【高等数学】第四章 不定积分——第三节 分部积分法

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1. 分部积分法的推导

设函数 $u=u(x)$ 及 $v=v(x)$ 具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为
$$(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$
移项，得
$$u{v}^{\prime }=(uv{)}^{\prime }-u^{\prime }v$$
对这个等式两边求不定积分，得分部积分公式：
$$\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$$

2. 分部积分法的应用

• $u$ 和 $\mathrm{d}v$ 的选择
  如果 $u$ 和 $\mathrm{d}v$ 选取不当，就求不出结果。
  选取 $u$ 和 $\mathrm{d}v$ 一般要考虑下面两点：
  (1) $v$ 要容易求得；
  (2) $\int v\mathrm{d}u$ 要比 $\int u\mathrm{d}v$ 容易积出。即越复杂的函数越要凑微分
• 函数复杂度排行
  指数函数 > 三角函数 > 幂函数 > 反三角函数/对数函数
• 如果 $\int v\mathrm{d}u$和 $\int u\mathrm{d}v$是同一类型，可以通过多次分部积分化成相同，合并积分项
• 可以结合其他积分方法

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