裴蜀定理应用

什么是裴蜀定理

$$对于不全为0的整数a，b，一定存在整数x，y，满足ax+by=gcd(a,b)$$
就比如$2x+6y=8$就有解，比如$x=1,y=1或者x=4,y=0$
而$2x+6y=1$，就找不到对应的一组整数解

裴蜀定理的简单证明

设有整数$x_0,y_0$，$ax+by$为最小正整数结果为$c$，即
$$a{x}_0+b{y}_0=c$$
因为有
$$gcd(a,b)|a{x}_0,gcd(a,b)|b{y}_0$$
所以
$$gcd(a,b)|c(1)$$
不妨设
$$a=kc+r(0\le r<c)$$
就有
$$\begin{array}{rcl}r& =& a-kc\\ & =& a-k(a{x}_0+b{y}_0)\\ & =& a(1-k{x}_0)+b(-k{y}_0)\\ & =& ax+by\end{array}$$
因为$s$是最小的正整数，所以$r=0$
所以$s|a，同理s|b$
所以
$$s|gcd(a,b)(2)$$
由$(1)，(2)$可证$s=gcd(a,b)$

裴蜀定理推论

• 对于$ax+by=c$，如果$c满足gcd(a,b)|c$，那么该方程就有整数解，即
  $$线性方程ax+by=c有整数解，当且仅当gcd(a,b)\mid c$$
• 一定存在整数$X_1\cdots X_i$，满足
  $$\sum _{i=1}^n{A}_i{X}_i=gcd(A_1,A_2,A_3\cdots A_n)$$
  如果有负数，可以加上绝对值，不会影响最终结果

题目洛谷P4549 【模板】裴蜀定理

题目描述

给定一个包含 $n$ 个元素的整数序列 $A$，记作 $A_1,A_2,A_3,...,A_n$。

求另一个包含 $n$ 个元素的待定整数序列 $X$，记 $S=\sum _{i=1}^n{A}_i\times X_i$，使得 $S>0$ 且 $S$ 尽可能的小。

输入格式

第一行一个整数 $n$，表示序列元素个数。

第二行 $n$ 个整数，表示序列 $A$。

输出格式

一行一个整数，表示 $S>0$ 的前提下 $S$ 的最小值。

输入输出样例 #1

输入 #1

2
4059 -1782

输出 #1

99

说明/提示

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n\le 20$，$|A_i|\le 10^5$，且 $A$ 序列不全为 $0$。

题目分析

这个的本质就是求所有系数的最大公约数，可以从上文的裴蜀定理的推论知道

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll =long long ;const int N=1e6;int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;
}int main(){int n;cin>>n;int s=0;for(int i=1;i<=n;i++){int a;cin>>a;s=gcd(s,abs(a));}cout<<s;
}