卡方检验（χ²检验）

卡方分布（Chi-Squared Distribution）

（1）专业解释

定义

卡方分布（Chi-square distribution）是概率论和统计学中的一种连续概率分布，记作 ${\chi }^2(k)$，其中 $k$ 是自由度。

百度解释：

若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，…,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布（chi-square distribution）。卡方分布是一种常见的概率分布。

代码模拟

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import chi2
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']  # 设置黑体作为默认字体
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False    # 解决负号显示异常
# 设置随机种子保证可重复性
np.random.seed(42)  # 模拟自由度为3的卡方分布
def simulate_chi_square(n_samples):z1 = np.random.randn(n_samples)  # 1万个标准正态随机数z2 = np.random.randn(n_samples)z3 = np.random.randn(n_samples)return z1**2 + z2**2 + z3**2  # 平方和x_values = simulate_chi_square(10000)# 绘制直方图 vs 理论曲线
plt.hist(x_values,         # 输入的模拟数据数组（1万个X值），包含1万个自由度为3的卡方分布随机数bins=50,          # 将数据范围分成50个柱子density=True,     # 归一化为概率密度（面积总和=1），每个柱子的高度 = 该区间样本数 / (总样本数 × 柱子宽度)， 可直接与理论概率密度曲线比较alpha=0.7,        # 设置透明度（0=全透明，1=不透明）label='模拟值'     # 图例标签
)xx = np.linspace(0, 20, 500)# 生成X轴坐标点
plt.plot(xx,                     # X轴坐标chi2.pdf(xx, df=3),     # Y轴：自由度为3的卡方分布概率密度'r-',                  # 红色实线样式lw=2,                  # 线宽为2label='理论卡方(df=3)'  # 图例标签
)
plt.legend()
plt.savefig('plot.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
plt.show()

数学表达

如果 $Z_1,Z_2,\dots ,Z_k$ 是 $k$ 个独立的标准正态随机变量（即 $Z_i\sim N(0,1)$），那么它们的平方和：
$$Q=Z_1^2+Z_2^2+\cdots +Z_k^2$$
服从自由度为 $k$ 的卡方分布，即 $Q\sim {\chi }^2(k)$。

概率密度函数

卡方分布的概率密度函数为：
$$f(x;k)=\frac{1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}{x}^{k/2-1}{e}^{-x/2},x\ge 0$$

其中：

• $k$ 是自由度参数
• $\Gamma (\cdot )$ 是伽马函数
• $x\ge 0$（卡方分布只取非负值）

重要性质

• 均值：$E[X]=k$
• 方差：$Var[X]=2k$
• 偏度：$\sqrt{8/k}$
• 峰度：$12/k$

可加性

如果 $X_1\sim {\chi }^2(k_1)$ 和 $X_2\sim {\chi }^2(k_2)$ 且相互独立，则：
$$X_1+X_2\sim {\chi }^2(k_1+k_2)$$

看不懂？

（2）费曼学习法解释

1、用简单的话说

想象这个场景：

第一次实验：

• 你有5个学生的标准化成绩：-1.2, 0.8, -0.5, 1.1, 0.3
• 平方后：1.44, 0.64, 0.25, 1.21, 0.09
• 求和：3.63（这是一个具体数字）

第二次实验：

• 又来了5个学生：0.7, -1.8, 0.2, -0.1, 1.4
• 平方后：0.49, 3.24, 0.04, 0.01, 1.96
• 求和：5.74（又是一个具体数字）

第三次、第四次…

如果你重复这个过程无数次，每次都：

1. 随机抽取5个标准正态分布的数
2. 平方
3. 求和

你会得到无数个不同的和：3.63, 5.74, 2.18, 7.92, 1.45…，这些和的集合，它们的分布规律，就是卡方分布！

标准化就是把任何分布的数据转换成平均数为0，标准差为1的形式。

2、直观理解

1. 为什么要平方？

   • 平方消除了正负号，让所有数都变成正数
   • 平方让极端值（很高或很低的分数）变得更加突出

2. 自由度是什么？

   • 就是你加了多少个平方数
   • 如果你有5个独立的标准正态变量，自由度就是5

3. 形状特点：

   • 总是从0开始（因为平方数不能为负）
   • 右偏分布（有长长的右尾巴）
   • 随着自由度增加，分布越来越像正态分布

3、生活中的例子

想象你在测量一个圆桌的"不圆程度"：

• 你在桌边随机选择几个点
• 测量每个点到理想圆心的偏差
• 把这些偏差平方后加起来
• 这个总偏差就大致服从卡方分布

（3）实际应用

1. 拟合优度检验

检验观察数据是否符合理论分布：
$${\chi }^2=\sum _{i=1}^k\frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}$$
其中 $O_i$ 是观察频数，$E_i$ 是期望频数。

2. 独立性检验

检验两个分类变量是否独立，使用相同的公式结构。

3. 方差检验

检验样本方差是否等于某个假设值。

（4）与其他分布的关系

• 与正态分布：当自由度很大时，${\chi }^2(k)$ 近似正态分布 $N(k,2k)$
• 与伽马分布：${\chi }^2(k)=\text{Gamma}(k/2,2)$
• 与t分布和F分布：都基于卡方分布构建

（5）总结

卡方分布本质上是"标准正态变量平方和"的分布。它在统计检验中极其重要，特别是用于检验数据的拟合程度和变量间的独立性。记住：平方让一切变正，求和让分布右偏，自由度决定分布形状！

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自由度（degrees of freedom, df）

🌟 自由度​​ = ​​独立随机变量的个数​​ = ​​能自由变化的数据维度​​
以卡方分布为例，它的定义是：

其中 Z i是独立的标准正态变量 → ​​自由度就是 k。

对比不同自由度的形态

x = np.linspace(0, 20, 500)
for df in [1, 3, 5, 10]:plt.plot(x, chi2.pdf(x, df), label=f'df={df}')
plt.legend()

观察现象​​

• df=1：极右偏（因为单个Z²容易接近0）
• df增大：逐渐对称（中心极限定理作用）
• 自由度本质控制曲线的「形状参数」​

​​物理实验理解​​
假设你有3个传感器测量同一物理量：

• 如果​​无约束​​：每个传感器可自由波动 → df=3
• 如果​​已知均值​​：只有2个传感器能自由变化 → df=2
• 这就是自由度的「信息约束」本质！

进一步理解

第一步：从「自由变量」角度理解

想象你在玩一个数字填空游戏：
场景1：给你3个空格 _ _ _，可以随便填数字 → 自由度=3
（比如填 5, 8, 2）

场景2：追加规则「三个数平均值必须是5」 → 自由度=2
此时如果你填 4 和 6，第三个数必须是 5（因为 (4+6+5)/3=5）

这就是自由度的本质：
👉 每增加一个约束条件，就减少一个自由变化的变量

第二步：用「传感器实验」具象化

回到3个温度传感器的例子：
无约束时：
传感器1测到 23℃
传感器2测到 25℃
传感器3测到 27℃
完全自由，自由度=3

已知均值25℃后：
如果传感器1测到 24℃，传感器2测到 26℃
那么传感器3必须测到 25℃（因为 (24+26+25)/3=25）
只有两个传感器能自由变化，自由度=2

第三步：数学视角验证

对于样本方差的计算：

1. 分母用 n-1 而不是 n，就是因为用样本均值X-估计真实均值时，消耗了1个自由度。
2. 相当于只有 n-1 个数据可以自由变化

🎯 自由度的核心规律

场景	约束条件	自由度
单纯测量	数据	无 n
计算样本方差	需用\bar{X}	n-1
线性回归	需估计斜率和截距	n-2

下次遇到自由度时，问自己两个问题：

• 这个统计方法用到了哪些估计量？（如均值、方差）
• 每个估计量消耗了多少自由度？

举个例子：

1. t检验：用样本均值 → 消耗1个自由度 → df=n-1 卡
2. 方拟合优度检验：用样本比例 → 消耗1个自由度 → df=k-1

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卡方检验（χ²检验）

卡方检验（χ²检验）是一种基于卡方分布的统计方法，主要用于分析分类变量之间的关联性或差异性。以下是其基础用法的核心要点：

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1. 主要用途

• 拟合优度检验：检验样本分布是否符合理论分布（如掷骰子是否公平）。
• 独立性检验：判断两个分类变量是否独立（如吸烟与肺癌是否相关）。
• 同质性检验：比较多个组别的分布是否相同（如不同教育水平的投票倾向）。

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2. 适用条件

• 数据类型：分类变量（频数数据）。
• 样本量要求：
  • 每个单元格的期望频数 ≥5（若未满足，可合并类别或使用Fisher精确检验）。
  • 总样本量一般建议 ≥30。

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3. 基本步骤

1. 建立假设：
   • 原假设（H₀）：变量间独立或无差异。
   • 备择假设（H₁）：变量间不独立或存在差异。
2. 计算卡方统计量：
   $${\chi }^2=\sum \frac{(O_i-E_i{)}^2}{E_i}$$

• $O_i$：观测频数
• $E_i$ ：期望频数（基于H₀计算）。

3. 确定临界值：
   • 根据自由度（df）和显著性水平（如α=0.05）查卡方分布表。
     • 独立性检验：df = (行数-1) × (列数-1)。
4. 做出决策：
   • 若χ²统计量 > 临界值，拒绝H₀。

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4. 实例演示

场景：检验性别（男/女）与是否喜欢某产品（是/否）是否独立。

	喜欢	不喜欢	总计
男	30	20	50
女	25	35	60
总计	55	55	110

• 期望频数计算（以“男性喜欢”为例）：
  [
  E_{\text{男,喜欢}} = \frac{50 \times 55}{110} = 25
  ]
• 卡方统计量：
  [
  \chi^2 = \frac{(30-25)^2}{25} + \frac{(20-25)^2}{25} + \frac{(25-30)^2}{30} + \frac{(35-30)^2}{30} \approx 3.33
  ]
• 自由度：df = (2-1)(2-1) = 1，临界值（α=0.05）为3.84。
• 结论：3.33 < 3.84，不拒绝H₀，即性别与产品偏好无显著关联。

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5. 注意事项

• 小样本修正：若存在期望频数 <5，可使用Yates连续性校正（仅2×2列联表）。
• 效应量补充：报告Phi系数、Cramer’s V等以衡量关联强度。
• 不适用于连续数据：若需检验连续变量，考虑分箱或改用其他方法。

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6. 软件实现

• Python：scipy.stats.chi2_contingency(observed_table)
• R：chisq.test(matrix)
• Excel：CHISQ.TEST(observed_range, expected_range)

通过以上步骤，可规范地完成卡方检验并解释结果。实际应用中需结合研究问题和数据特性选择合适的方法。

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案例1：拟合优度检验（Goodness-of-Fit Test）

目的：检验样本数据是否符合某个理论分布（如均匀分布、正态分布、二项分布等）。
适用场景：

• 检验骰子是否公平（各面概率是否均为1/6）。
• 检验某地区出生性别比是否符合1:1。
• 检验某产品的销量是否符合预期的市场份额分布。

具体例子：检验骰子是否公平

假设：掷骰子60次，观察各面出现的次数，检验骰子是否均匀（各面概率=1/6）。
数据：

骰子面	1	2	3	4	5	6
观测频数（O）	8	12	9	11	10	10

步骤：

1. 建立假设：
   • H₀（原假设）：骰子公平，各面概率=1/6。
   • H₁（备择假设）：骰子不公平，至少有一面概率≠1/6。
2. 计算期望频数（E）：
   • 理论期望频数 = 总次数 × 理论概率 = 60 × (1/6) = 10（每面）。
3. 计算卡方统计量：
   [
   \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} = \frac{(8-10)^2}{10} + \frac{(12-10)^2}{10} + \cdots + \frac{(10-10)^2}{10} = 1.0
   ]
4. 查卡方分布表：
   • 自由度（df）= 类别数 - 1 = 6 - 1 = 5。
   • 临界值（α=0.05）= 11.07。
5. 结论：
   • 1.0 < 11.07，不拒绝H₀，即骰子可能是公平的。

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案例2：独立性检验（Test of Independence）

目的：判断两个分类变量是否独立（无关联）。
适用场景：

• 吸烟与肺癌是否相关？
• 性别与投票偏好是否有关？
• 教育水平与职业选择是否独立？

具体例子：检验吸烟与肺癌是否相关

数据（2×2列联表）：

	患肺癌	未患肺癌	总计
吸烟	30	20	50
不吸烟	10	40	50
总计	40	60	100

步骤：

1. 建立假设：
   • H₀：吸烟与肺癌无关（独立）。
   • H₁：吸烟与肺癌相关。
2. 计算期望频数（E）：
   • 吸烟且患肺癌的期望频数 = (行总计 × 列总计) / 总样本量 = (50×40)/100 = 20。
   • 其他单元格类似计算：
     • 吸烟未患肺癌：50×60/100 = 30
     • 不吸烟患肺癌：50×40/100 = 20
     • 不吸烟未患肺癌：50×60/100 = 30
3. 计算卡方统计量：
   [
   \chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E} = \frac{(30-20)^2}{20} + \frac{(20-30)^2}{30} + \frac{(10-20)^2}{20} + \frac{(40-30)^2}{30} \approx 16.67
   ]
4. 查卡方分布表：
   • 自由度（df）= (行数-1) × (列数-1) = (2-1)(2-1) = 1。
   • 临界值（α=0.05）= 3.84。
5. 结论：
   • 16.67 > 3.84，拒绝H₀，即吸烟与肺癌显著相关。

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案例3：同质性检验（Test of Homogeneity）

目的：比较多个组别的分布是否相同（检验“比例”是否一致）。
适用场景：

• 不同教育水平（高中、本科、硕士）的投票倾向是否相同？
• 不同地区（A、B、C）的产品偏好是否一致？

具体例子：检验不同教育水平的投票倾向

数据（3×3列联表）：

	支持A党	支持B党	支持C党	总计
高中	20	30	10	60
本科	25	35	20	80
硕士	15	25	20	60
总计	60	90	50	200

步骤：

1. 建立假设：
   • H₀：不同教育水平的投票倾向相同（分布同质）。
   • H₁：至少有一个教育水平的投票倾向不同。
2. 计算期望频数（E）：
   • 高中支持A党的期望频数 = (高中总计 × A党总计) / 总样本量 = 60×60/200 = 18。
   • 其他单元格类似计算（如本科支持B党：80×90/200=36）。
3. 计算卡方统计量：
   [
   \chi^2 = \sum \frac{(O-E)^2}{E} = \frac{(20-18)^2}{18} + \frac{(30-27)^2}{27} + \cdots + \frac{(20-15)^2}{15} \approx 6.25
   ]
4. 查卡方分布表：
   • 自由度（df）= (行数-1) × (列数-1) = (3-1)(3-1) = 4。
   • 临界值（α=0.05）= 9.49。
5. 结论：
   • 6.25 < 9.49，不拒绝H₀，即不同教育水平的投票倾向可能相同。

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总结对比

检验类型	目的	数据格式	假设示例
拟合优度	样本是否符合理论分布？	单变量频数	骰子是否公平？
独立性检验	两个分类变量是否独立？	列联表（R×C）	吸烟与肺癌是否相关？
同质性检验	多个组别的分布是否相同？	列联表（组别×分类）	不同教育水平的投票倾向是否一致？

通过具体例子和计算步骤，可以更清晰地理解这三种卡方检验的区别和应用场景。