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时间复杂度计算（以for循环为例）

news 2025/8/9 7:40:06

本文理论内容来自严蔚敏版《数据结构(C语言版第2版)》

*本文仅为复习时的总结，描述不准确、过程不严谨之处，还请理解

一、算法的相关概念

首先复习一下算法的定义及5个重要特性

其次是算法的评价标准

可以看到时间复杂度属于算法评价标准中的高效性

二、时间复杂度的相关概念

下面介绍一些时间复杂度的相关概念

如果不考虑计算机的软硬件等环境因素

影响算法时间代价的最主要因素是问题规模（用非负整数 n 表示， $n \geqslant 0$ ）

问题规模是算法求解问题输入量的多少，是问题大小的本质表示

比如输入2个数排序、3个数排序、4个数排序，问题规模(n) 逐渐增大，执行时间也逐渐增加

再来看执行时间

对语句的执行时间进行拆解：

语句的重复执行次数称作语句频度（用 $f(n)$ 表示）

算法中能使语句重复执行的结构通常是循环结构，所以本文以for循环为例

为了简化分析，假设每条语句执行一次所需的时间均是单位时间

所以语句的执行时间=语句频度×单位时间

同理算法的执行时间=所有语句频度之和×单位时间（即提取公因式 "单位时间" ）

由于单位时间是定值

因此算法的执行时间与所有语句频度之和成正比

对于稍微复杂一些的算法，计算所有语句频度之和通常是比较困难的

因此，我们引入基本语句的概念，用于度量算法的工作量

基本语句指的是对算法的执行时间贡献最大的语句，它的语句频度与算法的执行时间成正比

*为了方便描述，例题均以for循环为例，仅写出主要代码

如果不太了解for循环可以先看我的这篇文章——

《 for、while、do while循环的流程图表示及相应continue、break的流程图表示》

for循环可以理解为

for( 循环变量初始化 ; 循环条件 ; 循环变量自增 )
{循环体
}

举例：for循环求1到100的和

for( i=1; i<=100; i++ )
{sum+=i;
}

对应关系

【例1】有以下代码，输入n代表问题规模（在后续例题中，此点将不再赘述），计算for循环体语句频度之和

int n,i,j,k;
int a=0,b1=0,b2=0,c1=0,c2=0,c3=0;
scanf("%d", &n);
for(i=1; i<=n; i++)
{a++;for(j=1; j<=n; j++){b1++;b2++;for(k=1; k<=n; k++){c1++;c2++;c3++;}}
}

在第一层for循环体中，只有1条语句：a++;

循环变量 i 从1到n，循环共执行 $n$ 次

所以第一层for循环体的语句频度=循环体语句条数 x 循环执行次数= $1\times n=n$

在第二层for循环体中，有2条语句：b1++; b2++;

循环变量 i 从1到n，循环变量 j 从1到n，循环共执行 $n\times n=n^{2}$ 次

所以第二层for循环体的语句频度=循环体语句条数 x 循环执行次数= $2\times n^{2}=2n^{2}$

在第三层for循环体中，有3条语句：c1++; c2++; c3++;

循环变量 i 从1到n，循环变量 j 从1到n，循环变量 k 从1到n，循环共执行 $n\times n\times n=n^{3}$ 次

所以第三层for循环体的语句频度=循环体语句条数 x 循环执行次数= $3\times n^{3}=3n^{3}$

所以for循环体语句频度之和为 $f(n)=3n^{3} +2n^{2} +n$

当问题规模(n)趋于无穷大时

$\lim\limits_{n \to \infty}\frac{f(n)}{n^{3}}=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{3n^{3}+2n^{2}+n}{n^{3}}=3$

因为3是常数，所以 $f(n)$ 与 $n^{3}$ 同阶（或称 $f(n)$ 的数量级为 $n^{3}$ ）

时间复杂度 $T(n)$ 用语句频度的数量级来表示（大 $O$ 表示法）

大 $O$ 表示法在数学上的定义：

$T(n)$ 和 $f(n)$ 都是定义在正整数集合上的函数

若存在正的常数： $c$ 和 $n_{0}$ ，对于所有 $n\ (n\geqslant n_{0})$ ，均满足不等式 $0\leqslant T(n)\leqslant c\cdot f(n)$

则记作 $T(n)=O (f(n))$

该定义用 $f(n)$ 来渐近表示时间复杂度 $T(n)$

从图中可以看出时间复杂度 $T(n)$ 的增长至多趋向于 $f(n)$ 的增长

换句话说，大 $O$ 表示法 $O (f(n))$ 给出的是时间复杂度的一个渐近上界 $f(n)$

【例1】的语句频度之和为 $f(n)=3n^{3} +2n^{2} +n$ ，数量级为 $n^{3}$ ，则时间复杂度为 $O(n^{3})$

可以看到语句频度中起主要作用的是 $3n^{3}$

对应第三层for循环体的3条语句：c1++; c2++; c3++;

则这3条语句是对算法的执行时间贡献最大的语句（即基本语句）

所以计算时间复杂度时，无需计算所有语句的语句频度，只需计算基本语句的语句频度，得出数量级即可

计算时间复杂度的步骤：

1.找出基本语句

2.计算基本语句的语句频度

3.省略系数和无关项，得出数量级，即为时间复杂度

三、求和式及其运算规则

在计算时间复杂度之前，需要先了解求和式 $\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}$

如果不太了解求和式可以先看我的这篇文章——《求和式及其运算规则》

求和符号 $\sum$ （读作sigma）

求和下限 $i=1$ ：代表求和变量 $i$ 从1开始递增

求和上限 $n$ ：代表递增到n结束

求和表达式 $a_{i}$ ：一般是通项公式（只不过是把通项下标符号从 n 换成 i 而已）

求和变量 $i$ 从1递增到n，则求和表达式 $a_{i}$ 从 $a_{1}$ 变化到 $a_{n}$

求和式整体即从 $a_{1}$ 累加到 $a_{n}$ ： $\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n-1}+a_{n}$

如果学过for循环就很好理解了

for(i=1; i<=n; i++)
{sum+=a[i];
}

$i=1$ 时：当前项 $a_{i}=a_{1}$ ，求和sum= $a_{1}$ ，i++自增到2

$i=2$ 时：当前项 $a_{i}=a_{2}$ ，求和sum= $a_{1}+a_{2}$ ，i++自增到3

$i=3$ 时：当前项 $a_{i}=a_{3}$ ，求和sum= $a_{1}+a_{2}+a_{3}$ ，i++自增到4

……

$i=n-1$ 时：当前项 $a_{i}=a_{n-1}$ ，求和sum= $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n-1}$ ，i++自增到n

$i=n$ 时：当前项 $a_{i}=a_{n}$ ，求和sum= $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n-1}+a_{n}$ ，i++自增到n+1

$i=n+1$ 时：i<=n为假，循环结束

最终求和sum的值： $sum=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n-1}+a_{n}$

求和式的数乘规则（提取常数）：

$\sum\limits_{i=1}^{n} (c\cdot a_{i})=c\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}$ （其中c为常数）

求和式的加法规则（减法同理）：

$\sum\limits_{i=1}^{n} (a_{i}+b_{i})=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}+\sum\limits_{i=1}^{n} b_{i}$

求和式的分段规则：

$\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}=\sum\limits_{i=1}^{m}a_{i}+\sum\limits_{i=m+1}^{n}a_{i}$ （其中 $1\leqslant m< m+1\leqslant n$ ）

求和式的上下限变换规则：

$\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}=\sum\limits_{i=1+k}^{n+k} a_{i-k}$

上述规则为简便起见，求和上下限都是从1到n

实际遇到的求和式上下限不一定是从1到n

有可能是从0到k，从m到n+1，从0到n-1-i，……

但是均适用上述规则

四、嵌套无关循环和嵌套相关循环

下面区分一下嵌套无关循环和嵌套相关循环

（有点类似于SQL的不相关子查询和相关子查询）

【例2】嵌套无关循环，内层循环条件与外层循环变量无关

int n,i,j;
int a=0;
scanf("%d", &n);
for(i=1; i<=n; i++)
{for(j=1; j<=n; j++){a++;}
}

可以看到内层循环条件是 j<=n，j 从1到n，执行n次

无论外层循环变量 i 取何值，每轮内层循环都会执行n次

计算时间复杂度

1.基本语句：a++;

2.基本语句的语句频度： $\Large \sum\limits_{i=1}^{n}1 \times \sum\limits_{j=1}^{n}1=n \times n=n^{2}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n^{2})$

解释一下，这里的语句频度是怎么列式出来的

嵌套无关循环，所以内外层循环互不干扰，语句频度独立计算

因为外层循环条件是 i<=n ，所以 i 能取的最大值（即求和上限）是：n

因为外层循环变量初始化是 i=1，所以 i 能取的最小值（即求和下限）是：1

（通常情况，求和下限直接照抄循环变量初始化即可，后续不再赘述）

而内层循环可以看作是外层循环体的1条基本语句，则求和表达式（通项公式）是1

所以外层循环的语句频度为

$\sum\limits_{i=1}^{n}1 =\overbrace{1+\cdots +1}^{n} = n$

因为内层循环条件是 j<=n ，所以 j 能取的最大值（即求和上限）是：n

内层循环体只有1条基本语句：a++; 则求和表达式（通项公式）是1

所以内层循环的语句频度为

$\sum\limits_{j=1}^{n}1 =\overbrace{1+\cdots +1}^{n} = n$

只有当内外层循环都结束时，算法才结束

（即算法结束需要分内层循环、外层循环两个步骤）

根据统计学的乘法原理，需要把二者相乘得

$\sum\limits_{i=1}^{n}1 \times \sum\limits_{j=1}^{n}1=n \times n=n^{2}$

语句频度是 $n^{2}$ ，数量级为 $n^{2}$ ，则时间复杂度为 $O(n^{2})$

其实【例1】就是嵌套无关循环，再把【例1】的代码贴过来

int n,i,j,k;
int a=0,b1=0,b2=0,c1=0,c2=0,c3=0;
scanf("%d", &n);
for(i=1; i<=n; i++)
{a++;for(j=1; j<=n; j++){b1++;b2++;for(k=1; k<=n; k++){c1++;c2++;c3++;}}
}

按现在的步骤重新计算时间复杂度

1.基本语句：

c1++;

c2++;

c3++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{i=1}^{n}1 \times \sum\limits_{j=1}^{n}1 \times \sum\limits_{k=1}^{n}3=n \times n \times 3n=3n^{3}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n^{3})$

解释一下，这里的语句频度是怎么列式出来的

嵌套无关循环，所以内外层循环互不干扰，语句频度独立计算

将前两层循环与第三层循环分开计算：

因为内层循环可以看作是外层循环体的1条基本语句

所以前两层循环可以直接参考【例2】，列式为

$\sum\limits_{i=1}^{n}1 \times \sum\limits_{j=1}^{n}1$

基本语句是对算法的执行时间贡献最大的语句

所以基本语句是第三层循环体中的3条语句：c1++; c2++; c3++;

所以第三层循环的求和表达式（通项公式）是3，列式为

$\sum\limits_{ k=1}^{n}3 =\overbrace{3+\cdots +3}^{n} = 3n$

将其展开，其实就是n个3相加，结果为3n

或者根据求和式的数乘规则，将常数提出

$\sum\limits_{ k=1}^{n}3=3\sum\limits_{ k=1}^{n}1 =3\times (\overbrace{1+\cdots +1}^{n}) =3\times n = 3n$

提取常数可以理解为乘法分配律的逆运算

$c\times a+c\times b=c\times (a+b)$

将a=1, b=1, c=3代入得

$3\times 1+3\times 1=3\times (1+1)$

只不过现在不是2项，而是n项

$\overbrace{3\times1+\cdots+3\times1}^{n}=3\times (\overbrace{1+\cdots+1}^{n})=3\sum\limits_{ i=1}^{n}1$

根据统计学的乘法原理，将前两层求和式与第三层求和式相乘得语句频度

$\sum\limits_{i=1}^{n}1 \times \sum\limits_{j=1}^{n}1 \times \sum\limits_{k=1}^{n}3=n \times n \times 3n=3n^{3}$

虽然语句频度是 $3n^{3}$ ，但省略系数后，数量级为 $n^{3}$ ，则时间复杂度为 $O(n^{3})$

【例3】嵌套相关循环，内层循环条件与外层循环变量相关

int n,i,j;
int a=0;
scanf("%d", &n);
for(i=1; i<=n; i++)
{for(j=1; j<=i; j++){a++;}
}

可以看到内层循环条件是 j<=i，j 从1到 i，执行 i 次

当外层循环变量 i 的值发生改变时，内层循环的执行次数也会随之改变

计算时间复杂度

1.基本语句：a++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{i} 1=\sum\limits_{i=1}^{n} i=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n^{2})$

解释一下，这里的语句频度是怎么列式出来的

因为是嵌套相关循环，内外层循环相关，不能分开计算

因为外层循环条件是 i<=n ，所以 i 能取的最大值（即求和上限）是：n

因为内层循环条件是 j<=i ，所以 j 能取的最大值（即求和上限）是：i

二层循环体只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

二层循环（双重循环）计算语句频度需要写成双重求和

$\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{i} 1$

双重求和可以加括号以区分

$\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{i} 1=\sum\limits_{i=1}^{n} (\sum\limits_{j=1}^{i} 1)$

可以类比复合函数，先计算括号内的

$\sum\limits_{j=1}^{i}1 =\overbrace{1+\cdots +1}^{i} = i$

（这里只不过是把求和上限从n变成 i，与前面本质相同，就是 i 个1相加）

将括号内的求和式替换为计算结果，双重求和变为

$\sum\limits_{i=1}^{n} (\sum\limits_{j=1}^{i} 1)=\sum\limits_{i=1}^{n} i$

注意，当求和变量 $i$ 与通项公式 $a_{i}$ 的下标是相同符号时，代表累加的项随求和变量进行变化（如下所示）

$\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots + a_{n}$

本题比较特殊，通项公式就是求和变量： $a_{i}=i$

$\sum\limits_{i=1}^{n} i=1+2+3+\cdots +n$

求和变量 i 从 1 到 n，则通项公式也是从 1 到 n，求和式整体即从1累加到n

此时变为等差数列求和，代入等差数列求和公式

$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$

得到语句频度

$\sum\limits_{i=1}^{n} i=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

将其展开得

$\frac{n(n+1)}{2}=\frac{1}{2}n^{2}+\frac{1}{2}n$

省略系数和无关项后，数量级为 $n^{2}$ ，则时间复杂度为 $O(n^{2})$

五、常见的时间复杂度

下面介绍常见的时间复杂度

将各时间复杂度当作函数，里面的自变量n就是问题规模

因为问题规模(n)是描述问题大小的非负整数 $(n\geqslant 0)$

所以比较时间复杂度只需看第一象限

比较时间复杂度，通常按问题规模(n)趋于无穷大（ $n \to \infty$ ）来比较

所以常见时间复杂度关系如下：

$\begin{matrix} O(2^n)>O(n^3)>O(n^2)>O(nlog_{2}n)>O(n)>O(\sqrt{n})>O(log_{2}n)>O(1) \end{matrix}$

但是上图为了看清每个函数的趋势，对自变量问题规模(n)的取值范围过小，导致误解

误解一：对 $2^{n}$ 和 $n^{3}$ 的增长速率产生误解

下面将 $2^{n}$ 和 $n^{3}$ 单独画出，并扩大取值范围

可以看到 $2^{n}$ 和 $n^{3}$ 这两个函数在第一象限有两个交点

一个交点在 $n \in[1,2]$ 区间内（如果看不清可以看第一张函数图）

另一个交点在 $n \in[9,10]$ 区间内

在第二次相交后， $2^{n}$ 的增长速率明显要比 $n^{3}$ 快

所以当问题规模(n)趋于无穷大时： $O(2^n)>O(n^3)$

误解二：对 $\sqrt{n}$ 和 $log_{2}n$ 的增长速率产生误解

在第一张函数图中这两个函数图像几乎重合

下面将 $\sqrt{n}$ 和 $log_{2}n$ 单独画出来，并扩大取值范围

可以看到 $\sqrt{n}$ 和 $log_{2}n$ 这两个函数在第一象限有两个交点（4，2）和（16，4）

在第二次相交后， $\sqrt{n}$ 的增长速率明显要比 $log_{2}n$ 快

所以当问题规模(n)趋于无穷大时： $O(\sqrt{n})>O(log_{2}n)$

题目选项可能会把 $\sqrt{n}$ 写成幂次形式 $n^{\frac{1}{2}}$ ，上式变为： $O(n^{\frac{1}{2}})>O(log_{2}n)$

（一）常数阶

【例4.1】常数阶 $O(1)$

int i,x=0,s=0;
for(i=0;i<1000;i++)
{x++;s+=x;
}

这个例子是我特意挑的

因为它的for循环从0开始，循环条件是<

而前面的for循环都是从1开始，循环条件是<=

计算时间复杂度

1.基本语句：

x++;

s+=x;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{i=0}^{999} 2=\sum\limits_{i=1}^{1000} 2=\overbrace{2+\cdots + 2}^{1000} =2000$

3.时间复杂度： $T(n)=O(1)$

因为循环条件是 i<1000 ，所以 i 能取的最大值（即求和上限）是：1000-1=999

0—999和1—1000在循环的执行次数没有区别，都是1000次

如果反应不过来，那就将0—999同时加1

相当于在数轴上将0—999整体向右移1个单位，得到1—1000

比如1—5就执行5次，1—200就执行200次，1—1000就执行1000次

for循环有2条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是2，列式为

$\sum\limits_{i=0}^{999} 2$

根据求和式的上下限变换规则

$\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}=\sum\limits_{i=1+k}^{n+k} a_{i-k}$

本例的通项公式是常数2，没有下标（或者说无论下标如何变化，通项不变）

$a_{1}=2,\ a_{2}=2,\ \cdots ,\ a_{n}=2$

所以只变换求和上下限

$\sum\limits_{i=0}^{999} 2=\sum\limits_{i=0+1}^{999+1} 2=\sum\limits_{i=1}^{1000} 2=\overbrace{2+\cdots + 2}^{1000} =2000$

在变换求和上下限后，也可根据求和式的数乘规则，提出常数再计算

$\sum\limits_{i=1}^{1000} 2=2\sum\limits_{i=1}^{1000} 1=2\times (\overbrace{1+\cdots + 1}^{1000}) = 2\times1000=2000$

算出语句频度为2000（常数），数量级为 $1$ ，则时间复杂度为 $O( 1 )$

以后只要见到语句频度是常数，不带问题规模(n)，那么时间复杂度就是 $O( 1 )$

【例4.2】常数阶 $O(1)$

int x=90,y=100; 
while(y>0)
{if(x>100) {x=x-10;y--;} else {x++;}
}

这道题挺唬人，一时间还不好算出来

但是如果你看出循环变量初始化和循环条件都是常数，不带问题规模(n)

那么语句频度肯定是常数，一秒即可得出时间复杂度为 $O(1)$

计算时间复杂度

1.基本语句：

x=x-10;

y--;

x++;

2.基本语句的语句频度： $100\times(11+1)+1=100\times12+1=1201$

3.时间复杂度： $T(n)=O(1)$

如果仍要算出语句频度，就得代入看逻辑了

【第1轮】

x==90，不满足x>100，进else：x++（自增到91）

x==91，不满足x>100，进else：x++（自增到92）

……

x==101，满足x>100，进if：x=x-10（减到91）; y--（自减到99）

【第2轮】

x==91，不满足x>100，进else：x++（自增到92）

……

x==101，满足x>100，进if：x=x-10（减到91）; y--（自减到98）

【第3轮】

x==91，不满足x>100，进else：x++（自增到92）

……

x==101，满足x>100，进if：x=x-10（减到91）; y--（自减到97）

……

【第100轮】

x==91，不满足x>100，进else：x++（自增到92）

……

x==101，满足x>100，进if：x=x-10（减到91）; y--（自减到0）

以此类推，可以看到，除第1轮有x==90，其余轮次均是 x从91增到101，每轮循环执行11次

有人看到执行11次可能反应不过来，那就将91—101同时减90

相当于在数轴上将91—101整体向左移90个单位，得到1—11，这肯定是11次

注意，每轮最后x==101时，执行的不是else中的1条语句，而是if中的2条语句

所以每轮的语句频度要比循环执行次数多1，即 $11+1=12$

语句频度与循环执行次数不一定相等，因为循环体可以有多条语句

可以看到，每轮最后都会让y自减：y--

因为while循环条件是 y>0，循环变量 y 能取的最小值（即求和下限）是1

所以 y从100减到1，循环共执行100轮

100轮，每轮执行11+1=12次，计算语句频度

$100\times(11+1)=100\times12=1200$

看起来似乎是正确的，但是前面说了除第1轮有x==90，其余都没有

所以还得把x==90时，多执行的1条语句：x++; 也算上，才是最终的语句频度

$100\times(11+1)+1=100\times12+1=1201$

不过这只是探究罢了，实际上不需要算出语句频度，只要看出是常数，时间复杂度就是 $O(1)$

（二）线性阶

【例5】线性阶 $O(n)$

int n,i,t,a[100];
scanf("%d", &n);
for(i=0; i<n/2; i++) 
{ t=a[i]; a[i]=a[n-1-i]; a[n-1-i]=t; 
}

计算时间复杂度

1.基本语句：

t=a[i];

a[i]=a[n-1-i];

a[n-1-i]=t;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{i=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor } 3=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor +1} 3=\overbrace{3+\cdots + 3}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1} =3\times (\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1)$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n)$

首先说明一下， $\lfloor \ \rfloor$ 这个符号代表向下取整

向下取整，如果不是整数，则只保留整数部分，忽略小数部分

向下取整，如果是整数，则仍是自身

$\lfloor 3.9 \rfloor=3$ ，向下取整得 3

$\lfloor 16.183 \rfloor=16$ ，向下取整得16

$\lfloor 7 \rfloor=7$ ，整数向下取整，仍是自身

因为循环条件是 $i<\frac{n}{2}$

但n不确定是奇数还是偶数，所以 $\frac{n}{2}$ 不能确定是小数还是整数

下面分情况讨论

当n为奇数时，设 $n=2x+1$ （x是整数）

代入循环条件 $i<\frac{n}{2}$ ，得 $i<\frac{2x+1}{2}$ ，即 $i<x+\frac{1}{2}$

因为x是整数，所以整数 i 的最大值 $i_{max}=x$

前面设 $n=2x+1$ ，反之 $x=\frac{n-1}{2}$

将其代入 $i_{max}=x$ 得

奇数情况最大值 $i_{max}=x=\frac{n-1}{2}$

当n为偶数时，设 $n=2x$ （x是整数）

代入循环条件 $i<\frac{n}{2}$ ，得 $i<\frac{2x}{2}$ ，即 $i<x$

因为x是整数，所以整数 i 的最大值 $i_{max}=x-1$

前面设 $n=2x$ ，反之 $x=\frac{n}{2}$

将其代入 $i_{max}=x-1$ 得

偶数情况最大值 $i_{max}=x-1=\frac{n}{2}-1$

两种情况的最大值表达式不一样，如何统一呢

前面提到的 $\lfloor \ \rfloor$ 向下取整就派上用场了

先假设，最大值公式可用向下取整统一为，奇数情况最大值： $i_{max}=\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$

因为该式是从奇数情况推导出的，所以奇数肯定没问题

代入验证偶数情况，如果计算结果与偶数情况最大值相同，说明可以统一

当n为偶数时，设 $n=2x$ （x是整数）

代入上式得

$i_{max}=\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor=\lfloor \frac{2x-1}{2} \rfloor$

进一步化简得

$i_{max} = \lfloor \frac{2x-1}{2} \rfloor \\[1.5ex] =\lfloor \frac{2x-1-1+1}{2} \rfloor \\[1.5ex] =\lfloor \frac{2x-2+1}{2} \rfloor \\[1.5ex] =\lfloor \frac{2(x-1)+1}{2} \rfloor \\[1.5ex] =\lfloor \frac{2(x-1)}{2} + \frac{1}{2} \rfloor\\[1.5ex]=\lfloor (x-1)+ \frac{1}{2} \rfloor \\[1.5ex] =x-1$

解释一下，因为 $x$ 是整数，所以 $x-1$ 也是整数

所以向下取整时，只保留整数部分： $x-1$ ，忽略小数部分： $\frac{1}{2}$

前面设 $n=2x$ ，反之 $x=\frac{n}{2}$

将其代入得 $i_{max}=x-1=\frac{n}{2}-1$

将计算结果与偶数情况最大值 $i_{max}=\frac{n}{2}-1$ 进行对照

可以看到，两式均为 $\frac{n}{2}-1$ ，则偶数情况也成立，所以可以统一为 $i_{max}=\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$

再假设，最大值公式可用向下取整统一为，偶数情况最大值： $i_{max}=\lfloor \frac{n}{2}-1 \rfloor$

因为该式是从偶数情况推导出的，所以偶数肯定没问题

代入验证奇数情况，如果计算结果与奇数情况最大值相同，说明可以统一

当n为奇数时，设 $n=2x+1$ （x是整数）

代入上式得

$i_{max}=\lfloor \frac{n}{2}-1 \rfloor=\lfloor \frac{2x+1}{2}-1 \rfloor$

进一步化简得

$i_{max}=\lfloor \frac{2x+1}{2}-1 \rfloor\\[1.5ex] =\lfloor \frac{2x+1}{2}-\frac{2}{2} \rfloor\\[1.5ex] =\lfloor \frac{2x+1-2}{2} \rfloor\\[1.5ex] =\lfloor \frac{2x-2+1}{2} \rfloor\\[1.5ex] =\lfloor \frac{2(x-1)+1}{2} \rfloor\\[1.5ex] =\lfloor \frac{2(x-1)}{2} + \frac{1}{2} \rfloor\\[1.5ex] =\lfloor (x-1)+\frac{1}{2} \rfloor\\[1.5ex] =x-1$

因为 $x$ 是整数，所以 $x-1$ 也是整数

所以向下取整时，只保留整数部分： $x-1$ ，忽略小数部分： $\frac{1}{2}$

前面设 $n=2x+1$ ，反之 $x=\frac{n-1}{2}$

将其代入得 $i_{max}=x-1=\frac{n-1}{2}-1$

将计算结果与奇数情况最大值 $i_{max}=\frac{n-1}{2}$ 进行对照

可以看到，两式一个为 $\frac{n-1}{2}-1$ ，另一个为 $\frac{n-1}{2}$ ，则奇数情况不成立，所以不能统一

将n=1到10的计算结果列成表格，也能看出本式不符合

最终统一为奇数情况最大值 $i_{max}=\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$

所以 i 的最大值（求和上限）表示为 $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor$

循环变量 i 的变化区间是 $0\sim \lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor$

如果看不出执行次数，则同时+1

相当于在数轴上将 $0 \sim\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor$ 整体向右移1个单位，得 $1 \sim (\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1)$

则循环实际执行次数为 $\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1$ （这是因为 i 从0开始，所以执行次数要多1）

for循环有3条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是3，列式为

$\sum\limits_{i=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} 3$

根据求和式的上下限变换规则

$\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}=\sum\limits_{i=1+k}^{n+k} a_{i-k}$

本例的通项公式是常数3，没有下标，所以只变换求和上下限

$\sum\limits_{i=0}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor} 3=\sum\limits_{i=0+1}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1 } 3=\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1 } 3=\overbrace{3+\cdots + 3}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1} =3\times (\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1)$

在变换求和上下限后，也可根据求和式的数乘规则，提出常数再计算

$\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1 } 3 =3\sum\limits_{i=1}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1 } 1 =3\times (\overbrace{1+\cdots + 1}^{\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1}) =3\times (\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor+1)$

省略系数和无关项后，数量级为 $n$ ，则时间复杂度为 $O(n)$

（三）平方阶

【例6.1】平方阶 $O(n^{2})$

int n,i,j;
int a=0;
scanf("%d", &n);
for(i=0; i<n; i++)
{for(j=0; j<i; j++){a++;}
}

本例与【例3】嵌套相关循环略有不同，循环变量 i , j 不是从1开始，而是从0开始；循环条件不是<=，而是<

计算时间复杂度

1.基本语句：a++;

2.基本语句的语句频度： $\begin{matrix} \sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^{i-1} 1=\sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=1}^{i} 1=\sum\limits_{i=0}^{n-1} i=0+1+2+\cdots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2} \end{matrix}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n^{2})$

与【例3】嵌套相关循环同理，内外层循环相关，不能分开计算

因为外层循环条件是 i<n ，所以 i 能取的最大值（即求和上限）是：n-1

因为内层循环条件是 j<i ，所以 j 能取的最大值（即求和上限）是：i-1

二层循环体只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

二层循环（双重循环）计算语句频度需要写成双重求和

$\sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^{i-1} 1$

双重求和可以加括号以区分

$\sum\limits_{i=0}^{n-1} \sum\limits_{j=0}^{i-1} 1=\sum\limits_{i=0}^{n-1} (\sum\limits_{j=0}^{i-1} 1)$

可以类比复合函数，先计算括号内的

根据求和式上下限变换规则

$\sum\limits_{j=0}^{i-1} 1=\sum\limits_{j=0+1}^{i-1+1} 1=\sum\limits_{j=1}^{i} 1$

将其展开得

$\sum\limits_{j=1}^{i}1 =\overbrace{1+\cdots +1}^{i} = i$

将括号内的求和式替换为计算结果，双重求和式变为

$\sum\limits_{i=0}^{n-1} (\sum\limits_{j=0}^{i-1} 1)=\sum\limits_{i=0}^{n-1} i$

这里比较特殊，通项公式就是求和变量： $a_{i}=i$

$\sum\limits_{i=0}^{n-1} i=0+1+2+\cdots +(n-1)$

求和变量 i 从 0 到 n-1，则通项公式也是从 0 到 n-1，求和式整体即从0累加到n-1

此时变为等差数列求和，代入等差数列求和公式

$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$

得到语句频度

$\sum\limits_{i=0}^{n-1} i=0+1+2+\cdots +(n-1)=\frac{n(n-1)}{2}$

将其展开得

$\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n$

除了上述解法，其实还可以使用求和式的上下限变换规则

求和上下限变换（+1），通项下标也对应变换（-1）

这里比较特殊，因为通项公式 $a_{i}=i$ ，所以变换为 $a_{i-1}=i-1$

$\sum\limits_{i=0}^{n-1} i =\sum\limits_{i=0+1}^{n-1+1} (i-1) =\sum\limits_{i=1}^{n} (i-1)$

再使用求和式的加法规则（减法同理）进行拆分

$\sum\limits_{i=1}^{n} (i-1) =\sum\limits_{i=1}^{n} i-\sum\limits_{i=1}^{n} 1$

同样可以得到语句频度

$\sum\limits_{i=1}^{n} i-\sum\limits_{i=1}^{n} 1=\frac{n(n+1)}{2}-n=\frac{n^{2}+n-2n}{2}=\frac{n^{2}-n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$

将其展开得

$\frac{n(n-1)}{2}=\frac{1}{2}n^{2}-\frac{1}{2}n$

省略系数和无关项后，数量级为 $n^{2}$ ，则时间复杂度为 $O(n^{2})$

【例6.2】平方阶 $O(n^{2})$ ——冒泡排序（最坏情况）

int n,i,j,t,a[100];
scanf("%d", &n);
for(i=0; i<n; i++)
{scanf("%d", &a[i]);
}
for(i=0; i<n-1; i++)
{for(j=0; j<n-1-i; j++){if(a[j]>a[j+1]){t=a[j];a[j]=a[j+1];a[j+1]=t;}}
}
for(i=0; i<n; i++)
{printf("%d ", a[i]);
}

计算时间复杂度

1.基本语句：

t=a[j];

a[j]=a[j+1];

a[j+1]=t;

2.基本语句的语句频度：

$\begin{matrix} \sum\limits_{i=0}^{n-2} \sum\limits_{j=0}^{n-2-i} 3=\sum\limits_{i=0}^{n-2} \sum\limits_{j=1}^{n-1-i} 3= \sum\limits_{i=0}^{n-2}3 (n-1-i)= 3\sum\limits_{i=0}^{n-2} (n-1-i)=3[\sum\limits_{i=0}^{n-2} (n-1)-\sum\limits_{i=0}^{n-2} i]=\frac{3}{2}n(n-1) \end{matrix}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n^{2})$

代码中有三个for循环

第1个是一层for循环，输入数据，执行n次

第2个是二层for循环，冒泡排序，外层循环执行n-1次，且内层循环次数与 i 相关，所以执行次数肯定>n

第3个是一层for循环，输出数据，执行n次

假设当前冒泡排序为最坏情况（逆序），每次循环都会交换变量

所以基本语句是二层for循环体中的3条交换语句，则求和表达式（通项公式）是 3

基本语句所在的二层for循环是嵌套相关循环，内外层循环相关，不能分开计算

因为外层循环条件是 i<n-1 ，所以 i 能取的最大值（即求和上限）是：(n-1)-1=n-2

因为内层循环条件是 j<n-1-i ，所以 j 能取的最大值（即求和上限）是：(n-1-i)-1=n-2-i

二层循环（双重循环）计算语句频度需要写成双重求和

$\sum\limits_{i=0}^{n-2} \sum\limits_{j=0}^{n-2-i} 3$

双重求和可以加括号以区分

$\sum\limits_{i=0}^{n-2} \sum\limits_{j=0}^{n-2-i} 3=\sum\limits_{i=0}^{n-2} (\sum\limits_{j=0}^{n-2-i} 3)$

可以类比复合函数，先计算括号内的

根据求和式的上下限变换规则

$\sum\limits_{j=0}^{n-2-i} 3=\sum\limits_{j=0+1}^{n-2-i+1} 3=\sum\limits_{j=1}^{n-1-i} 3$

将其展开得

$\sum\limits_{j=1}^{n-1-i} 3 =\overbrace{3+\cdots+3}^{n-1-i} =3(n-1-i)$

（这里只不过是把求和上限变成 n-1-i，与前面本质相同，就是 n-1-i 个1相加）

将括号内的求和式替换为计算结果，双重求和变为

$\sum\limits_{i=0}^{n-2} (\sum\limits_{j=0}^{n-2-i} 3)=\sum\limits_{i=0}^{n-2} [3(n-1-i)]$

根据求和式的数乘规则，将常数提出

$\sum\limits_{i=0}^{n-2} [3(n-1-i)]=3\sum\limits_{i=0}^{n-2} (n-1-i)$

根据求和式的加法规则（减法同理），进行拆分

$3\sum\limits_{i=0}^{n-2} (n-1-i)=3[\sum\limits_{i=0}^{n-2} (n-1)-\sum\limits_{i=0}^{n-2} i]$

将两个求和式分别计算：

第一个求和式

根据求和式的上下限变换规则，通项公式(n-1)与求和变量 i 无关，可以看作常数，所以只变换求和上下限

$\sum\limits_{i=0}^{n-2} (n-1) =\sum\limits_{i=0+1}^{n-2+1} (n-1)=\sum\limits_{i=1}^{n-1} (n-1)$

将其展开得

$\sum\limits_{i=1}^{n-1} (n-1)=\overbrace{(n-1)+\cdots+(n-1)}^{n-1}=(n-1)(n-1)$

第二个求和式

将其展开得

$\sum\limits_{i=0}^{n-2} i=0+\cdots+(n-2)=\frac{(n-1)(0+n-2)}{2}=\frac{(n-1)(n-2)}{2}$

将两式结果代入得到语句频度

$3[\sum\limits_{i=1}^{n-1} (n-1)-\sum\limits_{i=0}^{n-2} i]\\[1.5ex] =3[(n-1)(n-1)-\frac{(n-1)(n-2)}{2}]\\[1.5ex] =\frac{3}{2}[2(n-1)(n-1)-(n-1)(n-2)]\\[1.5ex] =\frac{3}{2}(n-1)[2(n-1)-(n-2)]\\[1.5ex] =\frac{3}{2}(n-1)(2n-2-n+2)\\[1.5ex] =\frac{3}{2}(n-1)n\\[1.5ex] =\frac{3}{2}n(n-1)$

将其展开得

$\frac{3}{2}n(n-1)=\frac{3}{2}n^{2}-\frac{3}{2}n$

省略系数和无关项后，数量级为 $n^{2}$ ，则时间复杂度为 $O(n^{2})$

【例6.3】 $O(n\times m)$

int n,m,i,j,a[10][10];
scanf("%d%d", &n, &m);
for(i=0; i<n; i++)
{for(j=0; j<m; j++) {a[i][j]=i*m+j;}
}

注意，本例的问题规模由n和m共同决定

计算时间复杂度

1.基本语句：a[i][j]=i*m+j;

2.基本语句的语句频度： $\Large \sum\limits_{i=0}^{n-1}1 \times \sum\limits_{j=0}^{m-1}1=\Large \sum\limits_{i=1}^{n}1 \times \sum\limits_{j=1}^{m}1=n \times m$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n\times m )$

嵌套无关循环，所以内外层循环互不干扰，语句频度独立计算

因为外层循环条件是 i<n ，所以 i 能取的最大值（即求和上限）是：n-1

而内层循环可以看作是外层循环体的1条基本语句，则求和表达式（通项公式）是1

所以外层循环的语句频度为（上下限变换规则）

$\sum\limits_{i=0}^{n-1}1=\sum\limits_{i=0+1}^{n-1+1}1=\sum\limits_{i=1}^{n}1 = n$

因为内层循环条件是 j<m ，所以 j 能取的最大值（即求和上限）是：m-1

内层循环体只有1条基本语句：a[i][j]=i*m+j; 则求和表达式（通项公式）是1

所以内层循环的语句频度为（上下限变换规则）

$\sum\limits_{j=0}^{m-1}1=\sum\limits_{j=0+1}^{m-1+1}1=\sum\limits_{j=1}^{m}1 = m$

只有当内外层循环都结束时，算法才结束

（即算法结束需要分内层循环、外层两循环个步骤）

根据统计学的乘法原理，需要把二者相乘得语句频度

$\Large \sum\limits_{i=0}^{n-1}1 \times \sum\limits_{j=0}^{m-1}1=\Large \sum\limits_{i=1}^{n}1 \times \sum\limits_{j=1}^{m}1=n \times m$

因为问题规模由n和m共同决定，不能合并，所以数量级为 $n\times m$ ，时间复杂度为 $O(n\times m)$

（四）立方阶

【例7.1】立方阶 $O(n^{3})$

int n,i,j,k,a=0;
scanf("%d", &n);
for(i=1; i<=n; i++)
{for(j=1; j<=n; j++){for(k=1; k<=j; k++){a++;}}
}

可以看到，第二层循环条件是 j<=n，与第一层循环变量 i 无关，j 从1到 n，执行 n 次

无论第一层循环变量 i 取何值，第二层循环都会执行n次

可以看到，第三层循环条件是 k<=j，与第二层循环变量 j 相关，k 从1到 j，执行 j 次

当第二层循环变量 j 的值发生改变时，第三层循环的执行次数也会随之改变

计算时间复杂度

1.基本语句：a++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{i=1}^{n}1 \times \sum\limits_{j=1}^{n} \sum\limits_{k=1}^{j} 1 =n \times \sum\limits_{j=1}^{n}j =n \times \frac{n(n+1)}{2} =\frac{n^{2}(n+1)}{2}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n^{3})$

第一层是嵌套无关循环，语句频度独立计算

因为第一层循环条件是 i<=n ，所以 i 能取的最大值（即求和上限）是：n

内层循环可以看作是外层循环体的1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

所以第一层循环的求和式为

$\sum\limits_{i=1}^{n}1=\overbrace{1+\cdots +1}^{n}=n$

第二、三层是嵌套相关循环，不能分开计算

因为第二层循环条件是 j<=n ，所以 j 能取的最大值（即求和上限）是：n

因为第三层循环条件是 k<=j ，所以 k 能取的最大值（即求和上限）是：j

内层循环体只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

所以第二、三层循环的求和式为

$\sum\limits_{j=1}^{n} \sum\limits_{k=1}^{j} 1$

双重求和可以加括号以区分

$\sum\limits_{j=1}^{n} \sum\limits_{k=1}^{j} 1 =\sum\limits_{j=1}^{n} (\sum\limits_{k=1}^{j} 1)$

可以类比复合函数，先计算括号内的

$\sum\limits_{k=1}^{j}1 =\overbrace{1+\cdots +1}^{j} = j$

将括号内的求和式替换为计算结果

$\sum\limits_{j=1}^{n} (\sum\limits_{k=1}^{j} 1)=\sum\limits_{j=1}^{n} j$

将其展开得到

$\sum\limits_{j=1}^{n}j =1+\cdots +n$

这里比较特殊，通项公式就是求和变量： $a_{j}=j$

求和变量 j 从 1 到 n，则通项公式也是从 1 到 n，求和式整体即从1累加到 n

此时变为等差数列求和，代入等差数列求和公式

$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$

得到

$\sum \limits_{j=1}^{n}j =1+\cdots +n = \frac{n(n+1)}{2}$

只有当第一层和第二、三层循环都结束时，算法才结束

（即算法结束需要分第一层循环和第二、三层循环两个步骤）

根据统计学的乘法原理，需要把二者相乘得语句频度

$\sum\limits_{i=1}^{n}1 \times \sum\limits_{j=1}^{n} \sum\limits_{k=1}^{j} 1\\[1.5ex] =n \times \sum\limits_{j=1}^{n} (\sum\limits_{k=1}^{j} 1)\\[1.5ex] =n \times \sum\limits_{j=1}^{n}j\\[1.5ex] =n \times \frac{n(n+1)}{2}\\[1.5ex] =\frac{n^{2}(n+1)}{2}$

将其展开得

$\frac{n^{2}(n+1)}{2}=\frac{1}{2}n^{3} + \frac{1}{2}n^2$

省略系数和无关项后，数量级为 $n^{3}$ ，则时间复杂度为 $O(n^{3})$

【例7.2】立方阶 $O(n^{3})$

int n,i,j,k,a=0;
scanf("%d", &n);
for(i=1; i<=n; i++)
{for(j=1; j<=i; j++){for(k=1; k<=j; k++){a++;}}
}

可以看到，第二层循环条件是 j<=i，与第一层循环变量 i 相关，j 从1到 i，执行 i 次

当第一层循环变量 i 的值发生改变时，第二层循环的执行次数也会随之改变

可以看到，第三层循环条件是 k<=j，与第二层循环变量 j 相关，k 从1到 j，执行 j 次

当第二层循环变量 j 的值发生改变时，第三层循环的执行次数也会随之改变

计算时间复杂度

1.基本语句：a++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{i} \sum\limits_{k=1}^{j} 1 =\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{i} j =\sum\limits_{i=1}^{n} (\frac{i^{2}+i}{2}) = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}i^{2}+\sum\limits_{i=1}^{n}i}{2} = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n^{3})$

嵌套相关循环，一、二、三层循环相关，不能分开计算

因为第一层循环条件是 i<=n ，所以 i 能取的最大值（即求和上限）是：n

因为第二层循环条件是 j<=i ，所以 j 能取的最大值（即求和上限）是：i

因为第三层循环条件是 k<=j ，所以 k 能取的最大值（即求和上限）是：j

第三层循环体只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

三层循环（三重循环）计算语句频度需要写成三重求和

$\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{i} \sum\limits_{k=1}^{j} 1$

三重求和可以加括号以区分

$\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{i} \sum\limits_{k=1}^{j} 1 =\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{i} (\sum\limits_{k=1}^{j} 1)$

可以类比复合函数，先计算括号内的

$\sum\limits_{k=1}^{j}1 =\overbrace{1+\cdots +1}^{j} = j$

将括号内的求和式替换为计算结果，三重求和变为双重求和

$\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{i} (\sum\limits_{k=1}^{j} 1)= \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{i} j$

双重求和也可以加括号以区分

$\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{i} j =\sum\limits_{i=1}^{n} (\sum\limits_{j=1}^{i} j)$

可以类比复合函数，先计算括号内的

$\sum\limits_{j=1}^{i}j =1+\cdots +i$

这里比较特殊，通项公式就是求和变量： $a_{j}=j$

求和变量 j 从 1 到 i，则通项公式也是从 1 到 i，求和式整体即从1累加到 i

此时变为等差数列求和，代入等差数列求和公式

$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$

得到

$\sum\limits_{j=1}^{i}j =1+\cdots +i = \frac{i(i+1)}{2}$

将括号内的求和式替换为计算结果，双重求和变为

$\sum\limits_{i=1}^{n} (\sum\limits_{j=1}^{i} j) =\sum\limits_{i=1}^{n} [\frac{i(i+1)}{2}]$

将分子展开得

$\sum\limits_{i=1}^{n} [\frac{i(i+1)}{2}] =\sum\limits_{i=1}^{n} (\frac{i^{2}+i}{2})$

根据求和式的线性规则（数乘规则、加法规则）

对多项式求和就是对其中每一项分别应用求和运算

$\sum\limits_{i=1}^{n} (\frac{i^{2}+i}{2}) = \frac{\sum\limits_{i=1}^{n}i^{2}+\sum\limits_{i=1}^{n}i}{2}$

这两个求和式的值都是已知的

第一个求和式

$\sum\limits_{i=1}^{n}i^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

如果想了解如何推导出 $i^{2}$ 求和的值，可以看我的这篇文章：《求和式及其运算规则》

第二个求和式

$\sum\limits_{i=1}^{n}i=1+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$

将两式结果代入得到语句频度

$\frac{\sum\limits_{i=1}^{n}i^{2}+\sum\limits_{i=1}^{n}i}{2} \\[1.5ex] = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}}{2} \\[1.5ex] = \frac{1}{2} [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{n(n+1)}{2}]\\[1.5ex] = \frac{1}{2} [\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+\frac{3n(n+1)}{6}]\\[1.5ex] = \frac{1}{2} [\frac{n(n+1)(2n+1+3)}{6}] \\[1.5ex] = \frac{1}{2} [\frac{n(n+1)(2n+4)}{6}] \\[1.5ex] = \frac{1}{2} [\frac{n(n+1)2(n+2)}{6}] \\[1.5ex] = \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$

将其展开得

$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=\frac{1}{6}n^{3} + \frac{1}{2}n^2 +\frac{1}{3}n$

省略系数和无关项后，数量级为 $n^{3}$ ，则时间复杂度为 $O(n^{3})$

（五）对数阶

【例8.1】对数阶 $O(log_{2}n)$

int n,i,a=0;
scanf("%d", &n);
for(i=1; i<=n; i*=2)
{a++;
}

计算时间复杂度

1.基本语句：a++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor}=\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$

3.时间复杂度： $T(n)=O(log_{2}{n})$

因为本例的循环变量自增不是以往的 i++，而是 i*=2

所以循环变量 i 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环变量 i 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：i=1，则首项 $a_{1}=1$

循环变量自增：i*=2，则公比 $q=2$ ，即等比数列

等比数列通项公式： $a_{n}=a_{1}q^{n-1}=1\times 2^{n-1}=2^{n-1}$

则循环变量 i 随着通项公式改变

$i=a_{1}=2^{1-1}=2^{0}=1 \\[1.5ex] i=a_{2}=2^{2-1}=2^{1}=2 \\[1.5ex] i=a_{3}=2^{3-1}=2^{2}=4 \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] i=a_{x}=2^{x-1} \\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$i=2^{x-1}$

（注：此处及后续提到的 "最后一次循环" 均是指能进循环体的 "最后一次循环"）

又因为循环条件是 $i \leqslant n$

所以最后一次循环时 $i=n$ ，则

$i=2^{x-1}= n$

等式两边同时取对数

$x-1=log_{2}{(n)}$

移项，得到循环执行次数x的值

$x=log_{2}{(n)}+1$

但是循环执行次数只能是整数，所以x还要向下取整

$x=\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$

现在就可以列求和式计算了

for循环只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

令求和变量 x 从1到 $\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$ ，代表循环执行 $\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$ 次

则语句频度为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor}=\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$

省略系数和无关项后，数量级为 $log_{2}{n}$ ，则时间复杂度为 $O(log_{2}{n})$

【例8.2】对数阶 $O(log_{2}n)$

int n,i,a=0;
scanf("%d", &n);
for(i=2; i<n; i*=2)
{a++;
}

本例是对【例8.1】稍作修改，循环变量初始化：i=2，循环条件：i<n

计算时间复杂度

1.基本语句：a++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}(n) \rceil-1} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lceil log_{2}(n) \rceil-1}=\lceil log_{2}(n) \rceil-1$

3.时间复杂度： $T(n)=O(log_{2}{n})$

因为本例的循环变量自增不是以往的 i++，而是 i*=2

所以循环变量 i 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环变量 i 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：i=2，则首项 $a_{1}=2$

循环变量自增：i*=2，则公比 $q=2$ ，即等比数列

等比数列通项公式： $a_{n}=a_{1}q^{n-1}=2\times 2^{n-1}=2^{n}$

则循环变量 i 随着通项公式改变

$i=a_{1}=2^{1} \\[1.5ex] i=a_{2}=2^{2} \\[1.5ex] i=a_{3}=2^{3} \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] i=a_{x}=2^{x}$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$i=2^{x}$

又因为循环条件是 $i<n$

不等式两边不都是整数表达式，不好计算最后一次循环的x值

所以不追求列等式，而是直接将 $i=2^{x}$ 代入不等式，得

$i=2^{x}<n$

不等式两边同时取对数，得到循环执行次数x的范围

$x<log_{2}(n)$

但是循环执行次数只能是整数，所以x的最大值是

$x_{max}=\lceil log_{2}(n) \rceil-1$

到这你肯定很疑惑，这个最大值是怎么来的

首先说明一下， $\lceil \ \rceil$ 这个符号代表向上取整

向上取整，如果不是整数，则让整数部分加1，忽略小数部分

向上取整，如果是整数，则仍是自身

$\lceil 3.9 \rceil=4$ ，向上取整得 4

$\lceil 16.183 \rceil=17$ ，向上取整得17

$\lceil 7 \rceil=7$ ，整数向上取整，仍是自身

下面解释最大值如何得出

将对数 $log_{2}(n)$ 作为一个整体

设其整数部分为m，小数部分为f，则

$log_{2}(n)=m+f$

当小数部分不存在时（即 $f=0$ ），则 $m+f=m+0=m$

因为 $log_{2}(n)=m+f$ ，将对数整体代换得 $log_{2}(n)=m$

前面已推导出x的范围为 $x<log_{2}(n)$ ，将上式代入得 $x<m$

此时不等式两边都是整数，所以当小数部分不存在时，x的最大值 $x_{max}=m-1$

当小数部分存在时（即 $0<f<1$ ），则 $m<(m+f)<(m+1)$

因为 $log_{2}(n)=m+f$ ，将对数整体代换得 $m<log_{2}(n)<(m+1)$

前面已推导出x的范围为 $x<log_{2}(n)$ ，不等式放缩得 $x<(m+1)$

此时不等式两边都是整数，所以当小数部分存在时，x的最大值 $x_{max}=(m+1)-1=m$

可以用 $\lceil \ \rceil$ 向上取整将两种情况统一起来

当小数部分不存在时（即 $f=0$ ），前面整体代换已得 $log_{2}(n)=m$

m是整数，所以向上取整后仍为m，即 $\lceil log_{2}(n)\rceil=m$

代入小数部分不存在时，x的最大值 $x_{max}=m-1=\lceil log_{2}(n)\rceil-1$

当小数部分存在时（即 $0<f<1$ ），前面整体代换已得 $m<log_{2}(n)<(m+1)$

m是整数，则m+1也是整数，所以向上取整后为m+1，即 $\lceil log_{2}(n)\rceil=m+1$

代入小数部分存在时，x的最大值 $x_{max}=m=(m+1)-1=\lceil log_{2}(n)\rceil-1$

所以最终统一为

$x_{max}=\lceil log_{2}(n) \rceil-1$

如果设 $f(n)=log_{2}(n)$ ，可得出以下结论：

x是整数，不等式关系为 $x<f(n)$ ，则整数x的最大值 $x_{max}=\lceil f(n) \rceil -1$

这个可以作为普遍结论，因为推导的全程都是把 $log_{2}(n)$ 当作一个整体

顺便提一下，这个结论对于【例5】线性阶同样适用

再把【例5】的代码贴过来

int n,i,t,a[100];
scanf("%d", &n);
for(i=0; i<n/2; i++) 
{ t=a[i]; a[i]=a[n-1-i]; a[n-1-i]=t; 
}

根据上面的结论：

x是整数，不等式关系为 $x<f(n)$ ，则整数x的最大值 $x_{max}=\lceil f(n) \rceil -1$

代入【例5】：

i 是整数，不等式关系为 $i<\frac{n}{2}$ ，则整数 i 的最大值 $i_{max}=\lceil \frac{n}{2} \rceil-1$

所以【例5】的语句频度也可以表示为

$\sum\limits_{i=0}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil-1} 3 =\sum\limits_{i=0+1}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil-1 +1} 3 =\sum\limits_{i=1}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil} 3 =\overbrace{3+\cdots + 3}^{\lceil \frac{n}{2} \rceil} =3\times \lceil \frac{n}{2} \rceil$

省略系数后，数量级为 $n$ ，所以时间复杂度仍为 $O(n)$

将n=1到10的计算结果列成表格，也能看出本式是符合的

回到本题，现在就可以列求和式计算了

for循环只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

令求和变量 x 从1到 $\lceil log_{2}(n) \rceil-1$ ，代表循环执行 $\lceil log_{2}(n) \rceil-1$ 次

则语句频度为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}(n) \rceil-1} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lceil log_{2}(n) \rceil-1}=\lceil log_{2}(n) \rceil-1$

省略系数和无关项后，数量级为 $log_{2}{n}$ ，则时间复杂度为 $O(log_{2}{n})$

【例8.3】对数阶 $O(log_{3}{n})=O(log_{2}{n})=O(log\,{n})$

int n,i,a=0;
scanf("%d", &n);
for(i=2; i<=n; i*=3)
{a++;
}

计算时间复杂度

1.基本语句：a++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{3}{(n)}-log_{3}{(2)}+1 \rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor log_{3}{(n)}-log_{3}{(2)}+1 \rfloor}=\lfloor log_{3}{(n)}-log_{3}{(2)}+1 \rfloor$

3.时间复杂度： $T(n)=O(log_{3}{n})=O(log_{2}{n})=O(log\,{n})$

因为本例的循环变量自增不是以往的 i++，而是 i*=3

所以循环变量 i 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环变量 i 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：i=2，则首项 $a_{1}=2$

循环变量自增：i*=3，则公比 $q=3$ ，即等比数列

等比数列通项公式： $a_{n}=a_{1}q^{n-1}=2\times 3^{n-1}$

则循环变量 i 随着通项公式改变

$i=a_{1}=2\times 3^{1-1}=2\times 3^{0}=2\times 1=2 \\[1.5ex] i=a_{2}=2\times 3^{2-1}=2\times 3^{1}=2\times 3=6 \\[1.5ex] i=a_{3}=2\times 3^{3-1}=2\times 3^{2}=2\times 9=18 \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] i=a_{x}=2\times 3^{x-1}$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$i=a_{x}=2\times 3^{x-1}$

又因为循环条件是 $i \leqslant n$

所以最后一次循环时 $i=n$ ，则

$i=2\times 3^{x-1} = n$

等式两边同时除以2

$3^{x-1} = \frac{n}{2}$

等式两边同时取对数

$x-1=log_{3}{(\frac{n}{2})}$

根据对数的减法法则

$log_{a}{(\frac{M}{N})}=log_{a}{(M)}-log_{a}{(N)}$

等式右边可以拆分为

$log_{3}{(\frac{n}{2})}=log_{3}{(n)}-log_{3}{(2)}$

代入原式得

$x-1=log_{3}{(n)}-log_{3}{(2)}$

移项，得到循环执行次数x的值

$x=log_{3}{(n)}-log_{3}{(2)}+1$

但是循环执行次数只能是整数，所以x还要向下取整

$x=\lfloor log_{3}{(n)}-log_{3}{(2)}+1 \rfloor$

现在就可以列求和式计算了

for循环只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

令求和变量 x 从1到 $\lfloor log_{3}{(n)}-log_{3}{(2)}+1 \rfloor$ ，代表循环执行 $\lfloor log_{3}{(n)}-log_{3}{(2)}+1 \rfloor$ 次

则语句频度为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{3}{(n)}-log_{3}{(2)}+1 \rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor log_{3}{(n)}-log_{3}{(2)}+1 \rfloor}=\lfloor log_{3}{(n)}-log_{3}{(2)}+1 \rfloor$

其中 $log_{3}{(2)}$ 是常数

省略系数和无关项后，数量级为 $log_{3}{n}$ ，则时间复杂度为 $O(log_{3}{n})$

或根据对数的换底公式

$log_{a}{(b)}=\frac{log_{c}{(b)}}{log_{c}{(a)}}$

上面的对数可以改写为

$log_{3}{(n)}=\frac{log_{2}{(n)}}{log_{2}{(3)}}=\frac{1}{log_{2}{(3)}}log_{2}{(n)}$

$log_{3}{(2)}=\frac{log_{2}{(2)}}{log_{2}{(3)}}=\frac{1}{log_{2}{(3)}}$

则语句频度改写为

$\lfloor log_{3}{(n)}-log_{3}{(2)}+1 \rfloor=\lfloor \frac{1}{log_{2}{(3)}}log_{2}{(n)}-\frac{1}{log_{2}{(3)}}+1 \rfloor$

其中 $\frac{1}{log_{2}{(3)}}$ 是常数

省略系数和无关项后，数量级为 $log_{2}{n}$ ，则时间复杂度为 $O(log_{2}{n})$

因为可以换底，所以任意底数(k)的对数都可以转化为 "常数 × 底数为2的对数"

$log_{k}(n)=\frac{log_{2}(n)}{log_{2}(k)}=\frac{1}{log_{2}(k)}log_{2}(n)$

（注：n是自变量，k是常数）

因为计算时间复杂度会省略系数，所以对数阶的时间复杂度均相同（即底数可以省略）

$O(log_{k}{n})=O(log_{2}{n})=O(log\,{n})$

（六）线性对数阶

【例9】线性对数阶 $O(nlog_{2}n)=O(nlog\,n)$

int n,i,j,a=0;
scanf("%d", &n);
for(i=1; i<=n; i++)
{for(j=1; j<=n; j*=2){a++;}
}

本例其实就是将【例2】嵌套无关循环和【例8.1】对数阶结合起来

计算时间复杂度

1.基本语句：a++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{i=1}^{n}1 \times \sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor} 1=n\times \lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$

3.时间复杂度： $T(n)=O(nlog_{2}{n})=O(nlog\,n)$

嵌套无关循环，所以内外层循环互不干扰，语句频度独立计算

因为外层循环条件是 i<=n ，所以 i 能取的最大值（即求和上限）是：n

而内层循环可以看作是外层循环体的1条基本语句，则求和表达式（通项公式）是1

所以外层循环的语句频度为

$\sum\limits_{i=1}^{n}1 =\overbrace{1+\cdots +1}^{n} = n$

因为内层循环变量自增不是以往的 j++，而是 j*=2

所以循环变量 j 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环变量 j 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：j=1，则首项 $a_{1}=1$

循环变量自增：j*=2，则公比 $q=2$ ，即等比数列

等比数列通项公式： $a_{n}=a_{1}q^{n-1}=1\times 2^{n-1}=2^{n-1}$

则循环变量 j 随着通项公式改变

$j=a_{1}=2^{1-1}=2^{0}=1 \\[1.5ex] j=a_{2}=2^{2-1}=2^{1}=2 \\[1.5ex] j=a_{3}=2^{3-1}=2^{2}=4 \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] j=a_{x}=2^{x-1} \\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$j=2^{x-1}$

又因为循环条件是 $j \leqslant n$

所以最后一次循环时 $j=n$ ，则

$j=2^{x-1}= n$

等式两边同时取对数所以求和

$x-1=log_{2}{(n)}$

移项，得到循环执行次数x的值

$x=log_{2}{(n)}+1$

但是循环执行次数只能是整数，所以x还要向下取整

$x=\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$

现在就可以列求和式计算了

内层循环只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

令求和变量 x 从1到 $\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$ ，代表循环执行 $\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$ 次

所以内层循环的语句频度为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor}=\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$

根据统计学乘法原理，两式相乘得

$\sum\limits_{i=1}^{n}1 \times \sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor} 1=n\times \lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$

省略系数和无关项后，数量级为 $nlog_{2}{n}$ ，则时间复杂度为 $O(nlog_{2}{n})=O(nlog\,{n})$

（七）根号阶

【例10.1】根号阶 $O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

int n,i,a=0;
scanf("%d", &n);
for(i=1; i*i<=n; i++)
{a++;
}

计算时间复杂度

1.基本语句：a++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}=\lfloor \sqrt{n} \rfloor$

3.时间复杂度： $T(n)=O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

因为本例的循环条件不是以往的 i<=n，而是 i*i<=n

所以循环变量 i 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环条件 i*i 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：i=1

循环变量自增：i++

将循环变量 i 的值依次代入循环条件 i*i，探寻数列规律

$i*i=a_{1}=1\times 1=1^{2} \\[1.5ex] i*i=a_{2}=2\times 2=2^{2} \\[1.5ex] i*i=a_{3}=3\times 3=3^{2} \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] i*i=a_{x}=x\times x=x^{2} \\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$i*i=x^{2}$

又因为循环条件是 $i*i\leqslant n$

所以最后一次循环时 $i*i=n$ ，则

$i*i=x^{2}= n$

等式两边同时开平方，得到循环执行次数x的值

$x=\sqrt{n}$

但是循环执行次数只能是整数，所以x还要向下取整

$x=\lfloor \sqrt{n} \rfloor$

现在就可以列求和式计算了

for循环只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

令求和变量 x 从1到 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ ，代表循环执行 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ 次

则语句频度为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}=\lfloor \sqrt{n} \rfloor$

省略系数和无关项后，数量级为 $\sqrt{n}$ ，则时间复杂度为 $O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

【例10.2】根号阶 $O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

int n,i,a=0;
scanf("%d", &n);
for(i=2; i*i<n; i++)
{a++;
}

本例是对【例10.1】稍作修改，循环变量初始化：i=2，循环条件：i*i<n

计算时间复杂度

1.基本语句：a++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil-2} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil-2}=\lceil \sqrt{n}\ \rceil-2$

3.时间复杂度： $T(n)=O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

因为本例的循环条件不是以往的 i<n，而是 i*i<n

所以循环变量 i 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环条件 i*i 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：i=2

循环变量自增：i++

将循环变量 i 的值依次代入循环条件 i*i，探寻数列规律

$i*i=a_{1}=2\times 2=2^{2} \\[1.5ex] i*i=a_{2}=3\times 3=3^{2} \\[1.5ex] i*i=a_{3}=4\times 4=4^{2} \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] i*i=a_{x}=(x+1)\times (x+1)=(x+1)^{2} \\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$i*i=(x+1)^{2}$

又因为循环条件是 $i*i < n$

不等式两边不都是整数表达式，不好计算最后一次循环的x值

所以不追求列等式，而是直接将 $i*i=(x+1)^{2}$ 代入不等式，得

$i*i=(x+1)^{2}<n$

不等式两边同时开平方

$x+1<\sqrt{n}$

移项，得到循环执行次数x的范围

$x<\sqrt{n}-1$

根据【例8.2】中的结论：

x是整数，不等式关系为 $x<f(n)$ ，则整数x的最大值 $x_{max}=\lceil f(n) \rceil -1$

代入本题：

x是整数，不等式关系为 $x<\sqrt{n}-1$ ，则整数x的最大值 $x_{max}=\lceil \sqrt{n}-1 \rceil-1=\lceil \sqrt{n}\ \rceil-2$

现在就可以列求和式计算了

for循环只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

令求和变量 x 从1到 $\lceil \sqrt{n}\ \rceil-2$ ，代表循环执行 $\lceil \sqrt{n}\ \rceil-2$ 次

则语句频度为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil-2} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil-2}=\lceil \sqrt{n}\ \rceil-2$

省略系数和无关项后，数量级为 $\sqrt{n}$ ，则时间复杂度为 $O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

【例10.3】根号阶 $O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

int n,i,a=0;
scanf("%d", &n);
for(i=1; i<=sqrt(n); i++)
{a++;
}

本例与【例10.1】如出一辙

计算时间复杂度

1.基本语句：a++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}=\lfloor \sqrt{n} \rfloor$

3.时间复杂度： $T(n)=O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

本例的循环条件不是以往的 i<=n，而是 i<=sqrt(n)

sqrt是平方根( square root )的缩写，sqrt(n)即为 $\sqrt{n}$

所以循环条件可写为 $i\leqslant \sqrt{n}$

按理说 i 能取的最大值应该是 $\sqrt{n}$

但是 $\sqrt{n}$ 不一定是整数，所以需要向下取整 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$

则最后一次循环时 $i=\lfloor \sqrt{n} \rfloor$

现在就可以列求和式计算了

for循环只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

则语句频度为：

$\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}=\lfloor \sqrt{n} \rfloor$

省略系数和无关项后，数量级为 $\sqrt{n}$ ，则时间复杂度为 $O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

【例10.4】根号阶 $O(\sqrt[3]{n})=O(n^{\frac{1}{3}})$

int n,i,a=0;
scanf("%d", &n);
for(i=1; i*i*i<=n; i++)
{a++;
}

计算时间复杂度

1.基本语句：a++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor}=\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor$

3.时间复杂度： $T(n)=O(\sqrt[3]{n})=O(n^{\frac{1}{3}})$

因为本例的循环条件不是以往的 i<=n，而是 iii<=n

所以循环变量 i 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环条件 iii 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：i=1

循环变量自增：i++

将循环变量 i 的值依次代入循环条件 iii，探寻数列规律

$i*i*i=a_{1}=1\times 1\times 1=1^{3} \\[1.5ex] i*i*i=a_{2}=2\times 2\times 2=2^{3} \\[1.5ex] i*i*i=a_{3}=3\times 3\times 3=3^{3} \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] i*i*i=a_{x}=x\times x\times x=x^{3}\\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$i*i*i=x^{3}$

又因为循环条件是 $iii \leqslant n$

所以最后一次循环时 $iii=n$ ，则

$i*i*i=x^{3}= n$

等式两边同时开立方，得到循环执行次数x的值

$x=\sqrt[3]{n}$

但是循环执行次数只能是整数，所以x还要向下取整

$x=\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor$

现在就可以列求和式计算了

for循环只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

令求和变量 x 从1到 $\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor$ ，代表循环执行 $\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor$ 次

则语句频度为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor}=\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor$

省略系数和无关项后，数量级为 $\sqrt[3]{n}$ ，则时间复杂度为 $O(\sqrt[3]{n})=O(n^{\frac{1}{3}})$

（八）指数阶

【例11.1】指数阶 $O(2^{n})$

int f(int n)
{if(n==1) return 1;else return f(n-1)+f(n-1);
}

计算时间复杂度

1.基本语句：

return 1;

return f(n-1)+f(n-1);

2.基本语句的语句频度： $2^{n}-1$

3.时间复杂度： $T(n)=O(2^{n})$

递归函数无法按常规方式计算语句频度

但是可以转换思路，将递归过程模拟为二叉树

一个递归函数当作二叉树的一个节点

本例的函数比较特殊，f(n)刚好递归调用的是两个f(n-1)

从二叉树的视角来看，就是该节点连接下一层的两个孩子

所以每个节点（不算叶子节点）都有两个孩子，最终得到满二叉树

例如：f(4) 的递归满二叉树（如下图）

每个节点（不算叶子节点）都有两个孩子，最终得到满二叉树

当递归到叶子节点 f(1) 时，n==1，返回1，不向下递归

再看函数体，无论进 if 还是进 else，都只会执行1条语句

所以递归函数内基本语句的语句频度是1

因为是满二叉树，且每个节点（即递归函数）的语句频度是1

所以语句频度之和 = 满二叉树的总节点数

如果了解满二叉树的性质，可以直接得出总节点数为 $2^{n}-1$

不了解也没关系，下面逐步推导

我们知道二叉树只有1个根节点

对于满二叉树，每个节点（不算叶子节点）都有两个孩子

那么上层节点数与下层节点数是2倍关系，将 {节点数} 当作数列

第1层：根节点，节点数为 $a_{1}=1=2^{0}$

第2层：节点数为 $a_{2}=1\times 2=2=2^{1}$

第3层：节点数为 $a_{3}=2\times 2=4=2^{2}$

第4层：节点数为 $a_{4}=4\times 2=8=2^{3}$

第5层：节点数为 $a_{5}=8\times 2=16=2^{4}$

……

第n层：节点数为 $a_{n}=2^{n-1}$

可以看出其为等比数列

首项 $a_{1}=1$ ，公比 $q=2$

等比数列通项公式 $a_{n}=a_{1}q^{n-1}=1\times 2^{n-1}=2^{n-1}$

求总节点数就是把第1层到第n层的所有节点数相加

其实相当于对 {节点数} 这个数列求和

代入等比数列求和公式

$S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\frac{1\cdot(1-2^{n})}{1-2}=-(1-2^{n})=2^{n}-1$

（其中 n 既是问题规模，又是满二叉树的层数）

至此推导出语句频度之和 = 满二叉树的总节点数 $=2^{n}-1$

省略系数和无关项后，数量级为 $2^{n}$ ，则时间复杂度为 $O(2^{n})$

【例11.2】指数阶 $O(2^{n})$

int f(int n)
{if(n==1 || n==2) return 1;else return f(n-2)+f(n-2);
}

计算时间复杂度

1.基本语句：

return 1;

return f(n-2)+f(n-2);

2.基本语句的语句频度： $2^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor }-1$

3.时间复杂度： $T(n)=O(2^{n})$

递归函数无法按常规方式计算语句频度

但是可以转换思路，将递归过程模拟为二叉树

一个递归函数当作二叉树的一个节点

本例与【例11.1】有所不同

【例11.1】的递归过程是

$f(n)\rightarrow f(n-1)\rightarrow f(n-2)\rightarrow \cdots \rightarrow f(2) \rightarrow f(1)$

而本例f(n)递归调用的是两个f(n-2)，缺少了f(n-1)这一层

所以这颗二叉树是间隔一层向下递归的（仍是满二叉树，但层数不是n）

说一下奇偶数的性质

奇数 - 偶数 = 奇数，则奇数n - 2 = 奇数

偶数 - 偶数 = 偶数，则偶数n - 2 = 偶数

由于间隔递归，且n不确定是奇数还是偶数

所以最终可能在奇数 f(1)返回，也可能在偶数 f(2)返回

下面分情况讨论

当n为奇数时，最终在奇数 f(1)返回

f(n)递归过程如下

$f(n)\rightarrow f(n-2)\rightarrow f(n-4)\rightarrow \cdots \rightarrow f(3) \rightarrow f(1)$

从后往前看，当作数列

$1,3,\cdots,(n-4),(n-2),n$

则为等差数列

$a_{1}=1,\ a_{2}=3,\ \cdots,\ a_{m-2}=(n-4),\ a_{m-1}=(n-2),\ a_{m}=n$

首项 $a_{1}=1$ ，公差 $d=2$

等差数列通项公式 $a_{m}=a_{1}+(m-1)d=1+(m-1)\cdot2=2m-1$

代入最后一项

$a_{m}=2m-1=n$

移项除以2求得m的值

$m=\frac{n+1}{2}$

数列从 $a_{1}$ 到 $a_{m}$ 共m项，则递归过程有m层

所以奇数情况满二叉树的层数为 $m=\frac{n+1}{2}$

再看函数体，无论进 if 还是进 else，都只会执行1条语句

所以递归函数内基本语句的语句频度是1

因为是满二叉树，且每个节点（即递归函数）的语句频度是1

所以奇数情况语句频度之和 = 满二叉树的总节点数 $=2^m-1=2^{\frac{n+1}{2}}-1$

当n为偶数时，最终在偶数 f(2)返回

f(n)递归过程如下

$f(n)\rightarrow f(n-2)\rightarrow f(n-4)\rightarrow \cdots \rightarrow f(4) \rightarrow f(2)$

从后往前看，当作数列

$2,4,\cdots,(n-4),(n-2),n$

则为等差数列

$a_{1}=2,\ a_{2}=4,\ \cdots,\ a_{m-2}=(n-4),\ a_{m-1}=(n-2),\ a_{m}=n$

首项 $a_{1}=2$ ，公差 $d=2$

等差数列通项公式 $a_{m}=a_{1}+(m-1)d=2+(m-1)\cdot2=2m$

代入最后一项

$a_{m}=2m=n$

除以2求得m的值

$m=\frac{n}{2}$

数列从 $a_{1}$ 到 $a_{m}$ 共m项，则递归过程有m层

所以偶数情况满二叉树的层数为 $m=\frac{n}{2}$

再看函数体，无论进 if 还是进 else，都只会执行1条语句

所以递归函数内基本语句的语句频度是1

因为是满二叉树，且每个节点（即递归函数）的语句频度是1

所以偶数情况语句频度之和 = 满二叉树的总节点数 $=2^m-1=2^{\frac{n}{2}}-1$

类比【例5】的推导，可以使用 $\lfloor \ \rfloor$ 向下取整将两式统一

先假设，总节点数公式可用向下取整统一为，奇数情况总节点数： $2^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor }-1$

因为该式是从奇数情况推导出的，所以奇数肯定没问题

代入验证偶数情况，如果计算结果与偶数情况总节点数相同，说明可以统一

当n为偶数时，设 $n=2x$ （x是整数）

代入上式得

$2^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor }-1=2^{\lfloor \frac{2x+1}{2} \rfloor }-1$

进一步化简得

$2^{\lfloor \frac{2x+1}{2} \rfloor }-1\\[1.5ex] =2^{\lfloor \frac{2x}{2}+\frac{1}{2} \rfloor }-1\\[1.5ex] =2^{\lfloor x+\frac{1}{2} \rfloor }-1\\[1.5ex] =2^{x}-1\\[1.5ex]$

因为向下取整时，只保留整数部分： $x$ ，忽略小数部分： $\frac{1}{2}$

前面设 $n=2x$ ，反之 $x=\frac{n}{2}$

将其代入得 $2^{x}-1=2^{\frac{n}{2}}-1$

将计算结果与偶数情况总节点数 $2^{\frac{n}{2}}-1$ 进行对照

可以看到，两式均为 $2^{\frac{n}{2}}-1$ ，则偶数情况也成立，所以可以统一为 $2^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor }-1$

再假设，总节点数公式可用向下取整统一为，偶数情况总节点数： $2^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor }-1$

因为该式是从偶数情况推导出的，所以偶数肯定没问题

代入验证奇数情况，如果计算结果与奇数情况总节点数相同，说明可以统一

当n为奇数时，设 $n=2x+1$ （x是整数）

代入上式得

$2^{\lfloor \frac{n}{2} \rfloor }-1=2^{\lfloor \frac{2x+1}{2} \rfloor }-1$

进一步化简得

$2^{\lfloor \frac{2x+1}{2} \rfloor }-1\\[1.5ex] =2^{\lfloor \frac{2x}{2}+\frac{1}{2} \rfloor }-1\\[1.5ex] =2^{\lfloor x+\frac{1}{2} \rfloor }-1\\[1.5ex] =2^{x}-1\\[1.5ex]$

因为向下取整时，只保留整数部分： $x$ ，忽略小数部分： $\frac{1}{2}$

前面设 $n=2x+1$ ，反之 $x=\frac{n-1}{2}$

将其代入得 $2^{x}-1=2^{\frac{n-1}{2}}-1$

将计算结果与奇数情况总节点数 $2^{\frac{n+1}{2}}-1$ 进行对照

可以看到，两式一个为 $2^{\frac{n-1}{2}}-1$ ，另一个为 $2^{\frac{n+1}{2}}-1$ ，则奇数情况不成立，所以不能统一

所以最终统一为： $2^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor }-1$

语句频度之和 = 满二叉树的总节点数 $=2^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor }-1$

省略系数和无关项后，数量级为 $2^{n}$ ，则时间复杂度为 $O(2^{n})$

因为 $2^{\lfloor \frac{n+1}{2} \rfloor } \approx 2^{\frac{n}{2}}$

而 $2^{\frac{n}{2}}$ 可以写成 $(\sqrt{2})^{n}$

所以有人认为时间复杂度应该是 $O((\sqrt{2})^{n})$

根据大 $O$ 表示法在数学上的定义得

大 $O$ 表示法 $O (f(n))$ 给出的是时间复杂度的一个渐近上界 $f(n)$

所以上述两种均可渐近表示时间复杂度

不过为了方便统一理解，我还是倾向于 $O(2^{n})$

【例11.3】指数阶 $O(2^{n})$ ——斐波那契数列

int f(int n)
{if(n==1 || n==2) return 1;else return f(n-1)+f(n-2);
}

计算时间复杂度

1.基本语句：

return 1;

return f(n-1)+f(n-2);

2.基本语句的语句频度： $\frac{2}{\sqrt{5}} [(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]-1$

3.时间复杂度： $T(n)=O(2^{n})$

由于左孩子 f(n-1)与右孩子 f(n-2)不在同一层

即左子树连续递归，右子树间隔递归

每个节点（即递归函数）的语句频度是1

所以依然是语句频度之和 = 二叉树的总节点数

虽然总节点数不好定量计算，但是我们可以定性分析

【例11.1】 $f(n)=f(n-1)+f(n-1)$

【例11.2】 $f(n)=f(n-2)+f(n-2)$

【例11.3】 $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$

可以分析出

$f(n-2)+f(n-2)\leqslant f(n-1)+f(n-2)\leqslant f(n-1)+f(n-1)$

所以得到时间复杂度关系

$\begin{matrix} O(\ f(n-2)+f(n-2)\ )\leqslant O(\ f(n-1)+f(n-2)\ )\leqslant O(\ f(n-1)+f(n-1)\ ) \end{matrix}$

前面已得出【例11.1】和【例11.2】的时间复杂度均为 $O(2^{n})$ ，即

$O(f(n-1)+f(n-1))=O(2^{n})$

$O(f(n-2)+f(n-2))=O(2^{n})$

则时间复杂度关系变为（类似于夹逼定理）

$O(2^{n})\leqslant O(\ f(n-1)+f(n-2)\ )\leqslant O(2^{n})$

所以定性分析，斐波那契数列的时间复杂度也是 $O(2^{n})$

斐波那契数列递推公式： $f(n)=f(n-1)+f(n-2)$

通过特征方程推导可得通项公式： $F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}} [(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]$

实际上，总节点数满足递推公式： $f(n)=f(n-1)+f(n-2)+1$ （即算上子树的根节点）

通过特征方程推导可得通项公式： $2F_{n}-1=\frac{2}{\sqrt{5}} [(\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n}-(\frac{1-\sqrt{5}}{2})^{n}]-1$

所以有人认为时间复杂度应该是 $O((\frac{1+\sqrt{5}}{2})^{n})$

根据大 $O$ 表示法在数学上的定义得

大 $O$ 表示法 $O (f(n))$ 给出的是时间复杂度的一个渐近上界 $f(n)$

所以上述两种均可渐近表示时间复杂度

不过为了方便统一理解，我还是倾向于 $O(2^{n})$

六、考研408真题

【2011年第 1 题】设 n 是描述问题规模的非负整数，下列程序段的时间复杂度是（A）

x=2; 
while(x<n/2) x=2*x;

A． $O(log_{2}n)$ B． $O(n)$ C． $O(nlog_{2}n)$ D． $O(n^{2})$

本题与【例8.2】对数阶相似，只不过循环条件不同

计算时间复杂度

1.基本语句：x=2*x;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{k=1}^{\lceil log_{2}(n) \rceil-2} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lceil log_{2}(n) \rceil-2}=\lceil log_{2}(n) \rceil-2$

3.时间复杂度： $T(n)=O(log_{2}{n})$

while循环可以理解为

循环变量初始化
while( 循环条件 )
{循环体【其中包含循环变量自增】
}

本例比较特殊，因为循环体只有1条语句

所以 x=2*x，既是循环体，也是循环变量自增

所以循环变量 x 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 k 次

为探寻循环变量 x 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：x=2，则首项 $a_{1}=2$

循环变量自增：x*=2，则公比 $q=2$ ，即等比数列

等比数列通项公式： $a_{n}=a_{1}q^{n-1}=2\times 2^{n-1}=2^{n}$

则循环变量 x 随着通项公式改变

$x=a_{1}=2^{1} \\[1.5ex] x=a_{2}=2^{2} \\[1.5ex] x=a_{3}=2^{3} \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] x=a_{k}=2^{k}$

所以最后一次循环（第k次循环）时

$x=2^{k}$

又因为循环条件是 $x<\frac{n}{2}$

不等式两边都不是整数表达式，不好计算最后一次循环的x值

所以不追求列等式，而是直接将 $x=2^{k}$ 代入不等式，得

$x=2^{k}< \frac{n}{2}$

不等式两边同时乘2

$2^{k+1}<n$

不等式两边同时取对数

$k+1<log_{2}(n)$

移项，得到循环执行次数k的范围

$k<log_{2}(n)-1$

根据【例8.2】中的结论：

x是整数，不等式关系为 $x<f(n)$ ，则整数x的最大值 $x_{max}=\lceil f(n) \rceil -1$

代入本题：

k是整数，不等式关系为 $k<log_{2}(n)-1$ ，则整数k的最大值 $k_{max}=\lceil log_{2}(n)-1 \rceil-1=\lceil log_{2}(n) \rceil-2$

现在就可以列求和式计算了

while循环只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

令求和变量 k 从1到 $\lceil log_{2}(n) \rceil-2$ ，代表循环执行 $\lceil log_{2}(n) \rceil-2$ 次

则语句频度为：

$\sum\limits_{k=1}^{\lceil log_{2}(n) \rceil-2} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lceil log_{2}(n) \rceil-2}=\lceil log_{2}(n) \rceil-2$

省略系数和无关项后，数量级为 $log_{2}{n}$ ，则时间复杂度为 $O(log_{2}{n})$

【2012年第 1 题】求整数 $n\ (n\geqslant0)$ 阶乘的算法如下，其时间复杂度是（B）

int fact(int n)
{if(n<=1) return 1;else return n*fact(n-1);
}

A． $O(log_{2}n)$ B． $O(n)$ C． $O(nlog_{2}n)$ D． $O(n^{2})$

计算时间复杂度

1.基本语句：

return 1;

return n*fact(n-1);

2.基本语句的语句频度： $n$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n)$

递归函数无法按常规方式计算语句频度

但是可以转换思路，将递归过程模拟为二叉树

一个递归函数当作二叉树的一个节点

函数f(n)递归调用的是f(n-1)

从二叉树的视角来看，就是该节点连接下一层的一个孩子

所以每个节点（不算叶子节点）都只有一个孩子，最终得到"单叉"的二叉树

其实这棵"单叉"的二叉树就是线性表（或称二叉树退化为线性表）

纵向可能看不出来是线性表，改成横向就一目了然

例如：f(4)的递归二叉树（退化为线性表）如下图

再看函数体，无论进 if 还是进 else，都只会执行1条语句

所以递归函数内基本语句的语句频度是1

又因为退化为线性表，所以总节点数就是n

所以语句频度之和 = 线性表总节点数 $=n$

省略系数和无关项后，数量级为 $n$ ，则时间复杂度为 $O(n)$

【2013年第 1 题】已知两个长度分别为m和n的升序链表，若将它们合并为一个长度为m+n的降序链表，则最坏情况下的时间复杂度是（D）

A． $O(n)$ B． $O(mn)$ C． $O(min(m,n))$ D． $O(max(m,n))$

升序改降序：只需在遍历时，用头插法将元素插入新链表

比如原链表为1、2、3、4、5，遍历时用头插法插入新链表，新链表变为5、4、3、2、1

这样做的好处是，遍历还是正常顺序，不需要倒着来

链表合并的最坏情况：两链表交替遍历

举例：链表1是：1、3、5、7、9，链表2是：2、4、6

那么遍历合并为新链表时，二者就会交替遍历：1、2、3、4、5、6

然后新链表将链表1的剩余部分：7、9 并入

链表1的长度m=5，链表2的长度n=3

那么整个合并过程会将 $m+n=5+3=8$ 个数并入新链表

如果m，n没有给出具体值，那么并入过程是 $m+n$ 个数并入

数量级为 $m+n$ ，所以时间复杂度为 $O(m+n)$

如果两个链表长度中的最大值用 $max(m,n)$ 表示，则

$m\leqslant max(m,n)$

$n\leqslant max(m,n)$

相加得

$m+n\leqslant 2\cdot max(m,n)$

所以最多有 $2\cdot max(m,n)$ 个数合并，省略系数后，数量级为 $max(m,n)$ ，则

$O(m+n)\leqslant O(max(m,n))$

所以时间复杂度也可以看作是 $O(max(m,n))$

前面是举例分析得出的，也可以拿代码来分析

原题没有代码，这里给出一段链表合并的代码（以不带头节点的链表为例）

《头插法实现两升序链表合并为降序链表》

//头插法实现两升序链表合并为降序链表
ListNode* merge(ListNode* L1, ListNode* L2)
{ListNode *head = NULL; // 新链表的头指针ListNode *temp; //临时指针while (L1 != NULL && L2 != NULL){// 比较两个链表当前节点的值if (L1->val <= L2->val){//取出L1节点temp = L1;L1 = L1->next;// 头插法：将L1节点插入新链表头部temp->next = head;head = temp;}else{//取出L2节点temp = L2;L2 = L2->next;// 头插法：将L2节点插入新链表头部temp->next = head;head = temp;}}// 处理剩余节点（L1更长）while (L1 != NULL){//取出L1节点temp = L1;L1 = L1->next;// 头插法：将L1节点插入新链表头部temp->next = head;head = temp;}// 处理剩余节点（L2更长）while (L2 != NULL){//取出L2节点temp = L2;L2 = L2->next;// 头插法：将L2节点插入新链表头部temp->next = head;head = temp;}return head;
}

计算时间复杂度

1.基本语句：

temp = L1; //或temp = L2;

L1 = L1->next; //或L2 = L2->next;

temp->next = head;

head = temp;

2.基本语句的语句频度： $4\times(2n)+4\times(m-n)=4\times(2n+m-n)=4(m+n)$

3.时间复杂度： $T(n)=O(m+n)\leqslant O(max(m,n))$

假设两链表长度m>n（反之同理）

则链表1的前n项与链表2的n项，交替并入新链表（第一个while循环）

链表1剩余的m-n项，直接并入新链表（后面两个while循环二选一）

由于并入操作都是4条语句，所以不用区分是链表1还是链表2

交替并入时的语句频度 $=4\times n+4\times n=4\times(2n)$

剩余并入时的语句频度 $=4\times(m-n)$

所以语句频度之和 $=4\times(2n)+4\times(m-n)=4\times(2n+m-n)=4(m+n)$

省略系数后，数量级为 $m+n$ ，所以时间复杂度为 $O(m+n)$

如果两个链表长度的最大值用 $max(m,n)$ 表示，则

$m\leqslant max(m,n)$

$n\leqslant max(m,n)$

相加得

$m+n\leqslant 2\cdot max(m,n)$

所以最多有 $2\cdot max(m,n)$ 个数合并，省略系数后，数量级为 $max(m,n)$ ，则

$O(m+n)\leqslant O(max(m,n))$

所以时间复杂度也可以看作是 $O(max(m,n))$

有人可能会疑惑，为什么剩余部分并入还要耗费时间，用指针直接连上剩余部分不就行了？

这就是不审题的结果，题目要求是：两升序链表合并为降序链表

如果直接将剩余部分连上，岂不是把一段升序链表并入降序链表，那结果就不对了

剩余部分并入之所以耗费时间，是因为要用头插法将这部分升序链表变为降序链表

（下面仅作探究，与本题无关）

引申一下，假如题目要求改为：两升序链表合并为升序链表

这就跟上面提出的思路一样了，两链表交替并入，最后连接剩余部分

《尾插法实现两升序链表合并为升序链表》

//尾插法实现两升序链表合并为升序链表
ListNode* merge(ListNode* L1, ListNode* L2)
{ListNode *head = NULL; // 新链表的头指针ListNode *tail = NULL; // 新链表的尾指针//确定第一个节点if (L1->val <= L2->val){head = L1;L1=L1->next;}else{head = L2;L2=L2->next;}tail = head;// 尾指针指向第一个节点while (L1 != NULL && L2 != NULL){// 比较两个链表当前节点的值if (L1->val <= L2->val){// 将L1节点接入链表尾部tail->next = L1;L1 = L1->next;}else{// 将L2节点接入链表尾部tail->next = L2;L2 = L2->next;}}// 连接剩余链表if (L1 != NULL){tail->next = L1;}else{tail->next = L2;}return head;
}

计算时间复杂度

1.基本语句：

tail->next = L1; //或tail->next = L2;

L1 = L1->next; //或L2 = L2->next;

2.基本语句的语句频度： $2+4n+1=4n+3$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n)=O(min(m,n))$

假设两链表长度m>n（反之同理）

因为不带头节点，所以需要确定第一个节点，将链表1的第一个节点并入新链表（if...else）

链表1的n项与链表2的n项，交替并入新链表（while循环）

用指针直接连接链表1的剩余部分（if...else）

由于并入操作都是2条语句，所以不用区分是链表1还是链表2

第一个节点并入时的语句频度 $=2\times 1=2$

交替并入时的语句频度 $=2\times n+2\times n=4n$

指针连接剩余部分时的语句频度 $=1$

所以语句频度之和 $=2+4n+1=4n+3$

省略系数和无关项后，数量级为 $n$ ，所以时间复杂度为 $O(n)$

因为前面假设两链表长度m>n

如果两个链表长度的最小值用 $min(m,n)$ 表示，则

$n= min(m,n)$

所以时间复杂度也可以看作是 $O(n)=O(min(m,n))$

假设两链表长度m>n，可以得出以下结论:

合并后顺序相反（升+升→降或降+降→升），则时间复杂度为 $O(m+n)\leqslant O(max(m,n))$

合并后顺序相同（升+升→升或降+降→降），则时间复杂度为 $O(n)=O(min(m,n))$

【2014年第 1 题】下列程序段的时间复杂度是（C）

count=0; 
for(k=1; k<=n; k*=2) for(j=1; j<=n; j++) count++;

A． $O(log_{2}n)$ B． $O(n)$ C． $O(nlog_{2}n)$ D． $O(n^{2})$

本题与【例9】线性对数阶如出一辙，只不过内外循环互换了

计算时间复杂度

1.基本语句：count++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor} 1 \times \sum\limits_{j=1}^{n}1= \lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor \times n=n\times \lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$

3.时间复杂度： $T(n)=O(nlog_{2}{n})$

嵌套无关循环，所以内外层循环互不干扰，语句频度独立计算

因为内层循环条件是 j<=n ，所以 j 能取的最大值（即求和上限）是：n

内层循环只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

所以内层循环的语句频度为

$\sum\limits_{j=1}^{n}1 =\overbrace{1+\cdots +1}^{n} = n$

因为外层循环变量自增不是以往的 k++，而是 k*=2

所以循环变量 k 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环变量 k 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：k=1，则首项 $a_{1}=1$

循环变量自增：k*=2，则公比 $q=2$ ，即等比数列

等比数列通项公式： $a_{n}=a_{1}q^{n-1}=1\times 2^{n-1}=2^{n-1}$

则循环变量 k 随着通项公式改变

$k=a_{1}=2^{1-1}=2^{0}=1 \\[1.5ex] k=a_{2}=2^{2-1}=2^{1}=2 \\[1.5ex] k=a_{3}=2^{3-1}=2^{2}=4 \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] k=a_{x}=2^{x-1} \\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$k=2^{x-1}$

又因为循环条件是 $k \leqslant n$

所以最后一次循环时 $k=n$ ，则

$k=2^{x-1}= n$

等式两边同时取对数

$x-1=log_{2}{(n)}$

移项，得到循环执行次数x的值

$x=log_{2}{(n)}+1$

但是循环执行次数只能是整数，所以x还要向下取整

$x=\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$

现在就可以列求和式计算了

内层循环可以看作是外层循环体的1条基本语句，则求和表达式（通项公式）是1

令求和变量 x 从1到 $\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$ ，代表循环执行 $\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$ 次

所以外层循环的语句频度为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor}=\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$

根据统计学乘法原理，两式相乘得语句频度

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor} 1 \times \sum\limits_{j=1}^{n}1= \lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor \times n=n\times \lfloor log_{2}{(n)}+1\rfloor$

省略系数和无关项后，数量级为 $nlog_{2}{n}$ ，则时间复杂度为 $O(nlog_{2}{n})$

【2017年第 1 题】下列函数的时间复杂度是（B）

int func(int n)
{ int i=0,sum=0; while(sum<n) sum+=++i; return i;
}

A． $O(log_{2}n)$ B． $O(n^{\frac{1}{2}})$ C． $O(n)$ D． $O(nlog_{2}n)$

计算时间复杂度

1.基本语句：sum+=++i;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{x=1}^{\lceil \frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2} \rceil-1} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lceil \frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2} \rceil-1}=\lceil \frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2} \rceil-1$

3.时间复杂度： $T(n)=O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

因为本例的循环条件不是以往的 i<n，而是 sum<n

所以循环变量 i 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

while循环体【包含循环变量自增】只有1条基本语句：sum+=++i;

前置自增表达式 ++i 有两个效果：

一是让 i 自增为 i+1，二是把 i+1 作为整个自增表达式的值

所以 sum+=++i; 相当于分两步：

先执行++i; 让 i 自增为 i+1，后执行sum+=(i+1); 进行求和

所以sum始终是对 i+1 进行求和

为探寻 i+1 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：i=0，则 i+1=1，首项 $a_{1}=1$

循环变量自增：++i，公差 $d=1$ ，即等差数列

等差数列 {i+1} 的通项公式： $a_{n}=a_{1}+(n-1)d=1+(n-1)=n$

则等差数列 {i+1} 随着通项公式改变

$i+1=a_{1}=0+1=1 \\[1.5ex] i+1=a_{2}=1+1=2 \\[1.5ex] i+1=a_{3}=2+1=3 \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] i+1=a_{x}=(x-1)+1=x$

因为sum始终是对 i+1 进行求和

所以可以将其看作是等差数列 {i+1} 的前n项和

代入前n项和公式： $S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=\frac{n(1+n)}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$

注意，本题是while循环，初次循环判断的是sum的初值0，而初值与 i+1 无关，所以单设一个 $S_{0}$

后续sum对 i+1 求和，则sum随着前n项和公式改变（循环共执行x次，首项是 $S_{0}$ ，则末项是 $S_{x-1}$ ）

$sum=S_{0}=0 \\[1.5ex] sum=S_{1}=\frac{1(1+1)}{2}=1 \\[1.5ex] sum=S_{2}=\frac{2(2+1)}{2}=3 \\[1.5ex] sum=S_{3}=\frac{3(3+1)}{2}=6 \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] sum=S_{x-1}=\frac{(x-1)(x-1+1)}{2}=\frac{x(x-1)}{2}$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$sum=\frac{x(x-1)}{2}$

又因为循环条件是 $sum <n$

不等式两边不都是整数表达式，不好计算最后一次循环的x值

所以不追求列等式，而是直接将 $sum=\frac{x(x-1)}{2}$ 代入不等式，得

$sum=\frac{x(x-1)}{2}< n$

不等式两边同时乘2

$x(x-1)<2n$

不等式左边展开得

$x^{2}-x<2n$

移项，得一元二次不等式

$x^{2}-x-2n<0$

则各项系数 $a=1,b=-1,c=-2n$ （其中n是问题规模， $n\geqslant 0$ ）

根据一元二次函数图像、方程、不等式的对应关系

因为 $a=1>0$ ，所以函数图像开口向上

因为 $\Delta =b^{2}-4ac=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot (-2n)=8n+1>0$ ，所以方程有两实数根

因为 $x^{2}+x-2n<0$ ，所以不等式的解集位于两根之间

将 $a=1,b=-1,c=-2n$ 代入求根公式，得出两根

$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-(-1)-\sqrt{1^{2}-4\cdot 1 \cdot(-2n)}}{2\cdot 1}=\frac{1-\sqrt{1+8n}}{2}=-\frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2}$

$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}=\frac{-(-1)+\sqrt{1^{2}-4\cdot 1 \cdot(-2n)}}{2\cdot 1}=\frac{1+\sqrt{1+8n}}{2}=\frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2}$

所以x的取值范围为 $(-\frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2})<x<(\frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2})$

根据【例8.2】中的结论：

x是整数，不等式关系为 $x<f(n)$ ，则整数x的最大值 $x_{max}=\lceil f(n) \rceil -1$

代入本题：

x是整数，不等式关系为 $x<(\frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2})$ ，则整数x的最大值 $x_{max}=\lceil \frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2} \rceil-1$

现在就可以列求和式计算了

while循环只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

令求和变量 x 从1到 $\lceil \frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2} \rceil-1$ ，代表循环执行 $\lceil \frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2} \rceil-1$ 次

则语句频度为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil \frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2} \rceil-1} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lceil \frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2} \rceil-1}=\lceil \frac{\sqrt{8n+1}}{2}+\frac{1}{2} \rceil-1$

省略系数和无关项后，数量级为 $\sqrt{n}$ ，则时间复杂度为 $O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

其实做选择题没必要这么精确

上面已列出关于循环条件的不等式

$sum=\frac{x(x-1)}{2}< n$

把x-1近似为x，并将整个式子看作等式

$sum=\frac{x^{2}}{2}= n$

得出循环执行次数的近似值

$x\approx \sqrt{2n}$

则语句频度近似值为

$\sum\limits_{x=1}^{\sqrt{2n}} 1 \approx \overbrace{1+\cdots +1}^{\sqrt{2n}}\approx \sqrt{2n}$

则时间复杂度为

$O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

【2019年第 1 题】设 n 是描述问题规模的非负整数，下列程序段的时间复杂度是（B）

x=0; 
while(n>=(x+1)*(x+1)) x=x+1;

A． $O(log_{2}n)$ B． $O(n^{\frac{1}{2}})$ C． $O(n)$ D． $O(n^{2})$

本题与【例10.1】根号阶相似，只不过循环变量初始化和循环条件不同

计算时间复杂度

1.基本语句：x=x+1;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{k=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}=\lfloor \sqrt{n} \rfloor$

3.时间复杂度： $T(n)=O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

因为本例的循环条件不是以往的 x<=n，而是 n>=(x+1)*(x+1)

但循环条件通常把循环变量表达式写在前面，如果反过来写，就是(x+1)*(x+1)<=n

所以循环变量 x 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 k 次

为探寻循环条件 (x+1)*(x+1) 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：x=0

循环变量自增：x=x+1

将循环变量 x 的值依次代入循环条件 (x+1)*(x+1)，探寻数列规律

$(x+1)*(x+1)=a_{1}=(0+1)\times (0+1)=1\times 1=1^{2} \\[1.5ex] (x+1)*(x+1)=a_{2}=(1+1)\times (1+1)=2\times 2=2^{2} \\[1.5ex] (x+1)*(x+1)=a_{3}=(2+1)\times (2+1)=3\times 3=3^{2} \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] (x+1)*(x+1)=a_{k}=((k-1)+1)\times ((k-1)+1)=k \times k=k^{2} \\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第k次循环）时

$(x+1)*(x+1)=k^{2}$

又因为循环条件是 $(x+1)*(x+1)\leqslant n$

所以最后一次循环时 $(x+1)*(x+1)=n$ ，则

$(x+1)*(x+1)=k^{2}=n$

等式两边同时开平方，得到循环执行次数k的值

$k=\sqrt{n}$

但是循环执行次数只能是整数，所以k还要向下取整

$k=\lfloor \sqrt{n} \rfloor$

现在就可以列求和式计算了

while循环只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

令求和变量 k 从1到 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ ，代表循环执行 $\lfloor \sqrt{n} \rfloor$ 次

则语句频度为：

$\sum\limits_{k=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}=\lfloor \sqrt{n} \rfloor$

省略系数和无关项后，数量级为 $\sqrt{n}$ ，则时间复杂度为 $O(\sqrt{n})=O(n^{\frac{1}{2}})$

【2022年第 1 题】下列程序段的时间复杂度是（B）

int sum=0;
for(int i=1; i<n; i*=2)for(int j=0; j<i; j++)sum++;

A． $O(log_{2}n)$ B． $O(n)$ C． $O(nlog_{2}n)$ D． $O(n^{2})$

本题看着与【2014年第 1 题】类似，但实际上不同

2014年是嵌套无关循环，而本题是嵌套相关循环

计算时间复杂度

1.基本语句：sum++;

2.基本语句的语句频度：

$\begin{matrix} \sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} \sum\limits_{j=0}^{i-1}1=\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} \sum\limits_{j=1}^{i}1 =\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} i =\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} 2^{x-1} =S_{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} =\frac{2^{0}(1-2^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil})}{1-2} =2^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil}-1 \approx 2^{ log_{2}{(n)}}-1 \approx n-1 \end{matrix}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n)$

因为是嵌套相关循环，内外层循环相关，不能分开计算

但是可以先列出来求和式的上下限，再多重求和

因为内层循环条件是 j<i ，所以 j 能取的最大值（即求和上限）是：i-1

所以内层循环的求和式上下限列为

$\sum\limits_{j=0}^{i-1}$

因为外层循环变量自增不是以往的 i++，而是 i*=2

所以循环变量 i 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环变量 i 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：i=1，则首项 $a_{1}=1$

循环变量自增：i*=2，则公比 $q=2$ ，即等比数列

等比数列通项公式： $a_{n}=a_{1}q^{n-1}=1\times 2^{n-1}=2^{n-1}$

则循环变量 i 随着通项公式改变

$i=a_{1}=2^{1-1}=2^{0}=1 \\[1.5ex] i=a_{2}=2^{2-1}=2^{1}=2 \\[1.5ex] i=a_{3}=2^{3-1}=2^{2}=4 \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] i=a_{x}=2^{x-1} \\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$i=2^{x-1}$

又因为循环条件是 $i<n$

不等式两边不都是整数表达式，不好计算最后一次循环的x值

所以不追求列等式，而是直接将 $i=2^{x-1}$ 代入不等式，得

$i=2^{x-1}< n$

不等式两边同时取对数

$x-1<log_{2}{(n)}$

移项，得到循环执行次数x的范围

$x<log_{2}{(n)}+1$

根据【例8.2】中的结论：

x是整数，不等式关系为 $x<f(n)$ ，则整数x的最大值 $x_{max}=\lceil f(n) \rceil -1$

代入本题：

x是整数，不等式关系为 $x<log_{2}{(n)}+1$ ，则整数x的最大值 $x_{max}=\lceil log_{2}{(n)}+1 \rceil -1=\lceil log_{2}{(n)} \rceil$

令求和变量 x 从1到 $\lceil log_{2}{(n)} \rceil$ ，代表循环执行 $\lceil log_{2}{(n)} \rceil$ 次

所以外层循环的求和式上下限为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil}$

二层循环体只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

二层循环（双重循环）计算语句频度需要写成双重求和

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} \sum\limits_{j=0}^{i-1}1$

双重求和可以加括号以区分

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} \sum\limits_{j=0}^{i-1}1=\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} (\sum\limits_{j=0}^{i-1}1)$

可以类比复合函数，先计算括号内的

$\sum\limits_{j=0}^{i-1}1 =\sum\limits_{j=0+1}^{i-1+1}1=\sum\limits_{j=1}^{i}1=\overbrace{1+\cdots +1}^{i} = i$

将括号内的求和式替换为计算结果，双重求和变为

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} (\sum\limits_{j=0}^{i-1}1)=\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} i$

注意，此时求和变量 x 与求和表达式 i 是不同符号，直接展开无意义

所以需要把 i 替换为关于求和变量 x 的表达式

前面已推导出最后一次循环（第x次循环）时

$i=2^{x-1}$

把 $i$ 替换

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} i=\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} 2^{x-1}$

将其展开得

$\begin{matrix} \sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} 2^{x-1}=2^{1-1}+2^{2-1}+\cdots+2^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil-1}=2^{0}+2^{1}+\cdots+2^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil-1} \end{matrix}$

此时变为等比数列求和

首项 $a_{1}=2^{0}$ ，公比 $q=2$

代入等比数列求和公式

$S_{n}=\frac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}$

得到语句频度

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} 2^{x-1}\\[1.5ex] =S_{\lceil log_{2}{(n)} \rceil}\\[1.5ex] =\frac{2^{0}(1-2^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil})}{1-2}\\[1.5ex] =2^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil}-1\\[1.5ex] \approx 2^{ log_{2}{(n)}}-1\\[1.5ex] \approx n-1$

解释一下，根据对数的定义可知

$2^{log_{2}{(n)}}=n$

因为 $\lceil log_{2}{(n)} \rceil$ 与 $log_{2}{(n)}$ 差距很小，所以

$2^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil} \approx 2^{log_{2}{(n)}} \approx n$

同时减1得

$2^{\lceil log_{2}{(n)} \rceil}-1 \approx 2^{log_{2}{(n)}} -1\approx n-1$

省略系数和无关项后，数量级为 $n$ ，则时间复杂度为 $O(n)$

【2023年第 1 题】下列对顺序存储的有序表（长度为n）实现给定操作的算法中，平均时间复杂度为 $O(1)$ 的是（D）

A．查找包含指定值元素的算法

B．插入包含指定值元素的算法

C．删除第 $i\ (1\leqslant i \leqslant n)$ 个元素的算法

D．获取第 $i\ (1\leqslant i \leqslant n)$ 个元素的算法

题目给定的是顺序存储，则有序表使用数组实现

typedef struct
{int data[MAXSIZE];  // 存储元素的数组int n;  // 当前表长
} SeqList;

有序表一般采用折半查找（二分查找）算法

A．查找

// A. 查找指定值元素——折半查找（二分查找）
int search(SeqList *list, int value)
{int low = 0, high = list->n-1,mid;while (low <= high){mid = (low + high)/2;if (list->data[mid] == value)return mid;  // 找到返回下标else if (list->data[mid] < value)low = mid+1;elsehigh = mid-1;}return -1;  // 未找到
}

计算时间复杂度

1.基本语句：

mid = (low + high) / 2;

return mid;

low = mid + 1;

high = mid - 1;

2.基本语句的语句频度： $2\times[\frac{n+1}{n}log_{2}(n+1)-1] \approx 2\times[\frac{n}{n}log_{2}(n+1)-1] \approx 2\times[log_{2}(n+1)-1]$

3.时间复杂度： $T(n)=O(log_{2}{n})$

本函数有两种结束方式：

一是查找失败，最终low>high，while循环结束，函数返回 -1

二是查找成功，list->data[mid] == value，函数返回 mid

再看基本语句

while循环体中，mid = (low + high) / 2; 这1条语句是必做的

其他三条语句通过if……else if……else判断后，三选一

所以每轮循环体执行1+1=2条基本语句

语句频度=基本语句条数 x 循环执行次数

已经得出基本语句条数为2条，如果再知道循环执行次数就能算出语句频度

下面只探究查找成功情况下的循环执行次数

这里需要引入平均查找长度的概念

从定义来看，平均查找长度其实就是平均比较次数

而每次比较，对应到代码，就是循环体中的if……else if……else判断

所以每执行一次循环体，就是一次比较

则循环执行次数=平均比较次数=平均查找长度

所以求循环执行次数转为求平均查找长度

推导过程比较复杂，这里直接给出结果，折半查找的平均查找长度= $\frac{n+1}{n}log_{2}(n+1)-1$

如果想了解推导过程可以看我的这篇文章——《折半查找的平均查找长度公式推导》

所以循环执行次数=折半查找的平均查找长度= $\frac{n+1}{n}log_{2}(n+1)-1$

语句频度=基本语句条数 x 循环执行次数=基本语句条数 x 平均查找长度

$=2\times[\frac{n+1}{n}log_{2}(n+1)-1] \approx 2\times[\frac{n}{n}log_{2}(n+1)-1] \approx 2\times[log_{2}(n+1)-1]$

（注：因为对数有小括号，所以整个平均查找长度用中括号括住，并不是向上取整或向下取整）

解释一下，因为n+1与n差距很小，所以

$\frac{n+1}{n}\approx \frac{n}{n} \approx 1$

代入得

$2\times[\frac{n+1}{n}log_{2}(n+1)-1] \approx 2\times[\frac{n}{n}log_{2}(n+1)-1] \approx 2\times[log_{2}(n+1)-1]$

省略系数和无关项后，数量级为 $log_{2}n$ ，则时间复杂度为 $O(log_{2}n)$

所以查找过程的时间复杂度是 $O(log_{2}n)$ ，不是 $O(1)$

B．插入

// B. 插入指定值元素（保持有序）
int insert(SeqList *list, int value)
{if (list->n >= MAXSIZE){printf("表已满，无法插入\n");return 0;}int i = list->n-1;// 从后向前找到插入位置while (i >= 0 && list->data[i] > value){list->data[i+1] = list->data[i];  // 元素后移i--;}list->data[i+1] = value;  // 插入新元素list->n++;  // 表长增加return 1;  // 成功插入
}

计算时间复杂度

1.基本语句：

list->data[i + 1] = list->data[i];

i--;

2.基本语句的语句频度： $2\times (n-1-\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor)\approx 2\times(n-1-\frac{n-1}{2}) \approx 2\times \frac{n-1}{2} \approx n-1$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n)$

因为是在数组中插入，需要给待插入元素留空位

所以从后往前遍历，将比它大的每个元素都向后移动一格

最后将待插入元素插到空位中，并改变表长

举例：插入值为5的元素

以待插入数据在中间为例

表长为n，表尾下标为n-1，则中间位置为 $\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$

则向后移动的元素有 $n-1-\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$

基本语句是循环体中的2条语句

所以语句频度为 $2\times (n-1-\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor)\approx 2\times(n-1-\frac{n-1}{2}) \approx 2\times \frac{n-1}{2} \approx n-1$

省略系数和无关项后，数量级为 $n$ ，则时间复杂度为 $O(n)$

所以插入过程的时间复杂度是 $O(n)$ ，不是 $O(1)$

C．删除

// C. 删除第i个元素（0≤i≤n-1）
int delete (SeqList *list, int i)
{if (i < 0 || i > list->n-1){printf("位置非法\n");return 0;}// 将第i+1个位置及以后的元素前移for (int j = i+1; j < list->n; j++){list->data[j-1] = list->data[j];}list->n--;  // 表长减1return 1;        // 成功删除
}

计算时间复杂度

1.基本语句：list->data[j - 1] = list->data[j];

2.基本语句的语句频度： $n-1-\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor \approx n-1-\frac{n-1}{2} \approx \frac{n-1}{2}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n)$

删除与插入如出一辙，只不过一个向前移动，一个向后移动

因为是在数组中删除，只需要将待删除元素的位置覆盖掉

所以从前往后遍历，将比它大的每个元素都向前移动一格，并改变表长

举例：删除a[4]位置的元素

以待删除数据在中间为例

表长为n，表尾下标为n-1，则中间位置为 $\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$

则向前移动的元素有 $n-1-\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$

基本语句是循环体中的1条语句

因为此处为for循环，循环变量自增不在循环体中，所以基本语句只有1条

所以语句频度为 $n-1-\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor \approx n-1-\frac{n-1}{2} \approx \frac{n-1}{2}$

省略系数和无关项后，数量级为 $n$ ，则时间复杂度为 $O(n)$

所以删除过程的时间复杂度是 $O(n)$ ，不是 $O(1)$

D．获取

// D. 获取第i个元素（0≤i≤n-1）
int get(SeqList *list, int i)
{if (i < 0 || i > list->n-1){printf("位置非法\n");return -1;  // 返回-1表示错误（假设元素均为非负整数）}return list->data[i];  // 返回元素值
}

计算时间复杂度

1.基本语句：return list->data[i - 1];

2.基本语句的语句频度： $1$

3.时间复杂度： $T(n)=O(1)$

获取元素仅需1条return语句，所以语句频度为 $1$

省略系数和无关项后，数量级为 $1$ ，则时间复杂度为 $O(1)$

所以获取过程的时间复杂度就是 $O(1)$

【2025年第 1 题】下列程序段的时间复杂度是（B）

int count=0;
for(int i=0; i*i<n; i++)for(int j=0; j<i; j++)count++;

A． $O(log_{2}n)$ B． $O(n)$ C． $O(nlog_{2}n)$ D． $O(n^{2})$

本例类似于将【例3】嵌套相关循环和【例10.2】根号阶结合起来

计算时间复杂度

1.基本语句：count++;

2.基本语句的语句频度：

$\begin{matrix} \sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} \sum\limits_{j=0}^{i-1}1= \sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} \sum\limits_{j=1}^{i}1=\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} i=\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} (x-1)=S_{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} =\frac{(\lceil \sqrt{n}\ \rceil)^{2}-\lceil \sqrt{n}\ \rceil}{2} \approx \frac{(\sqrt{n}\,)^{2} -\sqrt{n}}{2} \approx \frac{n -\sqrt{n}}{2}\\[1.5ex]\end{matrix}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n)$

因为是嵌套相关循环，内外层循环相关，不能分开计算

但是可以先列出来求和式的上下限，再多重求和

因为内层循环条件是 j<i ，所以 j 能取的最大值（即求和上限）是：i-1

所以内层循环的求和式上下限为

$\sum\limits_{j=0}^{i-1}$

因为外层循环条件不是以往的 i<n，而是 i*i<n

所以循环变量 i 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环条件 i*i 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：i=0

循环变量自增：i++

将循环变量 i 的值依次代入循环条件 i*i，探寻数列规律

$i*i=a_{1}=0\times 0=0^{2}=0 \\[1.5ex] i*i=a_{2}=1\times 1=1^{2}=1 \\[1.5ex] i*i=a_{3}=2\times 2=2^{2}=4 \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] i*i=a_{x}=(x-1)\times (x-1)=(x-1)^{2} \\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$i*i=(x-1)^{2}$

又因为循环条件是 $i*i < n$

不等式两边不都是整数表达式，不好计算最后一次循环的x值

所以不追求列等式，而是直接将 $i*i=(x-1)^{2}$ 代入不等式，得

$i*i=(x-1)^{2}<n$

不等式两边同时开平方

$x-1<\sqrt{n}$

移项，得到循环执行次数x的范围

$x<\sqrt{n}+1$

根据【例8.2】中的结论：

x是整数，不等式关系为 $x<f(n)$ ，则整数x的最大值 $x_{max}=\lceil f(n) \rceil -1$

代入本题：

x是整数，不等式关系为 $x<\sqrt{n}+1$ ，则整数x的最大值 $x_{max}=\lceil \sqrt{n}+1 \rceil -1=\lceil \sqrt{n}\ \rceil$

令求和变量 x 从1到 $\lceil \sqrt{n}\ \rceil$ ，代表循环执行 $\lceil \sqrt{n}\ \rceil$ 次

所以外层循环的求和式上下限为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil}$

二层循环体只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

二层循环（双重循环）计算语句频度需要写成双重求和

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} \sum\limits_{j=0}^{i-1}1$

双重求和可以加括号以区分

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} \sum\limits_{j=0}^{i-1}1=\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} (\sum\limits_{j=0}^{i-1}1)$

可以类比复合函数，先计算括号内的

$\sum\limits_{j=0}^{i-1}1 =\sum\limits_{j=0+1}^{i-1+1}1=\sum\limits_{j=1}^{i}1=\overbrace{1+\cdots +1}^{i} = i$

将括号内的求和式替换为计算结果，双重求和变为

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} (\sum\limits_{j=0}^{i-1}1)=\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} i$

注意，此时求和变量 x 与求和表达式 i 是不同符号，直接展开无意义

所以需要把 i 替换为关于求和变量 x 的表达式

前面已推导出最后一次循环（第x次循环）时

$i*i=(x-1)^{2}$

等式两边同时开平方

$i=x-1$

把 $i$ 替换

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} i=\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} (x-1)$

将其展开得

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} (x-1)\\[1.5ex] =(1-1)+(2-1)+\cdots+(\lceil \sqrt{n}\ \rceil-1)\\[1.5ex] =0+1+\cdots+(\lceil \sqrt{n}\ \rceil-1)$

此时变为等差数列求和

首项 $a_{1}=0$ ，公差 $d=1$

代入等差数列求和公式

$S_{n}=\frac{n(a_{1}+a_{n})}{2}$

得到语句频度

$\sum\limits_{x=1}^{\lceil \sqrt{n}\ \rceil} (x-1)\\[1.5ex] =S_{\lceil \sqrt{n}\ \rceil}\\[1.5ex] =\frac{(\lceil \sqrt{n}\ \rceil)(0+\lceil \sqrt{n}\ \rceil-1)}{2}\\[1.5ex] =\frac{(\lceil \sqrt{n}\ \rceil)(\lceil \sqrt{n}\ \rceil-1)}{2}\\[1.5ex] =\frac{(\lceil \sqrt{n}\ \rceil)^{2}-\lceil \sqrt{n}\ \rceil}{2}\\[1.5ex] \approx \frac{(\sqrt{n}\,)^{2} -\sqrt{n}}{2}\\[1.5ex] \approx \frac{n -\sqrt{n}}{2}\\[1.5ex]$

解释一下，因为 $\lceil \sqrt{n}\ \rceil$ 与 $\sqrt{n}$ 差距很小，所以

$\lceil \sqrt{n}\ \rceil \approx \sqrt{n}$

同时平方得

$(\lceil \sqrt{n}\ \rceil)^{2} \approx (\sqrt{n}\,)^{2} \approx n$

最终

$\frac{(\lceil \sqrt{n}\ \rceil)^{2}-\lceil \sqrt{n}\ \rceil}{2} \approx \frac{(\sqrt{n}\,)^{2} -\sqrt{n}}{2} \approx \frac{n -\sqrt{n}}{2}\\[1.5ex]$

省略系数和无关项后，数量级为 $n$ ，则时间复杂度为 $O(n)$

七、变形题

（下面是我自己想出来的一些变形题）

【变形题1】下列程序段的时间复杂度是（B）

int count=0;
for(int i=1; i*i<=n; i*=2)count++;

A． $O(n^{\frac{1}{2}})$ B． $O(log_{2}n)$ C． $O(n)$ D． $O(n log_{2}n)$

本题看着像是把【例8.1】对数阶与【例10.1】根号阶结合起来，但最终结果不是

因为平方只是将其指数变为2倍： $a^{x}\times a^{x}=a^{x+x}=a^{2x}$

计算时间复杂度

1.基本语句：count++;

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \frac{1}{2} log_{2}{(n)}+1\rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor \frac{1}{2} log_{2}{(n)}+1\rfloor}=\lfloor \frac{1}{2} log_{2}{(n)}+1\rfloor$

3.时间复杂度： $T(n)=O(log_{2}{n})$

因为本例的循环变量自增不是以往的 i++，而是 i*=2

所以循环变量 i 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环变量 i 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：i=1，则首项 $a_{1}=1$

循环变量自增：i*=2，则公比 $q=2$ ，即等比数列

等比数列通项公式： $a_{n}=a_{1}q^{n-1}=1\times 2^{n-1}=2^{n-1}$

则循环变量 i 随着通项公式改变

$i=a_{1}=2^{1-1}=2^{0}=1 \\[1.5ex] i=a_{2}=2^{2-1}=2^{1}=2 \\[1.5ex] i=a_{3}=2^{3-1}=2^{2}=4 \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] i=a_{x}=2^{x-1} \\[1.5ex]$

为探寻循环条件 i*i 的变化规律，也将其当作数列

将上述循环变量 i 的值依次代入循环条件 i*i，探寻数列规律

$i*i=b_{1}=2^{0} \times 2^{0}=2^{0+0}=2^{0}=1 \\[1.5ex] i*i=b_{2}=2^{1} \times 2^{1}=2^{1+1}=2^{2}=4 \\[1.5ex] i*i=b_{3}=2^{2} \times 2^{2}=2^{2+2}=2^{4}=16 \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] i*i=b_{x}=2^{x-1} \times 2^{x-1}=2^{(x-1)+(x-1)}=2^{2(x-1)} \\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$i*i=2^{2(x-1)}$

又因为循环条件是 $i*i\leqslant n$

所以最后一次循环时 $i*i=n$ ，则

$i*i=2^{2(x-1)}=n$

等式两边同时取对数

$2(x-1)=log_{2}{(n)}$

等式两边同时除以2

$x-1=\frac{1}{2} log_{2}{(n)}$

移项，得到循环执行次数x的值

$x=\frac{1}{2} log_{2}{(n)}+1$

但是循环执行次数只能是整数，所以x还要向下取整

$x=\lfloor \frac{1}{2} log_{2}{(n)}+1\rfloor$

现在就可以列求和式计算了

for循环只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

令求和变量 x 从1到 $\lfloor \frac{1}{2} log_{2}{(n)}+1\rfloor$ ，代表循环执行 $\lfloor \frac{1}{2} log_{2}{(n)}+1\rfloor$ 次

则语句频度为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \frac{1}{2} log_{2}{(n)}+1\rfloor} 1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor \frac{1}{2} log_{2}{(n)}+1\rfloor}=\lfloor \frac{1}{2} log_{2}{(n)}+1\rfloor$

省略系数和无关项后，数量级为 $log_{2}{n}$ ，则时间复杂度为 $O(log_{2}{n})$

【变形题2】下列程序段的时间复杂度是（D）

int count=0;
for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j<=i; j*=2)count++;

A． $O(n^{\frac{1}{2}})$ B． $O(log_{2}n)$ C． $O(n)$ D． $O(n log_{2}n)$

本题看着与【例9】线性对数阶类似，但内层循环条件不同

【例9】是嵌套无关循环，而本题是嵌套相关循环

计算时间复杂度

1.基本语句：count++;

2.基本语句的语句频度：

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}1 =\sum\limits_{i=1}^{n} \lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor \approx \sum\limits_{i=1}^{n} (log_{2}{(i)}+1) \approx \sum\limits_{i=1}^{n}log_{2}{(i)}+\sum\limits_{i=1}^{n}1\\[1.5ex] \approx log_{2}{(n!)}+n \approx n\cdot log_{2}{(n)}+(1-log_{2}{(e)})\cdot n+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(n)}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(nlog_{2}n)$

因为是嵌套相关循环，内外层循环相关，不能分开计算

但是可以先列出来求和式的上下限，再多重求和

因为外层循环条件是 i<=n，所以 i 能取的最大值（即求和上限）是：n

所以外层循环的求和式上下限为

$\sum\limits_{i=1}^{n}$

因为内层循环变量自增不是以往的 j++，而是 j*=2

所以循环变量 j 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环变量 j 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：j=1，则首项 $a_{1}=1$

循环变量自增：j*=2，则公比 $q=2$ ，即等比数列

等比数列通项公式： $a_{n}=a_{1}q^{n-1}=1\times 2^{n-1}=2^{n-1}$

则循环变量 j 随着通项公式改变

$j=a_{1}=2^{1-1}=2^{0}=1 \\[1.5ex] j=a_{2}=2^{2-1}=2^{1}=2 \\[1.5ex] j=a_{3}=2^{3-1}=2^{2}=4 \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] j=a_{x}=2^{x-1} \\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$j=2^{x-1}$

又因为循环条件是 $j \leqslant i$

所以最后一次循环时 $j=i$ ，则

$j=2^{x-1}= i$

等式两边同时取对数

$x-1=log_{2}{(i)}$

移项，得到循环执行次数x的值

$x=log_{2}{(i)}+1$

但是循环执行次数只能是整数，所以x还要向下取整

$x=\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor$

令求和变量 x 从1到 $\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor$ ，代表循环执行 $\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor$ 次

所以内层循环的求和式上下限为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}$

二层循环体只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

二层循环（双重循环）计算语句频度需要写成双重求和

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}1$

双重求和可以加括号以区分

$\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}1=\sum\limits_{i=1}^{n} (\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}1)$

可以类比复合函数，先计算括号内的

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor} = \lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor$

将括号内的求和式替换为计算结果，双重求和变为

$\sum\limits_{i=1}^{n} (\sum\limits_{x=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}1)=\sum\limits_{i=1}^{n}\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor$

向下取整不容易计算，将其近似为

$\sum\limits_{i=1}^{n} \lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor \approx \sum\limits_{i=1}^{n} (log_{2}{(i)}+1)$

根据求和式的加法规则，可以拆分为

$\sum\limits_{i=1}^{n} (log_{2}{(i)}+1)=\sum\limits_{i=1}^{n}log_{2}{(i)}+\sum\limits_{i=1}^{n}1=\sum\limits_{i=1}^{n}log_{2}{(i)}+n$

下面将新求和式 $\sum\limits_{i=1}^{n}log_{2}{(i)}$ 展开，可以看到是多个对数求和

$\sum\limits_{i=1}^{n}log_{2}{(i)}=log_{2}{(1)}+log_{2}{(2)}+\cdots+log_{2}{(n-1)}+log_{2}{(n)}$

根据对数的加法法则

$log_{a}{(M)}+log_{a}{(N)}=log_{a}{(M\times N)}$

则上述求和可以转为

$\begin{matrix} log_{2}{(1)}+log_{2}{(2)}+\cdots+log_{2}{(n-1)}+log_{2}{(n)}=log_{2}{(1\times 2\times \cdots\times (n-1)\times n)} \end{matrix}$

因为从1乘到n可以写作阶乘n!

$1\times 2\times \cdots\times (n-1)\times n=n!$

所以替换后

$log_{2}{(1\times 2\times \cdots\times (n-1)\times n)} =log_{2}{(n!)}$

则新求和式

$\sum\limits_{i=1}^{n}log_{2}{(i)}=log_{2}{(n!)}$

则原求和式

$\sum\limits_{i=1}^{n} (log_{2}{(i)}+1)=\sum\limits_{i=1}^{n}log_{2}{(i)}+\sum\limits_{i=1}^{n}1=log_{2}{(n!)}+n$

根据斯特林公式，阶乘n!的近似值为

$n!\approx \sqrt{2\pi n}\ (\frac{n}{e})^{n}$

代入得

$log_{2}{(n!)}\approx log_{2}(\sqrt{2\pi n}\ (\frac{n}{e})^{n})$

根据对数的加法法则

$log_{a}{(M\times N)}=log_{a}{(M)}+log_{a}{(N)}$

上式可拆分为

$log_{2}(\sqrt{2\pi n}\ (\frac{n}{e})^{n})=log_{2}(\sqrt{2\pi n}\,)+log_{2}((\frac{n}{e})^{n})$

根据对数的幂法则

$log_{a}{(M^{n})}=n\cdot log_{a}{(M)}$

根号是 $\frac{1}{2}$ 次幂，上式变为

$log_{2}(\sqrt{2\pi n}\,)+log_{2}((\frac{n}{e})^{n})\\[1.5ex] =log_{2}((2\pi n)^{\frac{1}{2}})+log_{2}((\frac{n}{e})^{n})\\[1.5ex] =\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(2\pi n)}+n\cdot log_{2}{(\frac{n}{e})}$

将两项分开计算：

根据对数的加法法则

$log_{a}{(M\times N)}=log_{a}{(M)}+log_{a}{(N)}$

第一项可拆分为

$\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(2\pi n)}\\[1.5ex] =\frac{1}{2}\cdot [log_{2}(2)+log_{2}(\pi)+log_{2}(n) ]\\[1.5ex] =\frac{1}{2}\cdot[1+log_{2}(\pi)+log_{2}(n) ]$

根据对数的减法法则

$log_{a}{(\frac{M}{N})}=log_{a}{(M)}-log_{a}{(N)}$

第二项可拆分为

$n\cdot log_{2}{(\frac{n}{e})}=n\cdot [log_{2}{(n)}-log_{2}{(e)}]$

两项相加

$\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(2\pi n)}+n\cdot log_{2}{(\frac{n}{e})}\\[1.5ex] =\frac{1}{2}\cdot[1+log_{2}{(\pi)}+log_{2}{(n)} ]+n\cdot [log_{2}{(n)}-log_{2}{(e)}]\\[1.5ex] =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(n)}+n\cdot log_{2}{(n)}- log_{2}{(e)}\cdot n \\[1.5ex] =n\cdot log_{2}{(n)}-log_{2}{(e)}\cdot n+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(n)}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}$

则新求和式

$\sum\limits_{i=1}^{n}log_{2}{(i)}\\[1.5ex] =log_{2}{(n!)} \\[1.5ex] \approx n\cdot log_{2}{(n)}-log_{2}{(e)}\cdot n+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(n)}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}$

则原求和式

$\sum\limits_{i=1}^{n} (log_{2}{(i)}+1)\\[1.5ex] =\sum\limits_{i=1}^{n}log_{2}{(i)}+\sum\limits_{i=1}^{n}1\\[1.5ex] =log_{2}{(n!)}+n \\[1.5ex] \approx n\cdot log_{2}{(n)}-log_{2}{(e)}\cdot n+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(n)}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}+n\\[1.5ex] \approx n\cdot log_{2}{(n)}+(n-log_{2}{(e)}\cdot n)+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(n)}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}\\[1.5ex] \approx n\cdot log_{2}{(n)}+(1-log_{2}{(e)})\cdot n+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(n)}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}$

令常数 $c_{1}=1-log_{2}{(e)}$

令常数 $c_{2} =\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}$

语句频度近似值为

$\sum\limits_{i=1}^{n} \lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor \approx \sum\limits_{i=1}^{n} (log_{2}{(i)}+1)\approx n\cdot log_{2}{(n)}+c_{1} n+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(n)}+c_{2}$

省略系数和无关项后，数量级为 $nlog_{2}n$ ，则时间复杂度为 $O(nlog_{2}n)$

【变形题3】下列程序段的时间复杂度是（B）

int count=0;
for(int i=1; i*i<=n; i++)for(int j=1; j<=i; j*=2)count++;

A． $O(log_{2}n)$ B． $O(\sqrt{n}\, log_{2}n)$ C． $O(n)$ D． $O(n log_{2}n)$

本题看着与【变形题2】很像，但外层循环条件不同

计算时间复杂度

1.基本语句：count++;

2.基本语句的语句频度：

$\begin{matrix} \sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}\sum\limits_{y=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}1 =\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor \approx \sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } (log_{2}{(i)}+1) \approx \sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } (log_{2}{(x)}+1) \approx \sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } log_{2}{(x)} + \sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} }1 \end{matrix} \\[1.5ex] \begin{matrix} \approx log_{2}{((\sqrt{n}) !)} + \sqrt{n} \approx \frac{1}{2}\cdot \sqrt{n} \cdot log_{2}(n)+ (1-log_{2}(e))\sqrt{n}+\frac{1}{4}\cdot log_{2}{(n)}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2} \end{matrix}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(\sqrt{n}\, log_{2}n)$

因为是嵌套相关循环，内外层循环相关，不能分开计算

但是可以先列出来求和式的上下限，再多重求和

因为外层循环条件不是以往的 i<=n，而是 i*i<=n

所以循环变量 i 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环条件 i*i 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：i=1

循环变量自增：i++

将循环变量 i 的值依次代入循环条件 i*i，探寻数列规律

$i*i=a_{1}=1\times 1=1^{2} \\[1.5ex] i*i=a_{2}=2\times 2=2^{3} \\[1.5ex] i*i=a_{3}=3\times 3=3^{2} \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] i*i=a_{x}=x\times x=x^{2} \\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$i*i=x^{2}$

又因为循环条件是 $i*i\leqslant n$

所以最后一次循环时 $i*i=n$ ，则

$i*i=x^{2}= n$

等式两边同时开平方，得到循环执行次数x的值

$x=\sqrt{n}$

但是循环执行次数只能是整数，所以x还要向下取整

$x=\lfloor \sqrt{n} \rfloor$

所以外层循环的求和式上下限为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}$

因为内层循环变量自增不是以往的 j++，而是 j*=2

所以循环变量 j 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 y 次

为探寻循环变量 j 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：j=1，则首项 $b_{1}=1$

循环变量自增：j*=2，则公比 $q=2$ ，即等比数列

等比数列通项公式： $b_{n}=b_{1}q^{n-1}=1\times 2^{n-1}=2^{n-1}$

则循环变量 j 随着通项公式改变

$j=b_{1}=2^{1-1}=2^{0}=1 \\[1.5ex] j=b_{2}=2^{2-1}=2^{1}=2 \\[1.5ex] j=b_{3}=2^{3-1}=2^{2}=4 \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] j=b_{y}=2^{y-1} \\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第y次循环）时

$j=2^{y-1}$

又因为循环条件是 $j \leqslant i$

所以最后一次循环时 $j=i$ ，则

$j=2^{y-1}= i$

等式两边同时取对数

$y-1=log_{2}{(i)}$

移项，得到循环执行次数y的值

$y=log_{2}{(i)}+1$

但是循环执行次数只能是整数，所以y还要向下取整

$y=\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor$

令求和变量 y 从1到 $\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor$ ，代表循环执行 $\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor$ 次

所以内层循环的求和式上下限为：

$\sum\limits_{y=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}$

二层循环体只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

二层循环（双重循环）计算语句频度需要写成双重求和

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}\sum\limits_{y=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}1$

双重求和可以加括号以区分

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}\sum\limits_{y=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}1=\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} (\sum\limits_{y=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}1)$

可以类比复合函数，先计算括号内的

$\sum\limits_{y=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor} = \lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor$

将括号内的求和式替换为计算结果，双重求和变为

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor} (\sum\limits_{y=1}^{\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor}1)=\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor$

向下取整不容易计算，将其近似为

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor \approx \sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } (log_{2}{(i)}+1)$

注意，此时求和变量 x 与求和表达式中的 i 是不同符号，直接展开无意义

所以需要把 i 替换为关于求和变量 x 的表达式

前面已推导出最后一次循环（第x次循环）时

$i*i=x^{2}$

等式两边同时开平方（因为 i 的初值凑巧为1，所以二者才相等）

$i=x$

把 $i$ 替换

$\sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } (log_{2}{(i)}+1)=\sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } (log_{2}{(x)}+1)$

根据求和式的加法规则，可以拆分为

$\sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } (log_{2}{(x)}+1)=\sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } log_{2}{(x)} + \sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} }1=\sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } log_{2}{(x)} + \sqrt{n}$

下面将新求和式 $\sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } log_{2}{(x)}$ 展开，可以看到是多个对数求和

$\sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } log_{2}{(x)}=log_{2}{(1)}+log_{2}{(2)}+\cdots+log_{2}{(\sqrt{n})}$

根据对数的加法法则

$log_{a}{(M)}+log_{a}{(N)}=log_{a}{(M\times N)}$

则上述求和可以转为

$\begin{matrix} log_{2}{(1)}+log_{2}{(2)}+\cdots+log_{2}{(\sqrt{n})}=log_{2}{(1\times 2\times \cdots\times \sqrt{n})} \end{matrix}$

因为从1乘到 $\sqrt{n}$ 可以写作阶乘 $(\sqrt{n}\, ) !$

$1\times 2\times \cdots \times \sqrt{n}=(\sqrt{n}\, ) !$

所以替换后

$log_{2}{(1\times 2\times \cdots\times \sqrt{n}\, )} =log_{2}{((\sqrt{n}\, ) !)}$

则新求和式

$\sum\limits_{x=1}^{\sqrt{n}}log_{2}{(x)}=log_{2}{((\sqrt{n}\, ) !)}$

则原求和式

$\sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } (log_{2}{(x)}+1)=\sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } log_{2}{(x)} + \sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} }1=log_{2}{((\sqrt{n}\, ) !)} + \sqrt{n}$

根据斯特林公式，阶乘n!的近似值为

$n!\approx \sqrt{2\pi n}\ (\frac{n}{e})^{n}$

则阶乘 $(\sqrt{n}\, ) !$ 的近似值为

$(\sqrt{n}\,) ! \approx \sqrt{2\pi \sqrt{n}}\ (\frac{\sqrt{n}}{e})^{\sqrt{n}}$

代入得

$log_{2}{((\sqrt{n}\, ) !)}\approx log_{2}(\sqrt{2\pi \sqrt{n}}\ (\frac{\sqrt{n}}{e})^{\sqrt{n}})$

根据对数的加法法则

$log_{a}{(M\times N)}=log_{a}{(M)}+log_{a}{(N)}$

上式可拆分为

$log_{2}(\sqrt{2\pi \sqrt{n}}\ (\frac{\sqrt{n}}{e})^{\sqrt{n}})=log_{2}(\sqrt{2\pi \sqrt{n}}\, )+log_{2}((\frac{\sqrt{n}}{e})^{\sqrt{n}})$

根据对数的幂法则

$log_{a}{(M^{n})}=n\cdot log_{a}{(M)}$

根号是 $\frac{1}{2}$ 次幂，上式变为

$log_{2}(\sqrt{2\pi \sqrt{n}}\, )+log_{2}((\frac{\sqrt{n}}{e})^{\sqrt{n}})\\[1.5ex] =log_{2}((2\pi \sqrt{n}\, )^{\frac{1}{2}})+log_{2}((\frac{\sqrt{n}}{e})^{\sqrt{n}})\\[1.5ex] =\frac{1}{2}\cdot log_{2}(2\pi \sqrt{n}\, )+\sqrt{n}\cdot log_{2}(\frac{\sqrt{n}}{e})\\[1.5ex]$

将两项分开计算：

根据对数的加法法则、幂法则

$log_{a}{(M\times N)}=log_{a}{(M)}+log_{a}{(N)}$

$log_{a}{(M^{n})}=n\cdot log_{a}{(M)}$

第一项可拆分为

$\frac{1}{2}\cdot log_{2}(2\pi \sqrt{n}\, )\\[1.5ex] =\frac{1}{2}\cdot [log_{2}{(2)}+log_{2}{(\pi)}+log_{2}{(\sqrt{n}\, )}]\\[1.5ex] =\frac{1}{2}\cdot [1+log_{2}{(\pi)}+log_{2}{(n^{\frac{1}{2} })}]\\[1.5ex] =\frac{1}{2}\cdot [1+log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2} \cdot log_{2}{(n)}]$

根据对数的减法法则、幂法则

$log_{a}{(\frac{M}{N})}=log_{a}{(M)}-log_{a}{(N)}$

$log_{a}{(M^{n})}=n\cdot log_{a}{(M)}$

第二项可拆分为

$\sqrt{n}\cdot log_{2}(\frac{\sqrt{n}}{e})\\[1.5ex] =\sqrt{n}\cdot [log_{2}(\sqrt{n}\, )-log_{2}(e)]\\[1.5ex] =\sqrt{n}\cdot [log_{2}(n^{\frac{1}{2} })-log_{2}(e)]\\[1.5ex] =\sqrt{n}\cdot [\frac{1}{2}\cdot log_{2}(n)-log_{2}(e)]$

两项相加

$\frac{1}{2}\cdot log_{2}(2\pi \sqrt{n}\, )+\sqrt{n}\cdot log_{2}(\frac{\sqrt{n}}{e})\\[1.5ex] =\frac{1}{2}\cdot [1+log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2} \cdot log_{2}{(n)}]+\sqrt{n}\cdot [\frac{1}{2}\cdot log_{2}(n)-log_{2}(e)]\\[1.5ex] =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{4}\cdot log_{2}{(n)}+\frac{1}{2}\cdot \sqrt{n} \cdot log_{2}(n)-log_{2}(e)\cdot \sqrt{n}\\[1.5ex] =\frac{1}{2}\cdot \sqrt{n} \cdot log_{2}(n)-log_{2}(e)\cdot \sqrt{n}+\frac{1}{4}\cdot log_{2}{(n)}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}$

则新求和式

$\sum\limits_{x=1}^{\sqrt{n}}log_{2}{(x)}\\[1.5ex] =log_{2}{((\sqrt{n}\, ) !)}\\[1.5ex] \approx \frac{1}{2}\cdot \sqrt{n} \cdot log_{2}(n)-log_{2}(e)\cdot \sqrt{n}+\frac{1}{4}\cdot log_{2}{(n)}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}$

则原求和式

$\sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } (log_{2}{(x)}+1)\\[1.5ex] =\sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } log_{2}{(x)} + \sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} }1\\[1.5ex] =log_{2}{((\sqrt{n}\, ) !)} + \sqrt{n}\\[1.5ex] \approx \frac{1}{2}\cdot \sqrt{n} \cdot log_{2}(n)-log_{2}(e)\cdot \sqrt{n}+\frac{1}{4}\cdot log_{2}{(n)}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}+\sqrt{n}\\[1.5ex] \approx \frac{1}{2}\cdot \sqrt{n} \cdot log_{2}(n)+ (\sqrt{n}-log_{2}(e)\cdot \sqrt{n}\, )+\frac{1}{4}\cdot log_{2}{(n)}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}\\[1.5ex] \approx \frac{1}{2}\cdot \sqrt{n} \cdot log_{2}(n)+ (1-log_{2}(e))\cdot \sqrt{n}+\frac{1}{4}\cdot log_{2}{(n)}+\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}$

令常数 $c_{1}=1-log_{2}{(e)}$

令常数 $c_{2} =\frac{1}{2}\cdot log_{2}{(\pi)}+\frac{1}{2}$

语句频度近似值为

$\begin{matrix} \sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{n} \rfloor}\lfloor log_{2}{(i)}+1\rfloor \approx \sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } (log_{2}{(i)}+1)\approx \sum\limits_{x=1}^{ \sqrt{n} } (log_{2}{(x)}+1)\approx \frac{1}{2}\cdot \sqrt{n} \cdot log_{2}(n)+ c_{1}\sqrt{n}+\frac{1}{4}\cdot log_{2}{(n)}+c_{2} \end{matrix}$

省略系数和无关项后，数量级为 $\sqrt{n}\, log_{2}n$ ，则时间复杂度为 $O(\sqrt{n}\, log_{2}n)$

【变形题4】下列程序段的时间复杂度是（C）

int count=0;
for(int i=1; i<=n; i++)for(int j=1; j*j<=i; j++)count++;

A． $O(n^{\frac{1}{2}})$ B． $O(n)$ C． $O(n^{\frac{3}{2}})$ D． $O(n^{2})$

乍一看，像是把【2025年第 1 题】内外颠倒了，实则不然

计算时间复杂度

1.基本语句：count++;

2.基本语句的语句频度： $\begin{matrix} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{i} \rfloor} 1=\sum\limits_{i=1}^{n} \lfloor \sqrt{i} \rfloor \approx \sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt{i} \approx \int_{{1}}^{{n}}\sqrt{x}\ dx + \frac{\sqrt{1} + \sqrt{n}}{2} \approx \frac{2}{3}n^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{6}\\[1.5ex] \end{matrix}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n^{\frac{3}{2}})$

因为是嵌套相关循环，内外层循环相关，不能分开计算

但是可以先列出来求和式的上下限，再多重求和

因为外层循环条件是 i<=n，所以 i 能取的最大值（即求和上限）是：n

所以外层循环的求和式上下限为

$\sum\limits_{i=1}^{n}$

因为内层循环条件不是以往的 j<=i，而是 j*j<=i

所以循环变量 j 不能反映实际的循环执行次数

设循环的执行次数为 x 次

为探寻循环条件 j*j 的变化规律，将其当作数列

循环变量初始化：j=1

循环变量自增：j++

将循环变量 j 的值依次代入循环条件 j*j，探寻数列规律

$j*j=a_{1}=1\times 1=1^{2}=1 \\[1.5ex] j*j=a_{2}=2\times 2=2^{2}=4 \\[1.5ex] j*j=a_{3}=3\times 3=3^{2}=9 \\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] j*j=a_{x}=x\times x=x^{2} \\[1.5ex]$

所以最后一次循环（第x次循环）时

$j*j=x^{2}$

又因为循环条件是 $j*j \leqslant i$

所以最后一次循环时 $j*j=i$ ，则

$j*j=x^{2}=i$

等式两边同时开平方，得到循环执行次数x的值

$x=\sqrt{i}$

但是循环执行次数只能是整数，所以x还要向下取整

$x=\lfloor \sqrt{i} \rfloor$

令求和变量 x 从1到 $\lfloor \sqrt{i} \rfloor$ ，代表循环执行 $\lfloor \sqrt{i} \rfloor$ 次

所以内层循环的求和式上下限为：

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{i} \rfloor}$

二层循环体只有1条基本语句，所以求和表达式（通项公式）是1

二层循环（双重循环）计算语句频度需要写成双重求和

$\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{i} \rfloor} 1$

双重求和可以加括号以区分

$\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{i} \rfloor} 1=\sum\limits_{i=1}^{n} (\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{i} \rfloor} 1)$

可以类比复合函数，先计算括号内的

$\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{i} \rfloor}1=\overbrace{1+\cdots +1}^{\lfloor \sqrt{i} \rfloor} = \lfloor \sqrt{i} \rfloor$

将括号内的求和式替换为计算结果，双重求和变为

$\sum\limits_{i=1}^{n} (\sum\limits_{x=1}^{\lfloor \sqrt{i} \rfloor} 1)=\sum\limits_{i=1}^{n} \lfloor \sqrt{i} \rfloor$

向下取整不容易计算，将其近似为

$\sum\limits_{i=1}^{n} \lfloor \sqrt{i} \rfloor \approx \sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt{i}$

再展开，可以看到是多个根号求和

$\sum\limits_{i=1}^{n} \sqrt{i}=\sqrt{1}+\cdots +\sqrt{n}$

既不是等差数列也不是等比数列，这怎么办呢？

将根号看作 $\frac{1}{2}$ 次幂，上式变为

$\sum\limits_{i=1}^{n} i^{\frac{1}{2}}=1^{\frac{1}{2}}+\cdots +n^{\frac{1}{2}}$

等幂求和可以用欧拉—麦克劳林公式近似计算

（欧拉—麦克劳林公式是连接离散求和与连续积分的桥梁）

欧拉—麦克劳林公式

$\begin{matrix} \sum\limits_{{i=a}}^{{b}}f(i) = \int_{{a}}^{{b}}f(x)dx + \frac{f(a) + f(b)}{2} + \sum\limits_{{k=1}}^{{m }}\frac{{B_{{2k}}}}{{(2k)!}}\left[f^{{(2k-1)}}(b) - f^{{(2k-1)}}(a)\right] + R_{m} \end{matrix}$

* 修正项： $\sum\limits_{{k=1}}^{m}\frac{{B_{{2k}}}}{{(2k)!}}\left[f^{{(2k-1)}}(b) - f^{{(2k-1)}}(a)\right]$ ，其中 $B_{2k}$ 是伯努利数（如 $B_{2}=\frac{1}{6}$ ， $B_{4}=-\frac{1}{30}$ ）

* 剩余项： $R_{m}= \frac{(-1)^{m+1} }{(2m)!}\int_{a}^{b} B_{2m}( \{ x \} ) f^{(2m)}(x) dx$ ，其中 $\{x \}=x-\lfloor x\rfloor$ ，代表取小数（保留小数部分，忽略整数部分）

只作近似计算，忽略修正项和剩余项，上式约等于

$\sum\limits_{{i=a}}^{{b}}f(i) \approx \int_{{a}}^{{b}}f(x)dx + \frac{f(a) + f(b)}{2}$

将 $a=1,\ b=n,\ f(i)=i^{\frac{1}{2}}$ 代入得语句频度

$\sum\limits_{i=1}^{n} i^{\frac{1}{2}} \approx \int_{{1}}^{{n}}x^{\frac{1}{2}} dx + \frac{1^{\frac{1}{2}} + n^{\frac{1}{2}}}{2} \\[1.5ex] \approx \int_{{1}}^{{n}}x^{\frac{1}{2}} dx+\frac{n^{\frac{1}{2}}}{2}+\frac{1}{2} \\[1.5ex] \approx \frac{ x^{\frac{3}{2}} }{\frac{3}{2}} |_{1}^{n}+\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2} \\[1.5ex] \approx \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}|_{1}^{n}+\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\\[1.5ex] \approx \frac{2}{3}(n^{\frac{3}{2}}-1^{\frac{3}{2}})+\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\\[1.5ex] \approx \frac{2}{3}n^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{3}+\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}\\[1.5ex] \approx \frac{2}{3}n^{\frac{3}{2}}+\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{6}\\[1.5ex]$

省略系数和无关项后，数量级为 $n^{\frac{3}{2}}$ ，则时间复杂度为 $O(n^{\frac{3}{2}})$

八、递归题

【递归题1 - 2026王道数据结构第11题】下列程序段的时间复杂度是（C）

int Func(int n)
{if(n==1) return 1;else return 2*Func(n/2)+n;
}

A． $O(n)$ B． $O(nlog_{2}n)$ C． $O(log_{2}n)$ D． $O(n^{2})$

*为了方便描述，后续均用f(n)指代Func(n)

计算时间复杂度

1.基本语句：

return 1;

return 2*f(n/2)+n;

2.基本语句的语句频度： $log_{2}(n)+1$

3.时间复杂度： $T(n)=O(log_{2}n)$

递归函数无法按常规方式计算语句频度

但是可以转换思路，将递归过程模拟为二叉树

一个递归函数当作二叉树的一个节点

函数f(n)递归调用的是f(n/2)

从二叉树的视角来看，就是该节点连接n/2层的一个孩子

所以每个节点（不算叶子节点）都只有一个孩子，最终得到"单叉"的二叉树

其实这棵"单叉"的二叉树就是线性表（或称二叉树退化为线性表）

纵向可能看不出来是线性表，改成横向就一目了然

例如：f(8)的递归二叉树（退化为线性表）如下图

因为函数参数n定义为int类型

如果调用的实参不是整数，则会对其向下取整

所以调用 $f(\frac{n}{2})$ ，实际上是调用 $f( \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor)$

为了简化分析，仅考虑偶数情况，避免向下取整造成影响

当n为偶数时，f(n)递归过程如下

$f(n)\rightarrow f(\frac{n}{2})\rightarrow f(\frac{n}{4})\rightarrow \cdots \rightarrow f(1)$

从前往后看，当作数列

$n,\ \frac{n}{2},\ \frac{n}{4},\ \cdots,\ 1$

则为等比数列

$a_{1}=n,\ a_{2}=\frac{n}{2},\ a_{3}=\frac{n}{4},\ \cdots,\ a_{m}=1$

首项 $a_{1}=n$ ，公比 $q=\frac{1}{2}$

等比数列通项公式 $a_{m}=a_{1}q^{m-1}=n\times (\frac{1}{2})^{m-1}$

代入最后一项

$a_{m}=n\times (\frac{1}{2})^{m-1}=1$

等式两边同时除以n

$(\frac{1}{2})^{m-1}=\frac{1}{n}$

倒数可以写成-1次幂

$(2^{-1})^{m-1}=n^{-1}$

将等式左边展开

$2^{-m+1}=n^{-1}$

等式两边同时取对数

$-m+1=log_{2}(n^{-1})$

根据对数的幂法则

$log_{a}{(M^{n})}=n\cdot log_{a}{(M)}$

将幂次提出

$-m+1=-log_{2}(n)$

等式两边同时取相反数

$m-1=log_{2}(n)$

移项得

$m=log_{2}(n)+1$

数列从 $a_{1}$ 到 $a_{m}$ 共m项，则递归过程有m层

又因为退化为线性表，所以总节点数就是 $m=log_{2}(n)+1$

再看函数体，无论进 if 还是进 else，都只会执行1条语句

所以递归函数内基本语句的语句频度是1

所以语句频度之和 = 线性表总节点数 $=log_{2}(n)+1$

省略系数和无关项后，数量级为 $log_{2}n$ ，则时间复杂度为 $O(log_{2}n)$

或者使用主定理（Master定理）进行推导

主定理（Master定理）

一、递归函数的时间复杂度满足以下递推公式：

$T(n)= \left\{\begin{matrix} a\cdot T(\frac{n}{b})+f(n)&,\ n>n_{0}\\[1.5ex] O(1)&,\ n=n_{0} \end{matrix}\right.$ （其中 $a\geqslant 1$ 且 $b>1$ ， $n_{0}$ 是递归结束条件）

$n$ ：问题规模

$a$ ：每次递归调用的子问题数量（即子递归调用次数）

$\frac{n}{b}$ ：每个子问题的规模（必须相等）

$f(n)$ ：非递归操作的语句频度

令非递归操作的时间复杂度 $O(f(n))=O(n^{d})$

这是简化分析，假定其时间复杂度为常见的幂函数，方便后续只比较指数 $d$

但如果时间复杂度确实不是幂函数，则需要整体比较

将 $f(n)$ 用时间复杂度 $O(n^{d})$ 来近似估计，则递推公式变为

$T(n)= \left\{\begin{matrix} a\cdot T(\frac{n}{b})+O(n^{d})&,\ n>n_{0}\\[1.5ex] O(1)&,\ n=n_{0} \end{matrix}\right.$ （其中 $a\geqslant 1$ 且 $b>1$ ， $n_{0}$ 是递归结束条件）

递归操作的时间复杂度经复杂推导（过程略）可近似为 $O(n^{log_{b}\,a})$

二、应用条件

1、子问题规模相等‌：原问题需被分割成规模相同的子问题（如归并排序的 $\frac{n}{2}$ 分割）

2、非递归操作的时间复杂度： $O(n^{d})$ 中的 $d$ 必须为常数，不能随 $n$ 变化

三、主定理判断时间复杂度的三种情况

实际上是看递归操作 $O(n^{log_{b}\,a})$ 和非递归操作 $O(n^{d})$ 哪个占主导

1、递归主导

当 $d<log_{b}\,a$ 时，递归操作耗时占主导，则递归函数的时间复杂度 $T(n)=O(n^{log_{b}\,a})$

2、平衡状态

当 $d=log_{b}\,a$ 时，递归与非递归操作耗时相当，则递归函数的时间复杂度 $T(n)=O(n^{d}\,log\,n)$

3、非递归主导

当 $d>log_{b}\,a$ 时，非递归操作耗时占主导

还需满足条件：存在常数 $c\ (c<1)$ ，使得不等式 $a\cdot f(\frac{n}{b}) \leqslant c \cdot f(n)$ 成立

则递归函数的时间复杂度 $T(n)=O(n^{d})$

再把代码贴过来，对本题进行分析

int Func(int n)
{if(n==1) return 1;else return 2*Func(n/2)+n;
}

*为了方便描述，后续均用f(n)指代Func(n)

肯定有人一上来就直接列式

$T(n)= \left\{\begin{matrix} 2T(\frac{n}{2})+O(n)&,\ n>1\\[1.5ex] O(1)&,\ n=1\end{matrix}\right.$

殊不知中了出题人的圈套，把表达式求值和时间复杂度混为一谈了

下面从头开始分析

1、先看子问题数量： $a$

其实子问题数量就是子递归的调用次数

当前递归函数f(n)只调用一次子递归f(n/2)，所以子问题数量 $a=1$ ，满足条件 $a \geqslant 1$

有人看到 2*f(n/2) 可能会误认为子问题数量 $a=2$

这就是将函数返回值和函数调用混淆了

2*f(n/2) 只是让函数返回值参与运算，仅调用了一次子递归f(n/2)

假设当前子递归f(n/2)的返回值是4，则 2f(n/2)=24=8

如果要调用两次子递归得把f(n/2)写两遍，比如 2f(n/2)f(n/2)

2、再看子问题规模： $\frac{n}{b}$

从子递归调用f(n/2)可以看出子问题规模是 $\frac{n}{2}$ ，则 $b=2$ ，满足条件 $b>1$

3、最后看非递归操作的时间复杂度： $O(n^{d})$

看函数体，无论进 if 还是进 else，都只会执行1条非递归操作语句

所以非递归操作的语句频度是1，数量级为1，时间复杂度为 $O(1)=O(n^{0})$ ，则 $d=0$

有人看到 +n 可能会误认为非递归操作的时间复杂度是 $O(n)$

这就是将变量运算和语句频度混淆了

2*Func(n/2)+n 这个加法运算整体只是1条语句，其语句频度是1

如果要实现非递归操作的时间复杂度是 $O(n)$ ，得把 +n 放到循环里面，比如

sum=2*Func(n/2);

for(i=1; i<=n; i++) { sum+=n; }

return sum;

通过上面的分析，得到正确的递推公式为

$T(n)= \left\{\begin{matrix} T(\frac{n}{2})+O(1)&,\ n>1\\[1.5ex] O(1)&,\ n=1\end{matrix}\right.$

此时 $a=1,\ b=2,\ d=0$ ，则 $log_{b}\,a=log_{2}\,1=0$

所以 $d=log_{b}\,a=0$ ，满足第二种情况（平衡状态）

则递归函数的时间复杂度 $T(n)=O(n^{d}\,log\,n)=O(n^{0}\,log\,n)=O(log\,n)$

因为对数阶可以省略底数，所以两种方式推导出的时间复杂度相同： $O(log_{2}n)=O(log\,n)$

【递归题2】下列程序段的时间复杂度是（C）

double f(int n)
{if(n==1) return 1;else{int i;double count=0;for(i=1; i<=n; i++){count+=f(n-1);}return count; }
}

A． $O(n)$ B． $O(n^{2})$ C． $O(2^{n})$ D． $O(n!)$

计算时间复杂度

1.基本语句：

return 1;

count+=f(n-1);

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{i=1}^{n} A_{n}^{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n!}{(n-i)!}=n!\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{(n-i)!}=n!\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}\approx n!\cdot e \approx e\cdot n!$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n!)$

递归函数无法按常规方式计算语句频度

但是可以转换思路，将递归过程模拟为树（这里就不是二叉树了，而是n叉树）

一个递归函数当作树的一个节点

本题递归过程为

$f(n)\rightarrow f(n-1)\rightarrow f(n-2)\rightarrow \cdots \rightarrow f(2) \rightarrow f(1)$

则递归树共有n层

f(n)是递归树的根结点，则第1层的节点数为： $1$

f(n)通过循环递归调用n次 f(n-1)，也就是n个 f(n-1)

从树的视角来看，就是该节点连接第2层的n个孩子，则第2层节点数为： $1\times n=n$

对于这 n 个f(n-1) ，其中每个f(n-1)通过循环递归调用n-1次 f(n-2)，也就是n-1个 f(n-2)

从树的视角来看，就是第2层的每个节点都连接第3层的n-1个孩子，则第3层节点数为： $n\times (n-1)$

如下图所示

为探寻节点数的规律，将 {节点数} 当作数列

第1层：根节点，节点数为 $a_{1}=1$

第2层：节点数为 $a_{2}=1\times n=n$

第3层：节点数为 $a_{3}=n\times (n-1)$

第4层：节点数为 $a_{4}=n\times (n-1) \times (n-2)$

第5层：节点数为 $a_{5}=n\times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)$

……

第n层：节点数为 $a_{n}= n\times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)\times \cdots \times 2$

既不是等差数列也不是等比数列，这怎么办呢？

可以看到节点数从n逐渐累乘至2，有没有想到什么？

其实就是高中学过的排列数

$A_{n}^{m}=\frac{n!}{(n-m)!}=n\times (n-1) \times (n-2)\times \cdots \times (n-m+1)$

所以{节点数} 数列的规律可以用排列数表示

第1层：根节点，节点数为 $a_{1}=1=\frac{n!}{(n-0)!}=A_{n}^{0}$

第2层：节点数为 $a_{2}=1\times n=n=\frac{n!}{(n-1)!}=A_{n}^{1}$

第3层：节点数为 $a_{3}=n\times (n-1)=\frac{n!}{(n-2)!}=A_{n}^{2}$

第4层：节点数为 $a_{4}=n\times (n-1) \times (n-2)=\frac{n!}{(n-3)!}=A_{n}^{3}$

第5层：节点数为 $a_{5}=n\times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)=\frac{n!}{(n-4)!}=A_{n}^{4}$

……

第n层：节点数为 $\begin{matrix} a_{n}=n\times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)\times \cdots \times 2=\frac{n!}{(n-(n-1))!}=A_{n}^{n-1} \end{matrix}$

再看函数体

①进 if 时，对应第n层的叶子节点f(1)

只执行1条语句，节点语句频度为1

②进else时，对应其他层的节点

进入for循环，for循环内执行非递归的加法语句，循环几次就执行几次

所以节点语句频度=循环次数，循环次数随问题规模改变

为探寻循环次数的规律，将 {循环次数} 当作数列

第1层：对应f(n)，问题规模为n，循环次数为 $b_{1}=n$

第2层：对应f(n-1)，问题规模为n-1，循环次数为 $b_{2}=n-1$

第3层：对应f(n-2)，问题规模为n-2，循环次数为 $b_{3}=n-2$

第4层：对应f(n-3)，问题规模为n-3，循环次数为 $b_{4}=n-3$

第5层：对应f(n-4)，问题规模为n-4，循环次数为 $b_{5}=n-4$

……

第n-1层：对应f(2)，问题规模为2，循环次数为 $b_{n-1}=2$

（为什么不写第n层？因为第n层对应f(1)，进的是if，前面已得出节点语句频度为1）

可以看出 {循环次数} 数列是等差数列

首项 $b_{1}=n$ ，公差 $d=-1$

等差数列通项公式 $b_{m}=b_{1}+(m-1)d=n+(m-1)(-1)=n+1-m$

所以节点语句频度=循环次数 $=n+1-m$ （其中m是当前层数）

前面我们已经推导出每层的节点数，这里又推导出节点语句频度，则

当前层语句频度=当前层节点数 x 当前层节点语句频度=当前层节点数 x 当前层循环次数（即 $c_{n}=a_{n}\times b_{n}$ ）

为探寻当前层语句频度的规律，将 {当前层语句频度} 当作数列

第1层：当前层语句频度为

$c_{1}=a_{1}\times b_{1}=1\times (n+1-1)=1\times n=n=\frac{n!}{(n-1)!}=A_{n}^{1}$

第2层：当前层语句频度为

$c_{2}=a_{2}\times b_{2}=n \times (n+1-2) = n\ \times (n-1) =\frac{n!}{(n-2)!}=A_{n}^{2}$

第3层：当前层语句频度为

$\begin{matrix} c_{3}=a_{3}\times b_{3}=n\times (n-1)\times (n+1-3)=n\times (n-1)\times (n-2)=\frac{n!}{(n-3)!}=A_{n}^{3} \end{matrix}$

第4层：当前层语句频度为

$c_{4}=a_{4}\times b_{4}\\[1.5ex] =n\times (n-1) \times (n-2) \times (n+1-4)\\[1.5ex] =n\times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)=\frac{n!}{(n-4)!}=A_{n}^{4}$

第5层：当前层语句频度为

$c_{5}=a_{5}\times b_{5}\\[1.5ex] =n\times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times (n+1-5)\\[1.5ex] =n\times (n-1) \times (n-2) \times (n-3) \times (n-4)=\frac{n!}{(n-5)!}=A_{n}^{5}$

……

第n-1层：当前层语句频度为

$c_{n-1}=a_{n-1}\times b_{n-1}\\[1.5ex] =n\times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)\times (n-4)\times \cdots \times [n+1-(n-1)]\\[1.5ex] =n\times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)\times (n-4)\times \cdots \times 2=\frac{n!}{(n-(n-1))!}=A_{n}^{n-1}$

第n层：当前层语句频度为（对应 if 情况，直接代入1）

$c_{n}=a_{n}\times b_{n}\\[1.5ex] =n\times (n-1) \times (n-2) \times (n-3)\times (n-4)\times \cdots \times 2 \times 1=\frac{n!}{(n-n)!}=A_{n}^{n}$

求整个递归函数的总语句频度，就是将第1层到第n层的当前层语句频度相加

相当于对 {当前层语句频度} 这个数列求和

$S_{n}=\sum\limits_{i=1}^{n} A_{n}^{i}$

用阶乘表示为

$\sum\limits_{i=1}^{n} A_{n}^{i}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n!}{(n-i)!}$

这里的 n! 与求和变量 i 无关，相当于常数，可以将其提出

$\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{n!}{(n-i)!}=n!\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{(n-i)!}$

为了简化分母表示，设 $k=n-i$

因为 i 的变化规律是

$1,2,3,\cdots ,(n-1),n$

所以 k 的变化规律是

$(n-1),(n-2),(n-3),\cdots ,(n-(n-1)), (n-n)\\[1.5ex] =(n-1),(n-2),(n-3),\cdots ,1,0$

因为有加法交换律，所以求和变量从n-1到0 与从0到n-1 的求和结果相同

将上式改为用求和变量 k 表示的新求和式

$n!\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{(n-i)!}=n!\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}$

《高等数学》学过自然指数函数的麦克劳林展开为

$e^{x}=\frac{x^{0}}{0!}+\frac{x^{1}}{1!}+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$

当 $x=1$ 时，即为自然对数底e

$e=e^{1}=\frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\cdots=\sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}$

当问题规模(n) 的取值很大时，可近似为

$\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!} \approx \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!} \approx e$

最终递归函数的总语句频度近似为

$n!\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!} \approx n!\cdot e \approx e\cdot n!$

省略系数和无关项后，数量级为 $n!$ ，则时间复杂度为 $O(n!)$

$O(n!)$ 可以称作阶乘阶，将其与指数阶 $O(2^{n})$ 进行比较

可以看到 $n!$ 和 $2^{n}$ 这两个函数在第一象限有两个交点

一个交点在 $(0,1)$

另一个交点在 $n \in[3,4]$ 区间内

在第二次相交后， $n!$ 的增长速率明显要比 $2^{n}$ 快

所以当问题规模(n)趋于无穷大时： $O(n!)>O(2^{n})$

或者尝试使用主定理（Master定理）进行推导

再把代码贴过来，对本题进行分析

double f(int n)
{if(n==1) return 1;else{int i;double count=0;for(i=1; i<=n; i++){count+=f(n-1);}return count; }
}

下面从头开始分析

1、先看子问题数量： $a$

其实子问题数量就是子递归的调用次数

当前递归函数f(n)在for循环中调用n次子递归f(n-1)，所以子问题数量 $a=n$ ，满足条件 $a \geqslant 1$

2、再看子问题规模： $\frac{n}{b}$

从子递归调用f(n-1)可以看出子问题规模是 $n-1$ ，此时可以当作 $b=1$ ，不满足条件 $b>1$

所以不能使用主定理

3、最后看非递归操作的时间复杂度： $O(n^{d})$

进 if 时，对应第n层的叶子节点f(1)

只执行1条语句，节点语句频度为1，数量级为1，时间复杂度为 $O(1)=O(n^{0})$ ，此时 $d=0$

进else时，对应其他层的节点

进入for循环，for循环内执行非递归的加法语句，循环几次就执行几次

所以语句频度=循环次数，循环次数随问题规模改变

初始节点语句频度为n，数量级为n，时间复杂度为 $O(n)=O(n^{1})$ ，此时 $d=1$

虽然不能使用主定理，但是我们可以把递推公式写出来

$T(n)= \left\{\begin{matrix} nT(n-1)+O(n)&,\ n>1\\[1.5ex] O(1)&,\ n=1\end{matrix}\right.$

（下面使用递推公式进行不严谨的推导）

按问题规模减小，列出时间复杂度

$T(n)= nT(n-1)+O(n)\\[1.5ex] T(n-1)= (n-1)T(n-2)+O(n-1)\\[1.5ex] T(n-2)= (n-2)T(n-3)+O(n-2)\\[1.5ex] \cdots \\[1.5ex] T(2)= 2T(1)+O(2)\\[1.5ex] T(1)=O(1)$

将上述时间复杂度逐个代入T(n)

$T(n)= nT(n-1)+O(n)\\[1.5ex] \begin{matrix} = n((n-1)T(n-2)+O(n-1))+O(n) \end{matrix} \\[1.5ex] \begin{matrix} = n((n-1)((n-2)T(n-3)+O(n-2))+O(n-1))+O(n) \end{matrix} \\[1.5ex] \begin{matrix} \cdots \end{matrix} \\[1.5ex] \begin{matrix} = n((n-1)((n-2)((n-3)\cdots (2T(1)+O(2)) +\cdots +O(n-3))+O(n-2))+O(n-1))+O(n) \end{matrix} \\[1.5ex] \begin{matrix} = n((n-1)((n-2)((n-3)\cdots (2O(1)+O(2)) +\cdots +O(n-3))+O(n-2))+O(n-1))+O(n) \end{matrix} \\[1.5ex]$

将上式拆开，改用阶乘表示

$\begin{matrix} n((n-1)((n-2)((n-3)\cdots (2O(1)+O(2)) +\cdots +O(n-3))+O(n-2))+O(n-1))+O(n) \end{matrix} \\[1.5ex] \begin{matrix} = n(n-1)((n-2)((n-3)\cdots (2O(1)+O(2)) +\cdots +O(n-3))+O(n-2))+n\cdot O(n-1)+O(n) \end{matrix} \\[1.5ex] \begin{matrix} = n(n-1)(n-2)((n-3)\cdots (2O(1)+O(2)) +\cdots +O(n-3))+n\cdot (n-1)\cdot O(n-2)+n\cdot O(n-1)+O(n) \end{matrix} \\[1.5ex] \begin{matrix} = n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots (2O(1)+O(2)) +\cdots +n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdot O(n-3)+ n\cdot (n-1)\cdot O(n-2)+n\cdot O(n-1)+O(n) \end{matrix} \\[1.5ex] \begin{matrix} =\frac{n!}{1!}\cdot O(1)+ \frac{n!}{2!}\cdot O(2)+\cdots+\frac{n!}{(n-3)!}\cdot O(n-3) +\frac{n!}{(n-2)!}\cdot O(n-2) +\frac{n!}{(n-1)!}\cdot O(n-1)+\frac{n!}{n!}\cdot O(n) \end{matrix} \\[1.5ex]$

假设时间复杂度可以有如下运算规则（其中n是问题规模，c是常数）

$n\cdot O(1)=O(n)\\[1.5ex] n!\cdot O(1)=O(n!)\\[1.5ex] c\cdot O(1)=O(c)=O(1)\\[1.5ex] c\cdot O(n)=O(c\cdot n)=O(n)\\[1.5ex] c\cdot O(n!)=O(c\cdot n!)=O(n!)\\[1.5ex]$

则上式变为

$\begin{matrix} \frac{n!}{1!}\cdot O(1)+ \frac{n!}{2!}\cdot O(2)+\cdots+\frac{n!}{(n-3)!}\cdot O(n-3) +\frac{n!}{(n-2)!}\cdot O(n-2) +\frac{n!}{(n-1)!}\cdot O(n-1)+\frac{n!}{n!}\cdot O(n) \end{matrix} \\[1.5ex] \begin{matrix} =\frac{n!}{1!}\cdot 1\cdot O(1)+ \frac{n!}{2!}\cdot 2\cdot O(1)+\cdots +\frac{n!}{(n-3)!}\cdot (n-3)\cdot O(1)+\frac{n!}{(n-2)!}\cdot (n-2)\cdot O(1) +\frac{n!}{(n-1)!}\cdot (n-1)\cdot O(1)+\frac{n!}{n!}\cdot n \cdot O(1) \end{matrix} \\[1.5ex] \begin{matrix} =\frac{n!}{0!}\cdot O(1)+ \frac{n!}{1!}\cdot O(1)+\cdots+\frac{n!}{(n-4)!}\cdot O(1) +\frac{n!}{(n-3)!}\cdot O(1) +\frac{n!}{(n-2)!}\cdot O(1)+\frac{n!}{(n-1)!}\cdot O(1) \end{matrix} \\[1.5ex] \begin{matrix} =(\frac{n!}{0!}+ \frac{n!}{1!}+\cdots+\frac{n!}{(n-4)!} ++\frac{n!}{(n-3)!}+\frac{n!}{(n-2)!}+\frac{n!}{(n-1)!} )\cdot O(1) \end{matrix}\\[1.5ex] \begin{matrix} =(\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{n!}{k!})\cdot O(1) \end{matrix}\\[1.5ex] \begin{matrix} =(n!\sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!})\cdot O(1) \end{matrix}\\[1.5ex] \begin{matrix} =n!\cdot O(1) \cdot \sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!} \end{matrix}\\[1.5ex] \begin{matrix} =O(n!) \cdot \sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!} \end{matrix}\\[1.5ex]$

当问题规模(n) 的取值很大时，上式可近似为

$O(n!) \cdot \sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}\\[1.5ex] \approx O(n!) \cdot \sum\limits_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\\[1.5ex] \approx O(n!) \cdot e\\[1.5ex] \approx e\cdot O(n!)\\[1.5ex] \approx O(e\cdot n!)\\[1.5ex] \approx O(n!)\\[1.5ex]$

自然对数底e是常数，将其省略后，时间复杂度为 $O(n!)$

查看全文

http://www.dtcms.com/a/321250.html

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本文理论内容来自严蔚敏版《数据结构(C语言版 第2版)》

*本文仅为复习时的总结，描述不准确、过程不严谨之处，还请理解

一、算法的相关概念

首先复习一下算法的定义及5个重要特性

其次是算法的评价标准

可以看到 时间复杂度 属于算法评价标准中的高效性

二、时间复杂度的相关概念

下面介绍一些时间复杂度的相关概念

如果不考虑计算机的软硬件等环境因素

影响算法时间代价的最主要因素是问题规模（用非负整数 n 表示，）

问题规模是算法求解问题输入量的多少，是问题大小的本质表示

比如输入2个数排序、3个数排序、4个数排序，问题规模(n) 逐渐增大，执行时间也逐渐增加

再来看执行时间

对 语句的执行时间 进行拆解：

语句的重复执行次数 称作 语句频度（用 表示）

算法中能使语句重复执行的结构通常是循环结构，所以本文以for循环为例

为了简化分析，假设 每条语句执行一次所需的时间 均是 单位时间

所以 语句的执行时间=语句频度×单位时间

同理 算法的执行时间=所有语句频度之和×单位时间 （即提取公因式 "单位时间" ）

由于 单位时间 是定值

因此 算法的执行时间 与 所有语句频度之和 成正比

对于稍微复杂一些的算法，计算所有语句频度之和通常是比较困难的

因此，我们引入基本语句的概念，用于度量算法的工作量

基本语句指的是对算法的执行时间贡献最大的语句，它的语句频度 与 算法的执行时间 成正比

*为了方便描述，例题均以for循环为例，仅写出主要代码

如果不太了解for循环可以先看我的这篇文章——

《 for、while、do while循环的流程图表示及相应continue、break的流程图表示 》

for循环可以理解为

举例：for循环求1到100的和

对应关系

【例1】有以下代码，输入n代表问题规模（在后续例题中，此点将不再赘述），计算for循环体语句频度之和

在第一层for循环体中，只有1条语句：a++;

循环变量 i 从1到n，循环共执行 次

所以第一层for循环体的语句频度=循环体语句条数 x 循环执行次数=

在第二层for循环体中，有2条语句：b1++; b2++;

循环变量 i 从1到n，循环变量 j 从1到n，循环共执行 次

所以第二层for循环体的语句频度=循环体语句条数 x 循环执行次数=

在第三层for循环体中，有3条语句：c1++; c2++; c3++;

循环变量 i 从1到n，循环变量 j 从1到n，循环变量 k 从1到n，循环共执行 次

所以第三层for循环体的语句频度=循环体语句条数 x 循环执行次数=

所以for循环体语句频度之和为

当问题规模(n)趋于无穷大时

因为3是常数，所以 与 同阶（或称 的数量级为 ）

时间复杂度 用 语句频度的数量级 来表示（大表示法）

大表示法在数学上的定义：

和 都是定义在正整数集合上的函数

若存在正的常数： 和 ，对于所有 ， 均满足不等式

则记作

该定义用 来渐近表示时间复杂度

从图中可以看出时间复杂度 的增长至多趋向于 的增长

换句话说，大表示法 给出的是时间复杂度的一个渐近上界

【例1】的语句频度之和为 ，数量级为 ，则时间复杂度为

可以看到语句频度中起主要作用的是

对应第三层for循环体的3条语句：c1++; c2++; c3++;

则这3条语句是对算法的执行时间贡献最大的语句（即基本语句）

所以计算时间复杂度时，无需计算所有语句的语句频度，只需计算基本语句的语句频度，得出数量级即可

计算时间复杂度的步骤：

1.找出基本语句

2.计算基本语句的语句频度

3.省略系数和无关项，得出数量级，即为时间复杂度

三、求和式及其运算规则

在计算时间复杂度之前，需要先了解求和式

如果不太了解求和式可以先看我的这篇文章——《 求和式及其运算规则 》

求和符号 （读作sigma）

求和下限 ：代表求和变量 从1开始递增

求和上限 ：代表递增到n结束

求和表达式 ： 一般是通项公式（只不过是把通项下标符号从 n 换成 i 而已）

求和变量 从1递增到n，则求和表达式 从 变化到

求和式整体即从 累加到 ：

如果学过for循环就很好理解了

时 ：当前项 ，求和sum= ，i++自增到2

时 ：当前项 ，求和sum= ，i++自增到3

时 ：当前项 ，求和sum= ，i++自增到4

……

时 ：当前项 ，求和sum= ，i++自增到n

时 ：当前项 ，求和sum= ，i++自增到n+1

时：i<=n为假，循环结束

最终求和sum的值：

求和式的数乘规则（提取常数）：

（其中c为常数）

本文理论内容来自严蔚敏版《数据结构(C语言版第2版)》

可以看到时间复杂度属于算法评价标准中的高效性

影响算法时间代价的最主要因素是问题规模（用非负整数 n 表示， $n \geqslant 0$ ）

对语句的执行时间进行拆解：

语句的重复执行次数称作语句频度（用 $f(n)$ 表示）

为了简化分析，假设每条语句执行一次所需的时间均是单位时间

所以语句的执行时间=语句频度×单位时间

同理算法的执行时间=所有语句频度之和×单位时间（即提取公因式 "单位时间" ）

由于单位时间是定值

因此算法的执行时间与所有语句频度之和成正比

基本语句指的是对算法的执行时间贡献最大的语句，它的语句频度与算法的执行时间成正比

《 for、while、do while循环的流程图表示及相应continue、break的流程图表示》

循环变量 i 从1到n，循环共执行 $n$ 次

所以第一层for循环体的语句频度=循环体语句条数 x 循环执行次数= $1\times n=n$

循环变量 i 从1到n，循环变量 j 从1到n，循环共执行 $n\times n=n^{2}$ 次

所以第二层for循环体的语句频度=循环体语句条数 x 循环执行次数= $2\times n^{2}=2n^{2}$

循环变量 i 从1到n，循环变量 j 从1到n，循环变量 k 从1到n，循环共执行 $n\times n\times n=n^{3}$ 次

所以第三层for循环体的语句频度=循环体语句条数 x 循环执行次数= $3\times n^{3}=3n^{3}$

所以for循环体语句频度之和为 $f(n)=3n^{3} +2n^{2} +n$

因为3是常数，所以 $f(n)$ 与 $n^{3}$ 同阶（或称 $f(n)$ 的数量级为 $n^{3}$ ）

时间复杂度 $T(n)$ 用语句频度的数量级来表示（大 $O$ 表示法）

大 $O$ 表示法在数学上的定义：

$T(n)$ 和 $f(n)$ 都是定义在正整数集合上的函数

若存在正的常数： $c$ 和 $n_{0}$ ，对于所有 $n\ (n\geqslant n_{0})$ ，均满足不等式 $0\leqslant T(n)\leqslant c\cdot f(n)$

则记作 $T(n)=O (f(n))$

该定义用 $f(n)$ 来渐近表示时间复杂度 $T(n)$

从图中可以看出时间复杂度 $T(n)$ 的增长至多趋向于 $f(n)$ 的增长

换句话说，大 $O$ 表示法 $O (f(n))$ 给出的是时间复杂度的一个渐近上界 $f(n)$

【例1】的语句频度之和为 $f(n)=3n^{3} +2n^{2} +n$ ，数量级为 $n^{3}$ ，则时间复杂度为 $O(n^{3})$

可以看到语句频度中起主要作用的是 $3n^{3}$

在计算时间复杂度之前，需要先了解求和式 $\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}$

如果不太了解求和式可以先看我的这篇文章——《求和式及其运算规则》

求和符号 $\sum$ （读作sigma）

求和下限 $i=1$ ：代表求和变量 $i$ 从1开始递增

求和上限 $n$ ：代表递增到n结束

求和表达式 $a_{i}$ ：一般是通项公式（只不过是把通项下标符号从 n 换成 i 而已）

求和变量 $i$ 从1递增到n，则求和表达式 $a_{i}$ 从 $a_{1}$ 变化到 $a_{n}$

求和式整体即从 $a_{1}$ 累加到 $a_{n}$ ： $\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n-1}+a_{n}$

$i=1$ 时：当前项 $a_{i}=a_{1}$ ，求和sum= $a_{1}$ ，i++自增到2

$i=2$ 时：当前项 $a_{i}=a_{2}$ ，求和sum= $a_{1}+a_{2}$ ，i++自增到3

$i=3$ 时：当前项 $a_{i}=a_{3}$ ，求和sum= $a_{1}+a_{2}+a_{3}$ ，i++自增到4

$i=n-1$ 时：当前项 $a_{i}=a_{n-1}$ ，求和sum= $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n-1}$ ，i++自增到n

$i=n$ 时：当前项 $a_{i}=a_{n}$ ，求和sum= $a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n-1}+a_{n}$ ，i++自增到n+1

$i=n+1$ 时：i<=n为假，循环结束

最终求和sum的值： $sum=\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n-1}+a_{n}$

$\sum\limits_{i=1}^{n} (c\cdot a_{i})=c\sum\limits_{i=1}^{n} a_{i}$ （其中c为常数）

$\sum\limits_{i=1}^{n}a_{i}=\sum\limits_{i=1}^{m}a_{i}+\sum\limits_{i=m+1}^{n}a_{i}$ （其中 $1\leqslant m< m+1\leqslant n$ ）

下面区分一下嵌套无关循环和嵌套相关循环

（有点类似于SQL的不相关子查询和相关子查询）

2.基本语句的语句频度： $\Large \sum\limits_{i=1}^{n}1 \times \sum\limits_{j=1}^{n}1=n \times n=n^{2}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n^{2})$

（通常情况，求和下限直接照抄循环变量初始化即可，后续不再赘述）

语句频度是 $n^{2}$ ，数量级为 $n^{2}$ ，则时间复杂度为 $O(n^{2})$

2.基本语句的语句频度： $\sum\limits_{i=1}^{n}1 \times \sum\limits_{j=1}^{n}1 \times \sum\limits_{k=1}^{n}3=n \times n \times 3n=3n^{3}$

3.时间复杂度： $T(n)=O(n^{3})$