《信号与系统》第 7 章 采样

7.0 引言

核心思想：在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔点上的值或样本( sample)来表示，并且可以用这些样本值把该信号全部恢复出来。

这个略微令人吃惊的性质来自于采样定理(sampling theorem)。这一定理是极为重要和有用的。

例如：

（1）电影就是由一组按时序的单个画面(一帧)所组成的，其中每一帧都代表着连续变化景象中的一个瞬时画面(也就是时间样本)，当以足够快的速度（在时间上足够接近）来看这些时序样本时，我们就会感觉到原来连续活动景象的重现。

（2）又如印刷照片，一般是由很多非常细小的网点组成的，其中每一点就相应于空间连续图像的一个采样点，如果这些样点在空间距离上足够靠近，那么这幅照片看起来在空间还是连续的。当然，借助于放大镜，这些样点的不连续性还是可以看得见的。

采样定理的重要性还在于它在连续时间信号和离散时间信号之间所起的桥梁作用。正如我们将在本章中看到的，在一定条件下，一个连续时间信号可以由它的样本完全恢复出来，这样就提供了用一个离散时间信号来表示一个连续时间信号的想法——因为在很多方面，离散时间信号的处理要更灵活方便些，因此往往比处理连续时间信号更为可取。这主要是由于在过去的几十年中数字技术的急剧发展，产生了大量价廉、轻便、可编程并易于再生产的离散时间系统可资利用的缘故。

采样的概念使人们想到一种极富吸引力并广泛使用的方法，就是利用离散时间系统技术来实现连续时间系统并处理连续时间信号：可以利用采样先把一个连续时间信号变换为一个离散时间信号，再用一个离散时间系统将该离散时间信号进行处理，之后再把它变换回到连续时间中。

在下面的讨论中，首先介绍并建立采样的概念和从样本值重建一个连续时间信号的过程。在讨论中，既要证明一个连续时间信号能真正由它的样本值恢复出来的条件（采样定理），也要研究当这些条件不满足时所产生的后果（信号混叠）。接着研究经由采样已经变换到离散时间信号的连续时间信号处理。最后讨论离散时间信号的采样，以及有关抽取和内插的概念。

7.1 用信号样本表示连续时间信号：采样定理

一般来讲，在没有任何附加条件或说明下，我们不能指望一个信号都能唯一地由一组等间隔的样本值来表征。例如，在图7.1中示出了三个不同的连续时间信号，在T的整倍数时刻点上，它们全部有相同的值，即x1(kT) = x2(kT) = x3(kT)——很明显，有无限多个信号都可以产生一组给定的样本值。

然而：

如果一个信号是带限的(即它的傅里叶变换在某一有限频带范围以外均为零)，并且它的样本取得足够密(相对于信号中的最高频率而言)，那么这些样本值就能唯一地( uniquely)用来表征这一信号，并且能从这些样本中把信号完全恢复出来。

这一结果就是采样定理(sampling theorem)，它在信号与系统分析方法的实际应用中极为重要。

7.1.1冲激串采样

为了建立采样定理，我们需要一种方便的方式来表示一个连续时间信号在均匀间隔上的采样。

冲激串采样：一种有用的办法是通过用一个周期冲激串去乘待采样的连续时间信号x(t)。

如图7.2所示。

采样函数：该周期冲激串p(t)称为采样函数。

采样周期：周期T称为采样周期。

采样频率(sampling frequency)：p(t)的基波频率ω=2π/T称为采样频率。

在时域中有

其中

由1.4.2节曾讨论过的单位冲激函数的采样性质可知，x(t)被一个单位冲激函数相乘以后就将冲激发生的这一点的信号值采出来，即x(t)δ(t-t0)=x(t0)δ(t-t0)将此应用于式(7.1)，如图7.2所示，可见xp(t)本身就是一个冲激串，其冲激的幅度等于x(t)在以T为间隔处的样本值，即

由4.5节的相乘性质知道

并由例4.8有

因为信号与一个单位冲激函数的卷积就是该信号的移位，即，于是有

这就是说，Xp(jω)是频率ω的周期函数，它由一组移位的X(jω)的叠加组成，但在幅度上标以1/T的变化，如图7.3所示。

在图7.3(c)中，由于，或者，因此在互相移位的这些X(jω)之间，并无重叠现象出现；而在图7.3(d)中，由于，从而存在重叠。对于图7.3(c)这样的情况，X (jω)如实地在采样频率的整数倍频率上重现。

因而如果，x(t)就能够完全用一个低通滤波器从xp(t)中恢复出来。该低通滤波器的增益为T，截止频率大于ωM而小于ωs-ωM，如图7.4所示。

带限信号→周期冲激串采样→时域乘积，频域卷积→周期带限限号。

这一基本结果称为采样定理。

可叙述如下：

奈奎斯特率(sampling theorem)：在采样定理中，采样频率必须大于2ωM，该频率2ωM一般称为奈奎斯特率。

奈奎斯特频率：1/2的奈奎斯特率，即ωM。

正如在第6章所讨论的，有各种不同的理由表明在实际中一般不用理想滤波器。在任何实际应用中，图7.4中的理想低通滤波器都用一个非理想滤波器H(jω)所代替。

该H(jω)对于所关心的问题来说已足够准确地近似于所要求的频率特性，即：

显然，在这个低通滤波部分，任何这样的近似都会带来图7.4中x(t)与xr(t)之间的某些差异，或者说X(jω)与Xr(jω)之间的某些差异。这样，考虑到特定应用中所能接受的失真程度，非理想滤波器的选择就很关键了。为了方便，同时也是为了强调诸如采样定理这样一些基本原理，本章和下一章都假定使用这些理想滤波器，但是要明白，在实际中就所讨论的问题来说，这样一个滤波器都必须被一个专门设计的，对理想特性足够近似的非理想滤波器所代替。

7.1.2 零阶保持采样

最容易利用冲激串采样来说明的采样定理确立了这样一个事实：一个带限信号唯一地可以用它的样本来代表。实际上，产生和传输窄而幅度大的脉冲（近似于冲激）都是相当困难的，因此以所谓零阶保持( zero-order hold)的方式来产生采样信号往往更方便些。

在这样的系统中，在一个给定的瞬时对x(t)采样并保持这一样本值，直到下一个样本被采到为止，如图7.5所示。由一个零阶保持系统的输出来重建x(t)仍然可以用低通滤波的办法来实现。然而，在这一情况下，所要求的滤波器特性不再是在通带内具有恒定的增益。为了求得所要求的滤波器特性，首先注意到这个零阶保持的输出x0(t)在原理上可以用冲激串采样，再紧跟着一个线性时不变系统(该系统具有矩形的单位冲激响应)来得到，如图7.6所示。

为了由x0(t)重建x(t)，可以考虑用一个单位冲激响应为hr(t)，频率响应为Hr(jω)的线性时不变系统来处理x0(t)。这个系统与图7.6的系统级联后如图7.7所示，这里希望给出一个Hr(jω)，以使r(t)=x(t)。把图7.7的系统与图7.4的系统比较一下，可以看出，如果h(t)与hr(t)级联后的特性是在图7.4中所用
的理想低通滤波器H(jω)的特性，那么r(t)=x(t)。

因为根据例4.4和4.3.2节的时移性质，有

这就要求

例如，若H(jω)的截止频率等于ωs/2，则紧跟在一个零阶保持系统后面的重建滤波器的理想模和相位特性如图7.8所示。

再次提及，实际上式(7.8)的频率响应也是不可能真正实现的，因此必须对它进行充分近似的设计。事实上，在很多情况下，零阶保持输出本身就被认为是一种对原始信号的充分近似，而用不着附加任何低通滤波。并且，实质上它就代表了一种可能的(虽然肯定很粗糙)样本值之间的内插。另一方面，在某些应用中也可能希望在样本值之间进行某些较平滑的内插。下一节将更为详细地把从信号的样本来重建信号看成一个内插的过程，以研究内插的一般概念。

7.2 利用内插由样本重建信号

内插：就是用一连续信号对一组样本值的拟合，是一个由样本值来重建某一函数的常用过程，这一重建结果既可以是近似的，也可以是完全准确的。

一种简单的内插过程就是7.1节讨论过的零阶保持。

另一种简单而有用的内插形式是线性内插(linear interpolation)。

线性内插：就是将相邻的样本点用直线直接连起来，如图7.9所示。

在更为复杂的内插公式中，样本点之间可以用高阶多项式或其他数学函数来进行拟合。

在7.1节中已经看到，一个带限信号，如果采样足够密，那么信号就能完全被恢复。这就是说，通过应用一个低通滤波器在样本点之间的真正内插就可以实现。当考虑图7.4中该低通滤波器在时域中的效果时，把重建x(t)作为一个内插过程就变得愈加清楚了。特别是，输出xr(t)为

或者，以式(7.3)的xp(t)代入得

式(7.9)体现了在样本点x(nT)之间如何拟合成一条连续曲线，因此代表了一种内插公式。对于图7.4中的理想低通滤波器H(jω)，h(t)为

所以有

按照式7.11，在ωc=ωs/2时的重建过程如图7.10所示。图7.10(a)代表原始信号x(t)，图7.10(b)是样本冲激串xp(t)，图7.10(c)则是由式7.11中每一项叠加的结果。

带限内插：像在式(7.11)中那样，利用理想低通滤波器的单位冲激响应的内插通常称为带限内插。

因为这种内插，只要x(t)是带限的，而采样频率又满足采样定理中的条件，就实现了信号的真正重建。正如已经指出过的，在很多情况下，宁可采用准确性差些，但稍微简单一些的滤波器，或者说比式(7.10)简单一些的内插函数。例如，零阶保持就可以看成在样本值之间进行内插的一种形式，在那里内插函数h(t)就是图7.6所示的单位冲激响应h0(t)。在这种意义下，若图7.6中的x0(t)相应于对x(t)的近似，那么系统h0(t)就代表对一个能实现真正内插的理想低通滤波器的近似。图7.11给出了零阶保持内插滤波器传输函数的模特性，图中把该模特性叠放在一个能实现真正内插的滤波器特性之上，以供比较。

由图7.11和图7.6都能看出，零阶保持是一种很粗糙的近似，尽管在某些情况下这已经足够了。例如，如果在某一具体应用中，本身就有某种附加的低通滤波作用，那么就会有助于改善总的内插效果。这一点可以用图7.12所示的照片例子来说明。

图7.12(a)示出的是照片经冲激采样的结果(即用空间上很窄的脉冲来采样)。图7.12(b)则是将图7.12(a)的样本通过一个二维零阶保持系统的结果，图中具有明显的镶嵌效应。然而，由于人的视觉系统具有固有的某种低通滤波作用，因此如果站在远处看，镶嵌上的不连续处得到平滑。例如，图7.12(c)仍旧采用零阶保持，但在每一个方向上的采样间隔都是图7.12(a)所用的采样间隔的1/4，这时虽然镶嵌效应仍然明显，但在正常观察下，好似加了一个很强的低通过滤。

如果由零阶保持所给出的粗糙内插令人不够满意，则可以使用各种更为平滑的内插手段，其中的一些合起来统称为高阶保持。特别是，零阶保持产生的图7.5所示的输出信号是不连续的；而与此相比，图7.9所示的线性内插产生的恢复信号是连续的，但由于在各样本点上斜率的改变而导致导数是不连续的。线性内插（一阶保持）也能看成一种如图7.4和式(7.9)形式的内插，不过h(t)为三角形特性，如图7.13所示。其传输函数H(jω)也如图7.13所示，并且

一阶保持系统的传输函数在图7.13中叠放在理想内插滤波器传输函数特性上，以供比较。

图7.14相应于图7.12(b)的同一张照片的样本在用一阶保持内插后的结果。

与此相仿，也可以定义二阶或高阶保持系统，它们所产生的恢复信号具有更好的平滑度。例如，二阶保持系统的输出在样本值间的内插可以给出连续的曲线，并有连续的一阶导数和不连续的二阶导数。

7.3 欠采样的效果：混叠现象

在前面的讨论中都假定采样频率足够高，因而满足采样定理中的条件。正如在图7.3中所说明的，当时，采样信号的频谐是由x(t)的频谐重复组成，而这正是采样定理的基础。当时，x(t)的频谱X(jω)不再在Xp(jω)中重复，因此利用低通滤波也不再能把x(t)从采样信号中恢复出来。这时，式(7.6)中的那些单项发生重叠，这一现象称为混叠。本节将讨论它的影响和一些结果。

显然，如果图7.4这样的系统用于某一信号，这时，那么被重建的信号xr(t)不会再等于x(t)。然而(见习题7.25)，原始信号x(t)和利用带限内插得到的xr(t)在那些采样瞬时总是相等的，即对任意选取的ωs都有

若以x(t)为一种比较简单的正弦信号的例子，更为详细地讨论当时的情况，就会对x(t)和xr(t)之间的关系有一些深入和透彻的了解。于是设

这个信号的傅里叶变换X(jω)如图7.15(a)所示。图中，为了讨论的方便，画图时已经把在ω0处的冲激与在-ω0处的冲激进行了区别。现在来讨论Xp(jω)，即已采样信号的频谱。在讨论中特别把注意力放在：对一个固定的采样频率ωs来说，当改变ω0后对Xp(jω)所产生的影响。在图7.15(b)至图7.15(e)中，画出了几个ω0值时的Xp(jω)。同时用虚线框起来的是图7.4中ωc=ωs/2的低通滤波器的通带。可以看到，在图7.15(b)和图7.15(c)中，由于ω0 < ωs/2，因此没有混叠现象发生，而在图7.15(d)和图7.15(e)中，混叠现象就出现了。在这4种情况下，经过低通滤波后的输出x(t)分别是：

当混叠现象发生时，原始频率ω0就被混叠成一个较低的频率(ωs-ω0)。对于ωs/2<ω0<ws，随着ω0相对于ωs的增加，输出频率(ωs-ω0)就会下降，当ωs=ω0时，被重建的信号就是一个常数。

这一点是与如下事实相一致的：即当每一个周期只采样一次时，这些样本值都是相等的，这与对一个直流信号(ω0=0)采样所得的结果无疑是一样的。

在图7.16中分别画出了图7.15中4种情况的每一种中的信号x(t)，x(t)的样本值，以及重建信号xr(t)。从这些图中可以看到，低通滤波器是如何在这些样本值之间进行内插的，尤其是总有一个频率小于ωs/2的正弦信号与x(t)的样本值相对应。

对上面例子进行一点变化，考虑信号

在这种情况下，x(t)的傅里叶变换基本上与图7.15(a)是相同的，只是现在用实线标出的冲激有一个幅度因子，而用虚线标出的冲激，其幅度因子有一个相反的相位，即。如果现在考虑用与图7.15所选的同一组ω0值，那么得到的cos(ω0t+φ)的已采样信号的频谐与该图也是一样的。只是所有的实线冲激都有的幅度因子，而所有的虚线冲激都有的幅度因子。再者，在图7.15(b)和图7.15(c)情况下，采样定理中的条件满足，所以xx(t)；而在图7.15(d)和图7.15(e)情况下，再次发生混叠。然而，现在可以看到，出现在低通滤波器通带内的实线冲激和虚线冲激在位置上发生了颠倒，结果发现在这些情况下，xr(t) =cos[(ωs-ωs0)t-φ]，这里在相位中的符号上有一个改变，即有一个相位倒置。

注意到这一点是很重要的：采样定理明确要求采样频率大于信号中最高频率的2倍，而不是大于或等于最高频率的2倍。下面这个例子用来说明用真正2倍于正弦信号的频率对它进行采样(即每一周期采两个样本)是不够的。

【例1】……

欠采样的效果(在此，较高频率被折转到较低的频率中)就是频闪效应所基于的原理。例如，考虑图7.18的情况，这里有一个圆盘，以恒定速度旋转，在圆盘上标一根径向直线。闪光灯就当成一个采样系统，因为它以某一周期率在一个极短的时间间隔内照亮圆盘。若闪光灯的闪烁频率比圆盘的旋转速度高得多，那么圆盘的旋转速度就会被正确地觉察到。当闪烁频率变得小于圆盘旋转速度的2倍时，圆盘的旋转速度看起来就比它真正的速度低。甚至，由于相位倒置的关系，圆盘还会像在相反的方向上旋转！粗略地说，如果通过接连不断的样本跟踪圆盘上的一根固定线的位置，那么当时，采样就比每转一周要略微频繁一些，这样每次采得的圆盘样本就将这根固定的线显示在好像它以逆时针方向展现的位置上，而这是与圆盘本身以顺时针方向旋转相反的。若闪光灯只在圆盘转一周时闪烁一次(这就相当于ωs=ω0)，那么这根径线看起来好像静止不动，这就相当于圆盘的旋转频率及其谐波都被混叠到零频率上了。

一种类似的现象也常在西部电影中观察到。电影中马车的轮子看起来旋转得比马车真正向前运动的速度更慢一些，并且有时会看到以相反的方向在旋转。在这种情况下采样过程就相应于：活动图像就是一串单个的画面(或称为一帧)，帧频(通常每秒18~24帧)就相当于采样频率。

在上面的讨论中，把频闪效应看成在欠采样下所产生混叠的一种应用的例子，是很有启发性的。在测量仪器中频闪器有一种取样示波器，借助于采样原理，把欲观察而又不便于显示的很高频率混叠到一个更容易显示的低频率上。这就是在欠采样情况下，混叠现象的另一个有用的例子。关于取样示波器，将在习题7.38中进行更为详细的讨论。

7.4 连续时间信号的离散时间处理

在很多应用中，首先把一个连续时间信号转换为一个离散时间信号，然后进行处理，处理完后再把它转换为连续时间信号。

这种处理方式有一个显著的优点：离散时间信号的处理可以借助于某一通用或专用计算机，借助于各种微处理器，或面向离散时间信号处理而专门设计的各种装置来实现。

广而言之，对连续时间信号的这种处理方法可以看成图7.19所示的三个环节的级联，其中xc(t)和yc(t)都是连续时间信号，而xd[n]和yd[n]都是对应于xc(t)和yc(t)的离散时间信号。当然，就图7.19的整个系统而言，仍是一个连续时间系统，因为系统的输入和输出都是连续时间信号。将一个连续时间信号转换为一个离散时间信号，以及从信号的离散时间表示重建连续时间信号所依据的理论基础，都是7.1节讨论的采样定理。通过这样一个周期采样的过程(其采样频率满足采样定理中的条件)，连续时间信号xc(t)就可以完全用一串瞬时样本值xc(nT)来表示；也就是说，离散时间序列xd[n]以下式

与x(t)相联系。

将xc(t)变换到xd[n]相应于图7.19中的第一个系统，称为连续时间到离散时间的转换(continuous-to-discrete time conversion，C/D)。图7.19中的第三个系统是一个与上述相反的变换，即离散时间到连续时间的转换(discrete-time to continuous-time conversion，D/C)。

D/C实现的是作为它的输入的各样本点之间的内插；这就是说，经D/C后产生一个连续时间信号yc( t)，该yc(t)与其输入的离散时间信号yd[n]以下式关联：

这一概念在图7.20中表示得更为明显。在诸如数字计算机和其他数字系统中，离散时间信号是以数字形式给出的，这时用于实现C/D转换的器件就称为模拟-数字(analog-to-digital，A/D)转换器，而实现D/C转换的就称为数字-模拟(digital-to-analog ，D/A)转换器。

为了进一步明了连续时间信号xc(t)和它的离散时间表示xd[n]之间的关系，可以把从连续时间到离散时间的变换表示成一个周期采样的过程，再紧跟着一个把冲激串映射为一个序列的环节，这样做是非常有益的。这两步都表示在图7.21中。图中的第一步代表一个采样过程，冲激串xp(t)就是一个冲激序列，各冲激的幅度与xc(t)的样本值相对应，而在时间间隔上等于采样周期T。然后，在从冲激串到离散时间序列的转换中，得到xd[n]；这就是以xc(t)的样本值为序列值的同一序列，但是其单位间隔采用新的自变量n。因此，实际上从样本的冲激串到样本的离散时间序列的转换可认为是一个时间的归一化过程。图7.21(b)和图7.21(c)明确地表示了由xp(t)到xd[n]的转换中这种时间的归一化过程。在这里，xp(t)和xd[d]分别以T=T1、和T=2T1的两种采样率表示。

在频域来考察图7.19的处理过程也是很有启发意义的。由于我们面临着既要在连续时间又要在离散时间处理傅里叶变换，因此仅在这一节将连续时间的频率变量用ω表示，将离散时间的频率变量用Ω表示，以便加以区分。例如，xc(t)和yc( t)的连续时间傅里叶变换分别用Xc(jω)和Yc(jω)表示；而xd[n]和yd[n]的离散时间傅里叶变换分别用Xd(e^jΩ)和Yd(e^jΩ)表示。

现在，对式(7.3)应用傅里叶变换，以便利用xc(t)的样本值来表示xp(t)的连续时间傅里叶变换Xp(jω)。因为

又根据δ(t-nT)的傅里叶变换是e^-jωnT，所以得到

现在考虑xd[n]的离散傅里叶变换，即

或者，利用式7.16有

将式7.18和式7.20进行比较可见，Xd(e^jΩ)和Xp(jω)是通过如下关系关联的：

另外，回想一下式7.6和图7.3所说明的

因此得到

图7.22中，对应两种不同的采样率，示出了三者之间的关系。从该图中可以注意到，的重复，唯频率坐标有一个尺度变换。特别应注意到Xd(e^jΩ)是Ω的周期函数，周期为2π。当然，这种周期性是任何离散时间傅里叶变换都具有的特征。因此，xd[n]和xc(t)之间的频谱关系，是通过先把xc(t)的频谱Xc(jω)按式(7.22)进行周期重复，然后再跟着一个按式(7.21 )的线性频率尺度变换联系起来的。频谱的周期性重复是图7.21转换过程中第一步的结果，即冲激串采样；而按式(7.21)进行的线性频率尺度变换，可以不太正规地看成由冲激串xp(t)转换到离散时间序列xd[n]时所引入的时间归一化的结果。根据4.3.5节傅里叶变换的时域尺度变换性质，时间轴上有一个1/T的变化，一定在频率轴上引入一个T倍的变化。因此，Ω=Tω的关系就与从xp(t)到xd[n]的转换过程中，时间轴上有一个1/T的尺度变换，在概念上完全一致。

图7.19所示的系统中，经过离散时间系统处理以后，所得到的序列又转换为一个连续时间信号，这一过程就是图7.21中各步骤的逆过程。具体而言，就是可以由序列yd[n]产生一个连续时间冲激串yp(t)，而连续时间信号yc(t)的恢复就可以借助于图7.23所示的低通滤波的办法来实现。

现在，考虑将图7.19所示的整个系统用图7.24来表示。很清楚，如果图中的离散时间系统是一个恒等系统(即xd[n] =yd[n])，而且假定满足采样定理中的条件，那么整个系统也一定是一个恒等系统。

将图7.24中离散时间系统的频率响应一般化为H(e^jΩ)，这时用图7.25这样一个有代表性的例子来说明图7.24的整个系统特性，或许会得到最好的理解。

该图的左边是某一具有代表性的频谱，其中假定ωM<ωs/2，所以没有混叠发生。相应于离散时间滤波器输出的谱相乘，如图7.25(d)所示，图中是将重合画在一起的。变换到Yc(jω)就相应于进行频率尺度的变换，然后进行低通滤波，所得到的频谱分别如图7.25(e)和图7.25(f)所示。因为Yd(e^jΩ)是两个互为重叠的频谱的乘积，如图7.25(d)所示，所以对两者都应施加频率尺度的变换和滤波。将图7.25(a)和图7.25(f)进行比较，显而易见有

这样，在输入是充分带限的，并满足采样定理的条件下，图7.24的整个系统事实上就等效于一个频率响应为Hc(jω)的连续时间系统，而Hc(jω)与离散时间频率响应Hd(e^jΩ)的关系为

这个等效的连续时间滤波器的频率响应就是该离散时间滤波器在一个周期内的特性，只是频率轴有一个线性尺度变化。离散时间频率响应和等效的连续时间频率响应之间的关系如图7.26所示。

由于被一个冲激串相乘不是一个时不变的环节，因此图7.24所示整个系统能等效为一个线性时不变系统多少有些令人吃惊！事实上，图7.24所示的整个系统对任意输入来讲并不都是时不变的。例如，如果x(t)是一个窄的矩形脉冲，持续期小于T，那么x(t)的时间移位就可能产生一个序列x[n]，该x[n]要么全部序列值为零，要么有-一个非零的序列值，这取决于矩形脉冲相对于采样冲激串来说，符合的程度如何。然而，正如通过图7.25所示频谱中所想到的，对于一个带限输入信号( band-limited input signal)来说，若采样率足够高，从而避免了混叠发生，那么图7.25所示系统就等效为一个连续时间线性时不变系统。对于这样的输人信号来说，图7.24和式(7.25)就提供了利用离散时间滤波器对连续时间信号进行处理的基础。下面将以某些例子对此进行深入探讨。

7.4.1 数字微分器

现在来考虑一个连续时间带限微分器的离散时间实现。正如3.9.1节所讨论的，连续时间微分滤波器的频率响应是

截止频率为ωc的带限微分器的频率响应就是

如图7.27所示。利用式(7.25)的关系，若ωs=2ωc，则相应的离散时间的频率响应Hd(e^jΩ)是

如图7.28所示。利用这一离散时间频率响应，在图7.24中只要xc(t)的采样中没有混叠产生，yc(t)就一定是xc(t)的导数。

【例1】……

7.4.2 半采样间隔延时

这一节要讨论利用图7.19的系统来实现一个连续时间信号的时间移位(延时)问题。于是，根据要求，在输人xc(t)是带限的，且采样率足够高以避免混叠的条件下，整个系统的输入、输出是用下列关系联系起来的：

其中△代表延时时间。根据4.3.2节的时移性质有

根据式(7.25)，要被实现的等效连续时间系统必须是带限的，因此选取

这里ωc是该连续时间滤波器的截止频率。也就是说，Hc(jω)对于带限内的信号就相应于式(7.33)的一个时间移位，而对于比ωc高的频率则全部滤除。这个频率响应的模和相位特性如图7.29(a)所示。若取采样频率ωs=2ωc，则相应的离散时间频率响应Hd(e^jΩ)是

如图7.29(b)所示。

对于适当的带限输入来说，图7.24系统的输出，若其Hd(e^jΩ)如式(7.35)所示，就是输人的延时，若△/T是一个整数，序列yd[n]就是xd[n]的延时，即

若△/T不为一个整数，式(7.36)就没有任何意义，因为序列仅仅在整数n值上才有定义。然而，我们却能够利用带限内插来解释在这些情况下的xd[n]和yd[n]之间的关系。信号xc(t)和xd[n]是通过采样和带限内插联系在一起的，yc(t)和yd[n]之间也是如此。若Hd(e^jΩ)如式(7.35)所示，那么yd[n]就等于序列xd[n]带限内插后移位的样本。正如图7.30所示的(△/T) =1/2，这种情况有时称为半采样间隔延时。

【例1】……

7.5 离散时间信号采样

到目前为止，这一章已经讨论了连续时间信号的采样，而且为明了连续时间采样进行了必要的分析，并给出了若干应用。在这一节将会看到，对离散时间信号的采样也有一些十分类似的性质和结果，包括若干重要应用。

7.5.1 脉冲串采样

与利用图7.2的系统完成的连续时间采样类似，离散时间信号的采样也能表示成图7.31所示的系统。这里，由采样过程形成的新序列xp[n]在采样周期N的整倍数点上就等于原来的序列x[n]，而在采样点之间都是零，即

与7.1节的连续时间采样类似，离散时间采样的频域效果可用5.5节的相乘性质得出。于是，由于

在频域内就有

由例5.6，采样序列p[n]的傅里叶变换是

式中采样频率ωs=2π/N。将式(7.40)和式(7.41)结合起来，即得

式(7.42)对应于连续时间采样中的式(7.6)，并由图7.32给予说明。

在图7.32(c)中，由于(ωs-ωM)>ωM，或者说ωs>2ωM，因此没有频谱重叠，即这些X(e^jω)重复的非零部分不重叠；而在图7.32(d)中，由于ωs<2ωM，频域中的混叠就产生了。在没有任何混叠的情况下，X(e^jω)如实地在ω=0和2π的整数倍附近再现，这样x[n]就能利用增益为N，截止频率大于ωM而小于ωs-ωM的低通滤波器从xp[n]中恢复出来，如图7.33所示。

图中已经给出该低通滤波器的截止频率为ωs/2。如果对图7.33(a)所示的整个系统，所加的输入序列属于ωs<2ωM从而有混叠存在，那么xr[n]就一定不再等于x[n]。然而，与连续时间采样类似，这两个序列x[n]和xr[n]在采样周期的整数倍点上总是相等的；这就是说，与式(7.13)相对应有

这一点与是否存在混叠无关(见习题7.46)。

【例1】……

通过对xp[n]利用一个低通滤波器来重建x[n]的过程，也能看成在时域中类似于式(7.11的一个内插公式。用h[n]表示该低通滤波器的单位脉冲响应，则有

重建的序列xr[n]就是

或者等效地写成

式(7.46)代表一种理想的带限内插，从而要求实现一个理想低通滤波器。在一般应用中，往往在图7.33中使用一个适当近似的低通滤波器，这时等效的内插公式具有如下形式：

其中hr[n ]就是内插滤波器的单位脉冲响应。与连续时间内插类似，在离散时间内插中，也有零阶保持和一阶保持这样的内插近似，其中几个具体例子可见习题7.50。

7.5.2 离散时间抽取与内插

离散时间采样的原理在诸如滤波器设计和实现或在通信中都有很多重要应用。在许多这样的应用中，直接按照图7.31的形式来表示、传输或存储这个已采样的序列xp[n]是很不经济的因为该序列xp[n]在采样点之间明知都是零。因此，往往将该序列用一个新序列xb[n]来代替，而xb[n]就是用xp[n]中的每隔N点上的序列值构成的，即

或者，因为x,[ n]和x[n]在N的整数倍上都是相等的，可等效为

一般就把提取每第N个点上的样本的过程称为抽取。

x[n]、xp[n]和xb[n]之间的关系如图7.34所示。

为了确定抽取在频域中的效果，希望能求得xb[n]的傅里叶变换Xb(e^jω)和X(e^jω)之间的关系。为此，注意到

或利用式(7.48)，有

如果令n = kN，或者k =n/N，那么就能写成

因为当n不为N的整数倍时，xp[n]=0，所以上式也能写成

进而，式(7.52)的右边就是xp[n]的傅里叶变换，即

由此，由式(7.52)和式(7.53)可得

这一关系如图7.35所示，从中可以看到，已采样序列xp[n]和抽取序列xb[n]的频谱差别只体现在频率尺度上或归一化上。如果原来的频谱X(e^jω)被适当地带限，以至于在Xp(e^jω)中不存在混叠，那么就如图7.35所示，抽取的效果就是将原来序列的频谱扩展到一个较宽的频带部分。

如果这个原始序列x[n]经由连续时间信号采样而得到，那么抽取过程就可以看成在连续时间信号上将采样率减小为原来的1/N的结果。因此，为了避免在抽取过程中产生混叠，原序列x[n]的X(e^jω)就不能占满整个频带。换句话说，如果序列能够被抽取而又不引入混叠，那么原来的连续时间信号是被过采样了的，从而原采样率可以减小而不会发生混叠。

因此，抽取的过程往往就称为减采样。

在某些应用中，序列是由对某一连续时间信号采样而得到的，原有采样率可能在不发生混叠的前提下尽可能取低，而在经过另外的处理和滤波后，序列的带宽可能减小。这样的一个例子如图7.36所示。因为图中离散时间滤波器的输出是带限的，从而就有可能进行减采样或抽取。

正如减采样在某些应用中很有用，也存在着一些情况，需要把一个序列转换到一个较高的等效采样率上，这种称为增采样（内插）的过程也是有用的。

增采样基本上就是抽取或减采样的逆过程。正如在图7.34和图7.35中所表明的，在抽取中是先采样，然而仅保留采样瞬时的序列值。为了增采样，应将上述过程颠倒过来。例如，参照图7.34，考虑将序列xb[n]增采样以得到x[n]的过程。由xb[n]可形成序列xp[n]，这只需要在xb[n]的每一个序列值之间插入(N-1)个幅度为零的序列值即可。然后就可以利用低通滤波从xp[n]中得到这个已被内插了的序列x[n]。整个过程全部综合在图7.37中。

【例1】……

7.6 小结

……