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【题解】洛谷P3172 [CQOI2015] 选数[杜教筛]

news 2025/8/8 11:09:38

题面：从 $[L,H]$ 选 $N$ 个数（可能重复），一共有 $(H-L+1)^N$ 种取法。问这些取法中满足 $N$ 个数最大公约数为 $K$ 的有多少种。

第一眼就知道要把 $L=\left \lfloor \frac{L}{K} \right \rfloor+[L\,mod\,K\neq 0]$ ， $H=\left \lfloor \frac{H}{K} \right \rfloor$ 。

然后问题就变成求满足 $N$ 个数最大公约数为 $1$ 有多少种。

然后就莫反+杜教筛，但还有递推做法，我都讲下。

（1）莫反+杜教筛做法

分两种推公式的方法，一种是造俩函数然后倍数莫反，我觉得不常用且不好想就没写在这里。

想看可以去这里。

~~洛谷上LaTeX用的都挺感人的，我换种人能看的懂的方式。~~

题面：从 $[L,H]$ 选 $N$ 个数（可能重复），一共有 $(H-L+1)^N$ 种取法。问这些取法中满足 $N$ 个数最大公约数为 $K$ 的有多少种。

第一眼就知道要把 $L=\left \lfloor \frac{L}{K} \right \rfloor+[L\,mod\,K\neq 0]$ ， $H=\left \lfloor \frac{H}{K} \right \rfloor$ 。

然后问题就变成求满足 $N$ 个数最大公约数为 $1$  有多少种。

公式： $\sum_{a_1=L}^{H}\sum_{a_2=L}^{H}\sum_{a_3=L}^{H}...\sum_{a_N=L}^{H}[gcd(a_1,a_2,a_3...,a_N)=1]$

没见过这么丑的，硬着头皮反演吧。

$=\sum_{a_1=L}^{H}\sum_{a_2=L}^{H}\sum_{a_3=L}^{H}...\sum_{a_N=L}^{H}\sum_{d|gcd(a_1,a_2,a_3...,a_N)}^{}\mu (d)$

$=\sum_{d=1}^{H}\mu (d)\sum_{a_1=L}^{H}\sum_{a_2=L}^{H}...\sum_{a_N=L}^{H}[d|gcd(a_1,a_2,a_3...,a_N)]$

$=\sum_{d=1}^{H}\mu (d)\sum_{a_1=\frac{L}{d}}^{\frac{H}{d}}\sum_{a_2=\frac{L}{d}}^{\frac{H}{d}}...\sum_{a_N=\frac{L}{d}}^{\frac{H}{d}}$

$=\sum_{d=1}^{H}\mu (d)(\frac{H}{d}-\frac{L}{d})^N$

注意这个 $\frac{L}{d}$ ，直接除以 $d$ 的话，有些情况会不符合我们想要的“ $[L,H]$ 中所有的 $d$ 的倍数”。

考虑让 $L-1$ ，实际上 $\left \lfloor \frac{H}{d} \right \rfloor-\left \lfloor \frac{L-1}{d} \right \rfloor=\left \lfloor \frac{H}{d} \right \rfloor-(\left \lfloor \frac{L}{d} \right \rfloor+[L\,mod\,d\neq 0])+1$ 。

同学们自己试下 $L\,mod\,d=0$ 和 $d=1$ 的情况就知道为什么了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
template<typename T> void qread(T &x){x=0; int f=1; char c=getchar();for(; !isdigit(c); c=getchar()) if(c=='-') f=-1;for(; isdigit(c); c=getchar()) x=x*10+(c-'0');x*=f;
}
typedef long long LL;
const int N=5e6+10;
const LL P=1e9+7;
int pr, prime[N];
LL mu[N];
bool v[N]; 
void init(){pr=0; memset(v, 0, sizeof(v));mu[1]=1; mu[0]=0;for(int i=2; i<=N-10; i++){if(!v[i]){pr++; prime[pr]=i;mu[i]=-1;} for(int j=1; (j<=pr) && (i*prime[j]<=N-10); j++){int p=prime[j];v[i*p]=1;if(i%p==0){mu[i*p]=0;break;}else mu[i*p]=-mu[i]; }}for(int i=1; i<=N-10; i++) mu[i]+=mu[i-1];
}
LL q_pow(LL a, LL b){LL res=1;while(b){if(b&1) res=res*a%P;a=a*a%P; b/=2;}return res;
}
LL n, K, L, H;
map<LL, LL> hsm;
LL calc(LL x){if(x<=N-10) return mu[x];if(hsm.find(x)!=hsm.end()) return hsm[x];LL res=1;for(int i=2, j; i<=x; i=j+1){j=x/(x/i);res=(res-calc(x/i)*(j-i+1)%P+P)%P;}return hsm[x]=res;
}
LL solve(){LL res=0; L--;for(int i=1, j; i<=H; i=j+1){if(!(L/i)) j=H/(H/i); //到了一定位置大家的 L/i都变成 0，没有参考价值了 else j=min(L/(L/i), H/(H/i));res=(res+q_pow(H/i-L/i, n)*((calc(j)-calc(i-1))%P+P)%P)%P;}return res;
}
int main(){init();qread(n); qread(K); qread(L); qread(H);H=H/K; L=((L%K==0)? L=L/K: L=L/K+1);printf("%lld\n", solve());return 0;
}