码分多路复用(CDM）中芯片序列正交和规格化内积的具体含义
好的，我们来详细解释一下码分多路复用（CDM/CDMA）中的“芯片序列相互正交”和“规格化内积为0”这两个核心概念，并用例子说明。
核心思想：
在CDM中，多个站点共享相同的频率带宽和相同的时间来传输数据。为了让接收方能够从混合信号中分离出特定站点的信号，需要给每个站点分配一个唯一的、特殊的编码序列，称为芯片序列（Chip Sequence）或扩频码（Spreading Code）。
1. 芯片序列（Chip Sequence）
- 是什么？ 这是一个由二进制值（通常是 +1 和 -1）组成的序列。序列的长度称为码片长度（Chip Length） 或 扩频因子（Spreading Factor），记为
L。 - 作用：
- 发送端： 用这个序列对要发送的**一个数据位（Data Bit）**进行“编码”或“扩频”。具体做法是将数据位（+1 或 -1）乘以整个芯片序列。如果数据位是 +1，就发送原序列；如果数据位是 -1，就发送序列的反码（每个 +1 变 -1，每个 -1 变 +1）。这大大扩展了信号的带宽。
- 接收端： 知道目标站点的芯片序列。它用这个序列与接收到的混合信号进行“相关运算”（本质就是计算内积）。如果结果是大的正数，就判定对方发送了数据位 +1；如果是大的负数，就判定发送了 -1；如果结果接近 0，就认为这个站点没有发送有效信号或干扰被抑制。
2. 相互正交（Mutually Orthogonal）
- 数学定义（向量角度）： 在数学上，如果两个向量的点积（内积）为 0，则称这两个向量正交（Orthogonal）。
- 在CDM中的含义： 我们说分配给不同站点的芯片序列
S和T是相互正交的，是指当我们将这两个序列按位相乘后求和的结果等于 0。计算方式就是它们的内积（Inner Product）。 - 物理意义： 正交性意味着一个站点的芯片序列与另一个站点的芯片序列“完全不相似”。当接收方使用站点 S 的序列去解调混合信号时，其他使用正交序列（如 T）的站点发送的信号，在计算 S 的相关性时，其贡献会相互抵消，结果接近于 0。这样，接收方就能清晰地检测出 S 发送的数据位，而忽略掉 T 的信号（表现为背景噪声），反之亦然。这是实现多用户同时无干扰通信的关键。
3. 规格化内积（Normalized Inner Product）
- 是什么？ 就是两个序列
S和T的**普通内积（点积）**除以序列的长度L。- 普通内积：
S • T = S₁T₁ + S₂T₂ + ... + SₗTₗ - 规格化内积：
(S • T) / L
- 普通内积：
- 为什么需要规格化？
- 普通内积的结果大小依赖于序列长度
L。规格化后，结果被归一化到 [-1, 1] 的范围内。 - 规格化内积为 0 等价于 普通内积为 0。要求规格化内积为 0 和 要求普通内积为 0 在判定正交性上是完全等价的。规格化形式有时更便于比较和理论分析。
- 普通内积的结果大小依赖于序列长度
- 在CDM中的要求： 为了确保站点间无干扰，分配给不同站点的芯片序列之间的规格化内积必须为 0。
例子说明：
假设我们有 4 个站点（A, B, C, D），系统使用长度为 4 (L=4) 的芯片序列。以下是满足相互正交（规格化内积为 0）的经典例子：Walsh 码 或 Hadamard 码。
-
分配序列：
- 站点 A 序列：
S_A = [+1, +1, +1, +1] - 站点 B 序列：
S_B = [+1, -1, +1, -1] - 站点 C 序列：
S_C = [+1, +1, -1, -1] - 站点 D 序列：
S_D = [+1, -1, -1, +1]
- 站点 A 序列：
-
验证相互正交性（计算规格化内积）：
- S_A • S_B:
- 普通内积：
(+1)(+1) + (+1)(-1) + (+1)(+1) + (+1)(-1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0 - 规格化内积：
0 / 4 = 0
- 普通内积：
- S_A • S_C:
- 普通内积：
(+1)(+1) + (+1)(+1) + (+1)(-1) + (+1)(-1) = 1 + 1 - 1 - 1 = 0 - 规格化内积：
0 / 4 = 0
- 普通内积：
- S_A • S_D:
- 普通内积：
(+1)(+1) + (+1)(-1) + (+1)(-1) + (+1)(+1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0 - 规格化内积：
0 / 4 = 0
- 普通内积：
- S_B • S_C:
- 普通内积：
(+1)(+1) + (-1)(+1) + (+1)(-1) + (-1)(-1) = 1 - 1 - 1 + 1 = 0 - 规格化内积：
0 / 4 = 0
- 普通内积：
- S_B • S_D:
- 普通内积：
(+1)(+1) + (-1)(-1) + (+1)(-1) + (-1)(+1) = 1 + 1 - 1 - 1 = 0 - 规格化内积：
0 / 4 = 0
- 普通内积：
- S_C • S_D:
- 普通内积：
(+1)(+1) + (+1)(-1) + (-1)(-1) + (-1)(+1) = 1 - 1 + 1 - 1 = 0 - 规格化内积：
0 / 4 = 0
- 普通内积：
- S_A • S_B:
-
结论： 序列
S_A,S_B,S_C,S_D两两之间的规格化内积均为 0，因此它们是相互正交的。在一个 CDM 系统中，这 4 个站点可以同时使用这些序列在同一个频率上发送数据，而不会造成相互干扰（在理想信道条件下）。
接收端如何工作？(简化示例)
假设只有站点 A 和站点 B 同时发送数据：
- 站点 A 发送数据位：
d_A = +1-> 发送序列：S_A_sent = d_A * S_A = (+1) * [+1, +1, +1, +1] = [+1, +1, +1, +1] - 站点 B 发送数据位：
d_B = -1-> 发送序列：S_B_sent = d_B * S_B = (-1) * [+1, -1, +1, -1] = [-1, +1, -1, +1] - 空中混合信号：
M = S_A_sent + S_B_sent = [+1 + (-1), +1 + (+1), +1 + (-1), +1 + (+1)] = [0, +2, 0, +2]
现在，接收方想解码站点 A 的信号：
- 计算相关性 (内积)：
M • S_A = (0)(+1) + (+2)(+1) + (0)(+1) + (+2)(+1) = 0 + 2 + 0 + 2 = 4 - 规格化相关性 (等效)：
(M • S_A) / L = 4 / 4 = +1 - 判决： 结果
+1是显著的正值，大于 0 -> 判定站点 A 发送了+1。
接收方想解码站点 B 的信号：
- 计算相关性 (内积)：
M • S_B = (0)(+1) + (+2)(-1) + (0)(+1) + (+2)(-1) = 0 - 2 + 0 - 2 = -4 - 规格化相关性 (等效)：
(M • S_B) / L = -4 / 4 = -1 - 判决： 结果
-1是显著的负值，小于 0 -> 判定站点 B 发送了-1。
关键点：
- 当接收方用站点 A 的序列
S_A去解调混合信号M时，站点 B 的信号 (S_B_sent) 因为与S_A正交（S_B • S_A = 0），其贡献在计算M • S_A时被完美抵消掉了 (S_B_sent • S_A = (d_B * S_B) • S_A = d_B * (S_B • S_A) = d_B * 0 = 0)，只剩下站点 A 自身信号的贡献 (d_A * (S_A • S_A) = d_A * L)。 - 同理，用
S_B解调时，站点 A 的信号贡献也被抵消。 (S_A • S_A) / L = (1+1+1+1)/4 = 4/4 = +1，(S_B • S_B) / L = (1+1+1+1)/4 = 4/4 = +1。这就是为什么解调出的规格化结果正好等于发送的数据位d_A或d_B（+1 或 -1）。规格化内积为 0 确保了其他用户信号的干扰项为 0。
总结：
- 芯片序列相互正交： 指分配给不同用户的二进制编码序列（+1/-1）之间，按位相乘再求和的结果（即内积）等于 0。
- 规格化内积为 0： 是正交性的另一种等价表述，即内积结果除以序列长度等于 0。它确保了解调时，非目标用户信号的干扰被完全消除，使得接收端能够准确恢复出目标用户发送的数据位（+1 或 -1）。
- Walsh/Hadamard 码 是实际系统中常用的一组能满足这种正交性要求的芯片序列。
正交性要求是 CDM/CDMA 技术能够允许多个用户在同一时间、同一频段上无冲突通信的理论基石。