进制间的映射关系

✅ 问题一：为什么不同进制之间会有特定的映射关系？

✅ 问题二：为什么八进制和十六进制可以被看作是二进制的简化形式？

---

🔍 一、为什么不同进制之间有特定的映射关系？

这是因为 所有进制本质上只是表示数的不同方式，它们都代表相同的数值，只是写法不同。

📌 举例说明：

比如数字 10（十进制），它表示的是：

• 二进制：1010
• 八进制：12
• 十六进制：A

它们虽然写法不同，但都表示同一个数量。

🧠 数学原理：

每种进制的每一位都有一个“权值”，这个权值是 基数的幂次。例如：

进制	表示方式	权值展开式	数值
十进制	10	$1\times 10^1+0\times 10^0$	10
二进制	1010	$1\times 2^3+0\times 2^2+1\times 2^1+0\times 2^0$	8 + 0 + 2 + 0 = 10
八进制	12	$1\times 8^1+2\times 8^0$	8 + 2 = 10
十六进制	A	$10\times 16^0$	10

所以，映射关系的本质是：不同进制对同一个数值的不同表示方式。

---

🔍 二、为什么八进制和十六进制是二进制的“简化形式”？

这是因为在计算机系统中，二进制太长、太繁琐，而八进制和十六进制可以更简洁地表示二进制数据。

✅ 1. 八进制（Octal）与二进制的关系

• 每个八进制位 = 3 位二进制
• 因为 $2^3=8$，所以三位二进制刚好可以表示 0 到 7 这 8 个数字。

📌 示例：

二进制（3位）	八进制
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

📌 举例：

• 二进制 110110111 分组：110 110 111 → 八进制 667

---

✅ 2. 十六进制（Hexadecimal）与二进制的关系

• 每个十六进制位 = 4 位二进制
• 因为 $2^4=16$，所以四位二进制可以表示 0 到 15 的所有数字。

📌 示例：

二进制（4位）	十六进制
0000	0
0001	1
…	…
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

📌 举例：

• 二进制 110110111100 分组：1101 1011 1100 → 十六进制 DBC

---

🧠 总结：为什么会有这些映射关系？

原因	说明
统一表示数量	所有进制都是对同一个数值的不同表示方式
计算机底层是二进制	计算机使用 0 和 1 表示一切数据
八进制、十六进制简化二进制	每 3 位（八进制）或 4 位（十六进制）可以表示一组二进制，更简洁
便于人类理解	程序员和工程师更容易记住和操作 FF 而不是 11111111

---

📌 举个生活中的类比：

你可以把进制想象成不同语言对同一个词的翻译：

• 英语：cat
• 中文：猫
• 法语：chat
• 日语：猫（ねこ）

它们写法不同，但表达的都是“猫”这个概念。就像：

• 二进制：1010
• 十进制：10
• 十六进制：A

它们写法不同，但表示的都是数量 10。

---

二进制与其他进制的映射

二进制 (Base-2)	八进制 (Base-8)	十进制 (Base-10)	十六进制 (Base-16)
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F