4 个矩阵（对应 5 个维度数据 74 16 58 58 88）的情况为例，这 4 个矩阵分别是 a[74,16]、b[16,58]、c[58,58]、d[58,88]。

1. 设定断点分割矩阵链

我们可以设定一个断点 k（范围是 1 到 n），表示在第 k 个矩阵后将整个矩阵链隔开。

比如，当断点 k=2 时，矩阵链被分成两部分：ab 和 cd。

2. 子问题的最少乘法次数计算

计算 ab 部分的最少乘法次数：ab 相乘的次数为 74×58×16，得到新矩阵维度为 [74,58]，这部分的最少次数用 dp[1][2] 表示（dp[i][j] 表示从第 i 个矩阵到第 j 个矩阵相乘的最少次数）。
计算 cd 部分的最少乘法次数：cd 相乘的次数为 58×88×58，得到新矩阵维度为 [58,88]，这部分的最少次数用 dp[3][4] 表示。

3. 整体最少乘法次数的计算

此时，整个矩阵链 abcd 的最少乘法次数 dp[1][4] 就等于 ab 部分的最少次数 dp[1][2] 加上 cd 部分的最少次数 dp[3][4]，再加上将这两部分结果矩阵相乘的次数 74×88×58（即 i×(j+1)×(k+1)，其中 i=1，j=4，k=2）。

再比如，当断点 k=1 时，矩阵链被分成 a 和 bcd 两部分：

a 是单个矩阵，无需计算乘法次数。
对于 bcd 部分，又存在多种分割情况（如 b(cd) 或 (bc)d），需要先求出 bcd 部分的最少乘法次数 dp[2][4]（取这些分割情况中的最小值）。
最后，整个矩阵链 abcd 的最少乘法次数 dp[1][4] 等于 bcd 部分的最少次数 dp[2][4] 加上将 a 与 bcd 结果矩阵相乘的次数 i×(j+1)×(k+1)（其中 i=1，j=4，k=1）。

四、核心公式与递推过程

通过对各种分割情况的分析，我们可以总结出状态转移公式：
dp[i][j] = min{dp[i][k] + dp[k+1][j] + nums[i]×nums[j+1]×nums[k+1]}

其中，nums 是存储矩阵维度的数组，dp[i][j] 表示从第 i 个矩阵到第 j 个矩阵相乘的最少次数。

递推过程是：

先计算长度为 2 的矩阵链的最少乘法次数（如 dp[1][2]、dp[2][3] 等）。
基于长度为 2 的结果，计算长度为 3 的矩阵链的最少乘法次数（如 dp[1][3]、dp[2][4] 等）。
以此类推，逐步计算更长的矩阵链，每次都取当前所有可能分割情况中的最少乘法次数，直到得到整个矩阵链（从第 1 个到第 n 个矩阵）的最少乘法次数 dp[1][n]。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
#include <climits>  // 用于INT_MAX的定义
using namespace std;// 计算矩阵链相乘的最少乘法次数
// nums：存储矩阵维度的数组，nums[1..n]有效，对应n-1个矩阵
// n：维度数组的长度（矩阵数量为n-1）
void matrixChainMinMultiplications(vector<int>& nums, int n) {// dp[i][j]表示第i个矩阵到第j个矩阵相乘的最少乘法次数vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n, 0));// 遍历矩阵链的长度，从2开始（至少需要2个矩阵才能相乘）for (int length = 2; length <= n - 1; ++length) {// 遍历所有可能的起始矩阵ifor (int i = 1; i + length - 1 <= n - 1; ++i) {int j = i + length - 1;  // 计算对应的结束矩阵jdp[i][j] = INT_MAX;      // 初始化为最大整数，用于后续取最小值// 遍历所有可能的分割点k，寻找最优分割for (int k = i; k < j; ++k) {// 状态转移：当前分割的乘法次数 = 左半部分最少次数 + 右半部分最少次数 + 当前分割的乘法次数dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k + 1][j] + nums[i] * nums[j + 1] * nums[k + 1]);}}}// 输出从第1个矩阵到第n-1个矩阵相乘的最少乘法次数cout << dp[1][n - 1] << endl;
}int main() {int n;// 多组数据输入，直到输入结束while (cin >> n) {vector<int> nums(n + 1);  // 维度数组，索引1到n有效for (int i = 1; i <= n; ++i) {cin >> nums[i];}matrixChainMinMultiplications(nums, n);}return 0;
}

代码注释说明

matrixChainMinMultiplications 函数：核心动态规划逻辑，计算矩阵链相乘的最少乘法次数。
- 首先初始化 dp 数组，dp[i][j] 表示第 i 到第 j 个矩阵相乘的最少次数。
- 外层循环按矩阵链长度 length 递增遍历，确保先计算短链，再利用短链结果计算长链。
- 中层循环遍历所有可能的起始矩阵 i，并计算对应的结束矩阵 j。
- 内层循环遍历分割点 k，通过状态转移方程更新 dp[i][j] 为最小值。
main 函数：处理多组输入数据，读取矩阵维度数组并调用核心函数计算结果。
示例运行
输入：
```
6
10 1 50 50 20 5
```