【优选算法】多源BFS

多源BFS简介

多源 BFS 是广度优先搜索（BFS）的一种扩展形式，核心思想是从多个初始节点同时出发，按照层次逐层向外扩展，适用于需要计算 “多个源点到其他节点的最短距离” 或 “全局最优解” 的场景。

在单权（即所有边的权重相同，通常为 1）的情况下，多源 BFS 的优势尤为明显，因为 BFS 的 “逐层扩展” 特性天然保证了首次到达某节点时的距离就是最短距离。

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一、01 矩阵

题目描述：

思路讲解：
本道题需要我们计算矩阵中每个 非0 到最近的 0 的距离，若正向搜索从 非0 到 0 的最近距离，需要我们找到最近 0 ，然后倒回去修改 非0 上的距离，这样会显得很麻烦，所以我们可以换一种思路，找到所有的 0 ，然后同时向外逐层扩展搜索，找到最近的 非0，并修改它的距离。以下是具体思路：

1. 将所有值为 0 的位置作为 BFS 的起点（初始队列），因为它们到自身的距离为 0。创建与原矩阵同等规模的矩阵 ans，初始化距离矩阵 ans，其中值为 0 的位置距离为 0，其余位置初始化为-1（表示尚未访问）

2. 定义一个变量记录当前距离

3. BFS逐层扩展搜索：

   • 记录当前队列中元素的个数为 cnt，并将距离 +1
   • 将以下步骤循环执行 cnt 次
     • 从队列中取出当前位置，遍历其上下左右四个相邻位置
     • 若相邻位置未被访问过，则更新其距离为当前距离 + 1，并将其加入队列

4. 队列为空时，所有位置的最短距离均已计算完毕

编写代码：

class Solution {int dx[4] = {0,0,-1,1};int dy[4] = {1,-1,0,0};
public:vector<vector<int>> updateMatrix(vector<vector<int>>& mat) {int rows = mat.size() , cols = mat[0].size();vector<vector<int>> ans(rows,vector<int>(cols,-1));queue<pair<int,int>> qu;for(int i = 0 ; i < rows ; i++){for(int j = 0 ; j < cols ; j++){if(mat[i][j] == 0){qu.push({i,j});ans[i][j] = 0;}}}while(!qu.empty()){int qu_x = qu.front().first , qu_y = qu.front().second;qu.pop();for(int i = 0 ; i < 4 ; i++){int x = qu_x + dx[i] , y = qu_y + dy[i];if(x >= 0 && x < rows && y >= 0 && y < cols && mat[x][y] != 0 && ans[x][y] == -1){qu.push({x,y});ans[x][y] = ans[qu_x][qu_y] + 1;}}}return ans;}
};

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二、飞地的数量

题目描述：

思路讲解：
本道题需要我们找到所有无法通过移动到达网格边界的陆地单元格（即被海洋完全包围的陆地）。但是想要正向判断是否无法通过移动到达网格边界的陆地单元格，需要先找到一个未被访问的陆地单元格，再通过一次BFS判断该区域是否被海洋包围，如果被海洋包围，则增加陆地单元格的数量。

这里还有一种方式我认为比上面一个方法更加简单。先找出所有不被围绕的陆地，并将这些陆地标记为已访问，剩下的陆地都是不被包围的，再遍历整个二维数组，记录剩下陆地的数量。

1. 遍历二维数组中边缘四条边中的每个位置 [i, j] ，将所有陆地单元格的位置作为 BFS 的起点
2. 创建与原矩阵同等规模的矩阵 vis，初始化距离矩阵 vis 为 false，表示尚未访问
3. BFS 处理连通区域：
   • 记录当前队列中元素的个数为 cnt
   • 将以下步骤循环执行 cnt 次
     • 从队列中取出位置，遍历其上下左右四个方向的相邻位置
     • 对每个相邻位置，若在二维数组范围内且为陆地，将该位置标记为false，表示已访问，继续扩展处理
4. 遍历二维数组，统计未被访问并且为陆地的数量
5. 处理完毕后，返回陆地数量

编写代码：

class Solution {int dx[4] = {0, 0, -1, 1};int dy[4] = {1, -1, 0, 0};public:int numEnclaves(vector<vector<int>>& grid) {int rows = grid.size(), cols = grid[0].size();vector<vector<bool>> vis(rows, vector<bool>(cols, false));queue<pair<int, int>> qu;for (int i = 0; i < rows; i++) {if (grid[i][0] == 1) {qu.push({i, 0});vis[i][0] = true;}if (grid[i][cols - 1] == 1) {qu.push({i, cols - 1});vis[i][cols - 1] = true;}}for (int i = 0; i < cols; i++) {if (grid[0][i] == 1) {qu.push({0, i});vis[0][i] = true;}if (grid[rows - 1][i] == 1) {qu.push({rows - 1, i});vis[rows - 1][i] = true;}}while (!qu.empty()) {int qu_x = qu.front().first, qu_y = qu.front().second;qu.pop();for (int i = 0; i < 4; i++) {int x = qu_x + dx[i], y = qu_y + dy[i];if (x >= 0 && x < rows && y >= 0 && y < cols &&grid[x][y] == 1 && vis[x][y] == false) {qu.push({x, y});vis[x][y] = true;}}}int ans = 0;for (int i = 1; i < rows - 1; i++) {for (int j = 1; j < cols - 1; j++) {if (grid[i][j] == 1 && vis[i][j] == false)ans++;}}return ans;}
};

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三、地图中的最高点

题目描述：

思路讲解：
本道题需要我们为每个单元格分配高度，使得水域单元格高度为 0，相邻单元格高度差不超过 1，并且最高高度尽可能大。通过使用BFS从所有水域单元格同步向外扩展，可以确保每个陆地单元格的高度是到最近水域的最短距离。以下是具体思路：

1. 将所有水域单元格（值为 1 的位置）加入 BFS 队列。创建与原二维数组同等规模的二维数组 ans，初始化二维数组 ans 高度，其中水域位置高度为 0，陆地位置初始为 - 1（表示未访问）
2. 定义一个变量记录当前高度
3. BFS逐层扩展搜索：
   • 记录当前队列中元素的个数为 cnt，并将高度 +1
   • 将以下步骤循环执行 cnt 次
     • 从队列中取出当前位置，遍历其上下左右四个相邻位置
     • 若相邻位置为未访问的陆地，则将其高度设为当前高度，并加入队列继续扩展
4. 所有单元格的高度均已计算完毕，返回二维数组ans

编写代码：

class Solution {int dx[4] = {0, 0, -1, 1};int dy[4] = {1, -1, 0, 0};public:vector<vector<int>> highestPeak(vector<vector<int>>& isWater) {int rows = isWater.size() , cols = isWater[0].size();vector<vector<int>> ans(rows,vector<int>(cols,-1));queue<pair<int,int>> qu;for(int i = 0 ; i < rows ; i++){for(int j = 0 ; j < cols ; j++){if(isWater[i][j] == 1){ans[i][j] = 0;qu.push({i,j});}}}while(!qu.empty()){int qu_x = qu.front().first , qu_y = qu.front().second;qu.pop();for(int i = 0 ; i < 4 ; i++){int x = qu_x + dx[i] , y = qu_y + dy[i];if(x >= 0 && x < rows && y >= 0 && y < cols && isWater[x][y] == 0 && ans[x][y] == -1){qu.push({x,y});ans[x][y] = ans[qu_x][qu_y] + 1;}}}return ans;}
};

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四、地图分析

题目描述：

思路讲解：
本道题需要我们找到距离最近陆地最远的海洋单元格，并返回其曼哈顿距离。假设“从海洋找陆地”，两个相邻的海洋单元格可能会重复搜索同一区域的陆地，会导致重复计算和高时间复杂度。

这里我们换一种思路“从陆地找海洋”，通过从所有陆地单元格同步向外扩展，可以逐层计算每个海洋单元格到最近陆地的距离，最后取最大值即可。

1. 将所有陆地单元格（值为 1 的位置）加入 BFS 队列，初始距离为 0。初始化距离矩阵ans，陆地位置距离为 0，海洋位置初始为 - 1（表示未访问）。
2. 定一个变量记录最大距离，再定义一个变量记录当前距离
3. BFS逐层扩展搜索：
   • 记录当前队列中元素的个数为 cnt，并将当前距离 +1
   • 将以下步骤循环执行 cnt 次
     • 从队列中取出当前位置，遍历其上下左右四个相邻位置
     • 若相邻位置为未访问的海洋，则将其距离设为当前距离，通过与最大距离对比，得到新的最大距离
     • 若相邻位置为未访问的海洋，将该位置设置为false，表示已访问，并将该位置加入队列继续扩展

• 若所有单元格都是陆地或海洋，返回 - 1，反正则返回最大距离

编写代码：

class Solution {int dx[4] = {0, 0, -1, 1};int dy[4] = {1, -1, 0, 0};
public:int maxDistance(vector<vector<int>>& grid) {int rows = grid.size() , cols = grid[0].size();vector<vector<bool>> vis(rows,vector<bool>(cols,false));queue<pair<int,int>> qu;for(int i = 0 ; i < rows ; i++){for(int j = 0 ; j < cols ; j++){if(grid[i][j] == 1){qu.push({i,j});vis[i][j] = true;}}}int ans = -1;while(!qu.empty()){ans++;int cnt = qu.size();while(cnt--){int qu_x = qu.front().first , qu_y = qu.front().second;qu.pop();for(int i = 0 ; i < 4 ; i++){int x = qu_x + dx[i] , y = qu_y + dy[i];if(x >= 0&& x < rows && y >= 0 && y < cols && grid[x][y] == 0 && vis[x][y] == false){qu.push({x,y});vis[x][y] = true;}}}}if(ans == 0) return -1;else return ans;}
};

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结尾

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