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专题解空间的一种遍历方式：深度优先（Depth First）

news 2025/7/21 9:02:25

概念解释

定义

首先需要知道解空间是什么。概括地，解空间是一个逻辑结构，为实际问题中的解可能存在的逻辑区域。

深度优先，则是一种非常常见、应用非常广泛的一个遍历方式。在各种各样的解空间中，包括线性空间，树结构，图结构中都可以用到深度优先的一种方式。

自然，在线性序列中寻找解的深度优先，称为深度优先搜索（Depth First Serach)；在树与图上称为深度优先遍历（其实本质是一样的）。

特征

深度优先，这限定了这个思想是有优先级的：在面临决策时，往往朝着一个方向深入，直到这个方向上再无可能存在可行解，才会返回。用古话讲：

“ 不撞南墙不回头。”

算法分析

通常，这种深度优先的思想可以借助于一种物理模型来实现：栈（FILO）。更常用的，则是借助递归这一逻辑结构来实现的。本文不做区分，介绍DFS也就介绍了递归。（本栏目介绍DP而不介绍递推。）

递归，通俗理解，为自调用函数。顾名思义，自己调用自己的函数。我们需要知道这么几个特性：

栈帧。这是计算机储存某一层次递归时的信息的位置结构；
返回，又称回溯。这是程序执行到“无路可走”的时候将会返回上一层的栈帧，并提取上一层的信息。
搜索树。这是一个解空间，但是，实际情况是：这个树结构并不客观存在，但是在DFS运行过程中体现的一种逻辑结构
状态。这个在研究DP时会着重提到，但是在DFS的概念里，我们认为：搜索树上的一个节点代表着一个状态。事实上，关于DP的许多概念在DFS里也是有体现的，这里不展开了。
剪枝。这是搜索算法特有的一种手段。由于大部分情况下，搜索算法本质上是一种暴力枚举，这导致时间复杂度通常不是多项式级别的。相对于搜索树，我们“剪去不可能达到的枝叶”，等效于排除不可能的状态，这是搜索算法生命力旺盛的原因之一：剪枝会使时间复杂度趋近于多项式复杂度。

下面介绍几个例题，加深对DFS的理解。

luogu.B3621 枚举元组
luogu.B3622 枚举子集（递归实现指数型枚举）

luogu.P10448 组合型枚举

B3623 枚举排列（递归实现排列型枚举）

这四道题是计数问题的基石。我们直接对后三道题给出分析：

一、参数设计对比

‌子集枚举‌（B3622）：
- 仅需x记录当前处理位置
- a[]数组存储选择状态（0/1）
- ‌无‌mark数组（实际未使用）
‌组合枚举‌（B10448）：
- x记录已选元素数量
- last保证组合升序（关键去重参数）
- mark数组防止元素重复使用
‌排列枚举‌（B3623）：
- x记录当前填充位置
- mark数组确保元素不重复
- 注意：代码中a[x]=i被重复赋值（第二处是冗余操作）

二、递归结构差异

子集枚举（n=3示例）：

dfs(1)
├─ a[1]=0 → dfs(2)
│   ├─ a[2]=0 → dfs(3)
│   │   ├─ a[3]=0 → 输出NNN
│   │    └─ a[3]=1 → 输出NNY
│    └─ a[2]=1 → dfs(3)
│       ├─ a[3]=0 → 输出NYN
│        └─ a[3]=1 → 输出NYY
└─ a[1]=1 → dfs(2)├─ a[2]=0 → dfs(3)│   ├─ a[3]=0 → 输出YNN│   └─ a[3]=1 → 输出YNY└─ a[2]=1 → dfs(3)├─ a[3]=0 → 输出YYN└─ a[3]=1 → 输出YYY

‌特点‌：二叉树结构，每个节点分两支（选/不选）

组合枚举（n=3,m=2示例）：

dfs(1,1)
├─ i=1: mark[1]=1 → dfs(2,1)
│   ├─ i=2: mark[2]=1 → 输出1 2
│    └─ i=3: mark[3]=1 → 输出1 3
├─ i=2: mark[2]=1 → dfs(2,2)
│    └─ i=3: mark[3]=1 → 输出2 3
└─ i=3: 不执行（start=3但n=3）

特点‌：通过last限制选择范围，避免[1,2]和[2,1]重复

排列枚举（n=2,k=2示例）：

dfs(1)
├─ i=1: mark[1]=1 → dfs(2)
│    └─ i=2: mark[2]=1 → 输出1 2
└─ i=2: mark[2]=1 → dfs(2)└─ i=1: mark[1]=1 → 输出2 1

‌特点‌：每次循环从1开始，用mark保证不重复。

三、关键逻辑区别

维度	子集枚举	组合枚举	排列枚举
‌选择策略‌	每个元素独立决策	从剩余元素中选择	全排列
‌去重方式‌	无（自然不重复）	`last`参数跳过已处理元素	`mark`数组标记已使用元素
‌递归参数‌	仅需位置x	需要x和last	仅需位置x
‌输出特征‌	所有子集（2^n种）	C(n,m)种组合	n!或P(n,k)种排列

参考程序

//B3621 枚举元组
#include<iostream>
using namespace std;
int a[10],n,k;
bool mark[10];
void dfs(int x)
{if(x>n) {for(int i=1;i<=n;i++) cout<<a[i]<<' ';cout<<endl;return;}for(int i=1;i<=k;i++)a[x]=i,dfs(x+1);}
int main()
{cin>>n>>k;dfs(1);return 0;
}

//B3622 枚举子集（递归实现指数型枚举）
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int n;
int a[15];
void dfs(int x)
{if(x>n) {for(int i=1;i<=n;i++) if(a[i]) cout<<'Y';else cout<<'N';cout<<endl;return;}a[x]=0;dfs(x+1);a[x]=1;dfs(x+1);
}
int main()
{cin>>n;dfs(1);return 0;
}

//P10448 组合型枚举
#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,a[30];
bool mark[30];
void dfs(int x,int last)
{if(x>m){for(int i=1;i<=m;i++) cout<<a[i]<<' ';cout<<endl;return;}for(int i=last;i<=n;i++)if(!mark[i]){mark[i]=1;a[x]=i;dfs(x+1,i);mark[i]=0;}
}
int main()
{cin>>n>>m;dfs(1,1);return 0;
}

//B3623 枚举排列（递归实现排列型枚举）
#include<iostream>
using namespace std;
int n,k;
int a[15];
bool mark[15];
void dfs(int x)
{if(x>k){for(int i=1;i<=k;i++)cout<<a[i]<<' ';cout<<endl;return;}for(int i=1;i<=n;i++)if(!mark[i]){mark[i]=1;a[x]=i;dfs(x+1);a[x]=i;mark[i]=0;}
}
int main()
{cin>>n>>k;dfs(1);return 0;
}

细节实现

弄清子集、排列、组合这些数学的意义。子集是 $2^{n}$ 级别的，排列是 $A^{n}_{m}$ 的，组合是 $C^{m}_{n}$ 的。组合不考虑顺序，也就是不同顺序的不算做不同的答案；而排列正好相反。另外，在设计DFS函数时，可以先从边界条件入手，抓住递归的特性（解决小问题，逐步扩大规模），然后从状态转移的角度入手。