《高等数学》（同济大学·第7版）第三章第五节“函数的极值与最大值最小值“

一、极值的基本概念

1. 极值的定义

• 极大值：若存在x₀的邻域，使得∀x∈U(x₀)，有f(x)≤f(x₀)
• 极小值：若存在x₀的邻域，使得∀x∈U(x₀)，有f(x)≥f(x₀)
• 极值点：使函数取得极值的点（包括x₀和f(x₀)）

2. 极值的几何特征

• 极大值：局部"山峰"
• 极小值：局部"山谷"
• 注意：极值是局部概念，与全局最值不同

二、极值的判定方法

1. 必要条件（费马定理）

若f(x)在x₀处可导且取得极值，则f’(x₀)=0

• 几何解释：可导极值点处切线水平
• 注意事项：
  • 导数不存在的点也可能取极值（如y=|x|在x=0）
  • f’(x₀)=0的点不一定都是极值点（如y=x³在x=0）

2. 第一充分条件（导数变号法）

设f(x)在x₀处连续，在U˚(x₀)内可导：

1. 当x从左到右经过x₀时：
   • f’(x)由正变负 ⇒ x₀是极大值点
   • f’(x)由负变正 ⇒ x₀是极小值点
   • f’(x)不变号 ⇒ 不是极值点

例题1：求f(x)=x³-3x²的极值
解：

1. f’(x)=3x²-6x=3x(x-2)
2. 临界点：x=0,2
3. 符号分析：
   • x∈(-∞,0)：f’(+)>0
   • x∈(0,2)：f’(-)<0 ⇒ x=0是极大值点
   • x∈(2,+∞)：f’(+)>0 ⇒ x=2是极小值点
4. 极值：
   • f(0)=0（极大值）
   • f(2)=-4（极小值）

3. 第二充分条件（二阶导数法）

设f’(x₀)=0，f’'(x₀)存在：

1. f’'(x₀)>0 ⇒ x₀是极小值点
2. f’'(x₀)<0 ⇒ x₀是极大值点
3. f’'(x₀)=0 ⇒ 无法判定，需用第一充分条件

例题2：用二阶导数法求f(x)=2x³-3x²的极值
解：

1. f’(x)=6x²-6x ⇒ x=0,1
2. f’'(x)=12x-6
   • f’'(0)=-6<0 ⇒ x=0是极大值点
   • f’'(1)=6>0 ⇒ x=1是极小值点

三、闭区间上函数的最大值与最小值

1. 求法步骤

1. 找出f(x)在(a,b)内的所有临界点（f’(x)=0或不存在的点）
2. 计算f(x)在临界点和端点处的函数值
3. 比较上述值，最大的为最大值，最小的为最小值

2. 典型例题

例题3：求f(x)=x⁴-2x²+5在[-2,2]上的最值
解：

1. f’(x)=4x³-4x=4x(x²-1) ⇒ x=-1,0,1
2. 计算：
   • f(-2)=13
   • f(-1)=4
   • f(0)=5
   • f(1)=4
   • f(2)=13
3. 最大值：13（在x=±2处）
4. 最小值：4（在x=±1处）

四、应用问题求解方法

1. 实际应用问题解题步骤

1. 建立目标函数（将问题转化为函数表达式）
2. 确定定义域
3. 求极值和最值
4. 验证结果的合理性

2. 经典例题

例题4：用长为l的铁丝围成矩形，求最大面积
解：

1. 设边长x，则另一边=(l-2x)/2
2. 面积函数：S(x)=x(l-2x)/2=lx/2-x²
3. 定义域：x∈(0,l/2)
4. S’(x)=l/2-2x ⇒ x=l/4
5. 唯一极值点即为最大值点
6. 最大面积：S(l/4)=l²/16

五、特殊情形处理

1. 不可导点的极值判定

如f(x)=|x|在x=0处：

• 左导数=-1，右导数=1
• 导数不存在，但x=0是极小值点

2. 高阶导数判别法

当f’(x₀)=f’'(x₀)=…=f⁽ⁿ⁻¹⁾(x₀)=0，f⁽ⁿ⁾(x₀)≠0时：

• n为偶数：
  • f⁽ⁿ⁾(x₀)>0 ⇒ 极小值
  • f⁽ⁿ⁾(x₀)<0 ⇒ 极大值
• n为奇数 ⇒ 不是极值点

六、常见错误与注意事项

错误类型	正确做法
混淆极值与最值	极值是局部概念，最值是全局概念
忽略导数不存在的点	临界点包括f’(x)=0和不存在的点
二阶导数失效时不处理	当f’'(x₀)=0时改用第一充分条件
应用问题不考虑定义域	实际问题必须考虑变量的物理限制

这一节关于函数极值与最值的理论在AI和量化金融中有着深刻而实用的应用。让我们通过具体场景来解析这些数学工具如何解决实际问题：

一、在人工智能（AI）中的应用

1. 机器学习模型优化

核心应用：损失函数的最小化

• 问题类型：寻找使预测误差最小的模型参数θ
• 数学形式：min L(θ) = Σ(yᵢ - f(xᵢ;θ))²
• 求解方法：
  • 梯度下降法：利用一阶导数信息
  • 牛顿法：结合二阶导数信息（需Hessian矩阵正定）

典型案例：

• 线性回归的解析解：∇L(θ)=0 ⇒ θ=(XᵀX)⁻¹Xᵀy
• 神经网络中的反向传播：链式法则计算梯度

2. 超参数调优

• 网格搜索：在定义域内寻找使验证集误差最小的超参数组合
• 贝叶斯优化：构建代理函数寻找全局极值

3. 生成对抗网络（GAN）

• 判别器D和生成器G的极小极大博弈：
  min_G max_D V(D,G) = E[logD(x)] + E[log(1-D(G(z)))]
• 需保证纳什均衡点的存在性

二、在量化金融中的应用

1. 投资组合优化

马科维茨均值-方差模型：

• 目标函数：在给定收益下最小化风险
  min wᵀΣw
  s.t. wᵀμ = rₚ, wᵀ1 = 1
• 求解关键：拉格朗日乘数法找极值

2. 期权定价

• Delta对冲：通过导数信息管理风险
  Δ = ∂C/∂S （期权价格对标的资产价格的敏感度）
• 隐含波动率计算：求解使模型价格=市场价格的σ
  min |BSM(S,K,T,r,σ) - Cₘᵢₖₜ|

3. 高频交易策略

• 订单簿优化：寻找使执行成本最小的下单策略
  min ∫₀ᵀ [x(t)ᵀΛx(t) + κ·x’(t)²] dt
  （Λ为流动性矩阵，κ为风险厌恶系数）

三、交叉领域应用案例

案例1：强化学习中的策略梯度

• 目标：最大化期望回报 J(θ) = E[Σγᵗrₜ|πθ]
• 策略梯度定理：
  ∇J(θ) = E[∇logπ(a|s;θ)·Qπ(s,a)]
• 需保证策略函数π(a|s)的梯度存在

案例2：风险平价组合

• 优化目标：使各资产风险贡献相等
  min Σ(RCᵢ - RCⱼ)²
  （RCᵢ = wᵢ·(Σw)ᵢ/√wᵀΣw）

案例3：深度学习模型剪枝

• 构建优化问题：
  min ‖W⊙M‖₁
  s.t. accuracy(f(x;W⊙M)) ≥ threshold
  （M为二进制掩码矩阵）

四、数学工具与代码实现对应表

数学概念	AI/量化应用场景	典型代码实现
一阶导数	梯度下降	torch.autograd.grad()
二阶导数	牛顿法优化	scipy.optimize.minimize(method='trust-ncg')
拉格朗日乘数法	带约束的投资组合优化	cvxpy库中的约束优化
全局最优搜索	超参数调优	optuna.suggest_float()
Hessian矩阵	二阶优化算法	torch.autograd.functional.hessian()

五、前沿发展方向

1. 非凸优化：

   • 深度学习损失函数的非凸性研究
   • 使用随机梯度下降逃离局部极小值

2. 对抗鲁棒性：
   min_θ max_‖δ‖≤ε L(f(x+δ;θ), y)

3. 量子优化算法：

   • 量子退火解决组合优化问题
   • 在投资组合优化中的应用

需要我进一步展开某个具体应用场景的数学推导或代码实现细节吗？例如您可能想了解：

1. 梯度下降法中学习率与收敛性的关系
2. 期权希腊字母（Greeks）的极值分析
3. 神经网络损失函数的鞍点问题