【高等数学】函数项级数

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函数项级数

函数项级数是指由一系列函数构成的无穷级数，形式为：
$$\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+u_3(x)+\cdots$$
其中，$u_n(x) $ 是定义在某个区间 I 上的函数。常见的函数项级数包括幂级数、傅里叶级数等。

收敛域的定义

收敛域是指函数项级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }{u}_n(x)$ 收敛的所有 $x$ 值的集合。具体来说：
点收敛：对于固定的 $x\in I$ ，如果部分和 $S_N(x)={\sum }_{n=1}^N{u}_n(x)$ 当 $N\to \infty$ 时极限存在（即 ${\lim }_{N\to \infty }{S}_N(x)=S(x)$），则称级数在点 $x$ 处收敛，$S(x)$ 称为级数的和函数。

收敛域：所有使级数收敛的 $x$ 值的集合 $D\subseteq I$ ，即：

$$D=\left\{x\in I|\sum _{n=1}^{\infty }{u}_n(x)\text{ 收敛}\right\}$$

收敛域的判定方法

幂级数的收敛半径：

对于幂级数 ${\sum }_{n=0}^{\infty }{a}_n(x-c{)}^n$，可通过比值法或根值法求收敛半径 $R$ ：

$$R=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt[n]{a_n}}$$
$$R=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{a_{n+1}}$$
收敛域可能是 $(c-R,c+R)$，并需单独检验端点 $x=c\pm R$。
一般函数项级数：

常用 Weierstrass判别法（M-判别法）：若存在正项级数 $\sum M_n$ 使得 $u_n(x)\le M_n$ 对所有 $x\in D$ 成立，且 $\sum M_n$ 收敛，则 $\sum u_n(x)$ 在 $D$ 上一致收敛。

逐点收敛可通过比较判别法、比值判别法等数值级数方法判断。

示例分析

例：幂级数 ${\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{x^n}{n}$, 收敛半径 $R=1$ （因 ${\lim }_{n\to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}=1$）。
端点 $x=1$ 时级数为调和级数（发散）； $x=-1$ 时为交错级数（收敛）。
收敛域为 $[-1,1)$。

幂级数的定义、性质及判别方法总结

幂级数的定义

幂级数是以变量 x 的幂次展开的函数项级数，形式为：
$$\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n(x-c{)}^n=a_0+a_1(x-c)+a_2(x-c{)}^2+\cdots$$
其中：
$a_n$ 为系数（常数），

$c$ 为中心点（通常 $c=0$ 时为标准形式），

$x$ 为自变量。

幂级数的收敛性

幂级数的收敛性由收敛半径 $R$ 决定：
收敛半径 $R$ ：存在一个正数 $R$ ，使得：

当 $x-c<R$ 时，级数绝对收敛；

当 $x-c>R$ 时，级数发散；

当 $x-c=R$ 时，需单独判断端点（可能收敛或发散）。

收敛域：所有使幂级数收敛的 $x$ 的集合，通常为区间：
$$(c-R,c+R),[c-R,c+R),(c-R,c+R],[c-R,c+R]$$

收敛半径 $R$ 的求法

比值判别法：
$$R=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{a_{n+1}}$$

根值判别法：
$$R=\frac{1}{\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt[n]{a_n}}$$
幂级数的性质

和函数的连续性：

幂级数在其收敛域内内闭一致收敛，和函数 $ S(x) $ 在收敛区间内连续。
逐项可导性：

幂级数可以逐项求导，收敛半径不变：

$$S^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }n{a}_n(x-c{)}^{n-1}$$
逐项可积性：

幂级数可以逐项积分，收敛半径不变：

$$\int S(x)dx=C+\sum _{n=0}^{\infty }\frac{a_n}{n+1}(x-c{)}^{n+1}$$
唯一性： 若两个幂级数在某个区间内收敛且和函数相同，则它们的系数相同 $(a_n=b_n)$。

常见幂级数展开（麦克劳林级数）

指数函数：
$$e^x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{x^n}{n!},x\in \mathbb{R}$$
正弦函数：
$$\sin x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!},x\in \mathbb{R}$$
余弦函数：
$$\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{(2n)!},x\in \mathbb{R}$$
几何级数：
$$\frac{1}{1-x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x}^n,x<1$$
对数函数：
$$\ln (1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n},x\in (-1,1]$$

幂级数的应用

• 函数逼近：用多项式近似复杂函数（如泰勒展开）。

• 微分方程求解：如幂级数解法（Frobenius 方法）。

• 数值计算：如计算 $e^x、\sin x$ 等函数的近似值。

复变函数的幂级数参考链接
https://blackpercy.blog.csdn.net/article/details/142422105?spm=1011.2415.3001.10575&sharefrom=mp_manage_link

傅里叶级数

傅里叶级数的基本概念

傅里叶级数（Fourier Series）是一种将周期函数表示为正弦函数和余弦函数的无穷级数的方法。其核心思想是：任何周期函数都可以分解为不同频率的正弦波和余弦波的叠加。
以 $[-\pi ,\pi ]$ 为周期的傅里叶级数

设 $f(x)$ 是以 $2\pi$ 为周期的函数，且在 $[-\pi ,\pi ]$ 上可积，则其傅里叶级数展开式为：

$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+{\sum }_{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos (nx)+b_n\sin (nx)\right)$

其中，傅里叶系数的计算公式为：

$a_0=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx$

$a_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos (nx)dx(n=1,2,3,\dots )$

$b_n=\frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin (nx)dx(n=1,2,3,\dots )$

以 $[-l,l]$ 为周期的傅里叶级数

若 $f(x)$ 是以 $2l$ 为周期的函数，则其傅里叶级数为：

$$f(x)\sim \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_n\cos \left(\frac{n\pi x}{l}\right)+b_n\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)\right)$$

其中，系数计算公式为：

$$a_0=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)dx$$

$$a_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\cos \left(\frac{n\pi x}{l}\right)dx(n=1,2,3,\dots )$$

$$b_n=\frac{1}{l}{\int }_{-l}^{l}f(x)\sin \left(\frac{n\pi x}{l}\right)dx(n=1,2,3,\dots )$$

傅里叶级数的主要性质

收敛性（狄利克雷条件）
傅里叶级数不一定对所有函数都收敛，但若 $f(x)$ 满足狄利克雷条件，则其傅里叶级数收敛：
绝对可积：${\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)dx<\infty$（或 ${\int }_{-l}^{l}f(x)dx<\infty$）。

有限个极值点：在任意有限区间内，$f(x)$ 只能有有限个极大值和极小值。

有限个间断点：$f(x)$ 只能有有限个第一类间断点（即左右极限存在但不相等）。

收敛结果：
在连续点，傅里叶级数收敛于 $f(x)$；

在间断点，收敛于 $\frac{f(x^{+})+f(x^{-})}{2}$（左右极限的平均值）。
正交性

三角函数系 { 1 , cos ⁡ ( n x ) , sin ⁡ ( n x ) } n = 1 ∞ \{1, \cos(nx), \sin(nx)\}_{n=1}^{\infty} {1,cos(nx),sin(nx)}n=1∞​ 在 $[-\pi ,\pi ]$ 上具有正交性：
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (mx)\cos (nx)dx=\{\begin{array}{ll}0,& m\ne n\\ \pi ,& m=n\ne 0\\ 2\pi ,& m=n=0\end{array}$$
$${\int }_{-\pi }^{\pi }\sin (mx)\sin (nx)dx=\{\begin{array}{ll}0,& m\ne n\\ \pi ,& m=n\ne 0\end{array}$$

$${\int }_{-\pi }^{\pi }\cos (mx)\sin (nx)dx=0(\forall m,n)$$

奇偶函数的简化

偶函数 $f(-x)=f(x)$：傅里叶级数仅含余弦项（$b_n=0$）。

奇函数 $f(-x)=-f(x)$：傅里叶级数仅含正弦项（$a_n=0$）。

周期延拓

$[0,\pi ]$ 上函数的奇延拓与偶延拓
基本定义

对于定义在 $[0,\pi ]$ 上的函数 $f(x)$，可以通过延拓将其扩展到 $[-\pi ,\pi ]$ 或整个实数轴，以满足傅里叶级数展开或其他分析需求。延拓方式主要有两种：

奇延拓

定义：

$$F(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& 0\le x\le \pi ,\\ -f(-x),& -\pi \le x<0.\end{array}$$

性质：
延拓后的函数 $F(x)$ 是奇函数，满足 $F(-x)=-F(x)$。
在$x=0$处，$F(0)=0$（奇函数的性质）。
傅里叶级数形式：奇延拓后的傅里叶级数仅含正弦项（傅里叶正弦级数）：

$$F(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{b}_n\sin (nx),$$

其中系数 b_n 为：

$$b_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\sin (nx)dx.$$

偶延拓

定义：
$$F(x)=\{\begin{array}{ll}f(x),& 0\le x\le \pi ,\\ f(-x),& -\pi \le x<0.\end{array}$$

性质：
延拓后的函数 $F(x)$ 是偶函数，满足 $F(-x)=F(x)$。

在 $x=0$ 处，导数 $$F^{\prime }(0)=0$$（偶函数的性质）。

傅里叶级数形式：偶延拓后的傅里叶级数仅含余弦项（傅里叶余弦级数）：

$$F(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n\cos (nx),$$

其中系数 $a_n$ 为：

$$a_n=\frac{2}{\pi }{\int }_0^{\pi }f(x)\cos (nx)dx.$$

奇延拓示例：
设 $f(x)=x（x\in [0,\pi ]$，其奇延拓为：

$F(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x\le \pi ,\\ -x,& -\pi \le x<0.\end{array}$

傅里叶级数为正弦级数：

$=2{\sum }_{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n+1}}{n}\sin (nx)(0\le x<\pi ).$

偶延拓示例：
设 $f(x)=x（x\in [0,\pi ]$，其偶延拓为：

$F(x)=\{\begin{array}{ll}x,& 0\le x\le \pi ,\\ -x,& -\pi \le x<0.\end{array}$

傅里叶级数为余弦级数：

$=\frac{\pi }{2}-\frac{4}{\pi }{\sum }_{k=1}^{\infty }\frac{\cos ((2k-1)x)}{(2k-1{)}^2}(0\le x\le \pi ).$